检测3一元二次函数、方程和不等式能力卷-2025-2026学年高一上学期数学寒假作业之单元检测（人教A版）

检测3一元二次函数、方程和不等式-能力卷 1、 单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的值为（    ）． A． B． C． D． 3．已知，则的最小值为（   ） A．44 B．46 C．48 D．50 4．已知，，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．质数p，q是方程的两根，则（   ） A． B． C． D． 8．已知关于的不等式的解集为．则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2、 多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知，，，下列命题中为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．下列说法正确的是（   ） A．若实数a，b，c满足，则 B．不等式的解集为 C．若，则函数的最小值为5 D．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 11．已知，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则的最小值是8 C．的最小值为2 D．若，则的最大值为4 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．若，则的最小值为 . 13．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为 ． 14．对于任意实数，不等式恒成立．若该不等式取等号，则实数的取值范围是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15．已知关于的不等式的解集是. (1)求实数，的值； (2)解关于的不等式：. 16．设实数x，y满足． (1)若，求实数的取值范围； (2)当x，y均为正实数时，求的最小值，并求取得最小值时的值． 17．已知二次函数. (1)若，且都有，求的最小值； (2)解关于的不等式：. 18．某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位：万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 19．已知函数 . (1)当时，解不等式； (2)求在上的最小值； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D C B C C A AD BCD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】利用举反例可排除选项，利用不等式性质可判断选项. 【详解】当时，，故A错误； 当时，，故B错误； 当时，，故D错误； 利用不等式性质可知：若，则，故C正确； 故选：C 2．C 【分析】由题意可得和为二次函数的两个根，分别代入二次函数后联立即可求解. 【详解】设，由题意得和为的两个根，则有： ，即， ，即， 联立，解得， 故. 故选：C. 3．D 【分析】巧用“1”结合基本不等式求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时，等号成立， 故选：D. 4．C 【分析】根据不等式的性质判断即可. 【详解】选项A：令，，，，则，，不满足，A错误. 选项B：因为，所以，所以，即，B错误. 选项C：因为，所以，又，所以，即，所以，C正确. 选项D：因为，所以，又，所以，D错误. 故选：C. 5．B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】不等式或，而当时，成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 6．C 【分析】将分式不等式化为一元二次不等式求解即可. 【详解】由，得，即，也即. 所以，解得， 所以该不等式的解集为. 故选：C. 7．C 【分析】利用根与系数的关系，结合质数可求得，进而可求值. 【详解】因为质数p，q是方程的两根，所以，， 因为p，q是质数，所以或，所以， 所以. 故选：C. 8．A 【分析】由一元二次不等式的解集求出参数值，再解不含参的一元二次不等式求解集即可. 【详解】由题设1、2是的两个根，且，所以， 所以，可得或， 所以不等式的解集为. 故选：A 9．AD 【分析】根据不等式的性质可判断A；举反例可判断B；利用作差法结合不等式的性质可判断CD. 【详解】不等式两边同时加上可得，故A正确； 当，时，满足，而此时，即，故B错误； ， 因为，则，， 所以，即， 故C错误； ， 因为，则，， 故，即， 故D正确. 故选：AD. 10．BCD 【分析】当时，可知A错误；由解一元二次不等式的方法判断B；由基本不等式验证C；借助二次函数性质判断D. 【详解】对于A，当，时，则，故A错误； 对于B， 可化为，解得，故B正确； 对于C，当时，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最小值为5，C正确； 对于D，当时，不等式可化为恒成立，符合题意； 当时，由题意可知，解得； 综上所述，k的取值范围是，故D正确. 故选：BCD 11．ABD 【分析】根据基本不等式逐项求解最值即可得结论. 【详解】对于A，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，故A正确； 对于B，因为，，，所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是8，故B正确； 对于C，因为，令，则，所以， 当且仅当，即时，等号成立，又，故的最小值不为2，故C错误； 对于D，因为，所以， 则， 当且仅当，即，时，等号成立，故的最大值为4，故D正确. 故选：ABD. 12．. 【分析】先根据已知条件 ，构造出两个正数，再对代数式进行变形，最后利用基本不等式性质求解最小值. 【详解】因为 ，所以 ，所以 ，， 所以， 当且仅当 ，即 时，等号成立. 因此 所以 的最小值为 . 故答案为：. 13． 【分析】对实数与的大小进行分类讨论，解原不等式组，确定解集中的整数解，可得出关于实数的不等式，解之即可． 【详解】由可得或， 由可得， 当时，不等式即为，该不等式无解； 当时，不等式的解集为， 此时，原不等式组的解集为，则， 所以，，解得； 当时，不等式的解集为， 因为若整数解包含5，则必然也包含，不满足唯一解的条件，故唯一整数解只能是, 即，所以，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 故答案为： 14． 【分析】分段讨论，去掉绝对值求解即可. 【详解】当不等式取等号时， 当时，即，解得； 当时，即，解得，不符合题意，舍去； 当时，即，解得，不符合题意，舍去； 当时，即，解得. 综上可知，不等式取等号时，. 故答案为：. 15．(1) (2). 【分析】（1）利用一元二次方程根与一元二次不等式解集的关系求解即可； （2）利用分式不等式解法求解即可. 【详解】（1）不等式的解集， 和3是方程的两根， 解得. （2）等价于，即， 即，等价于， 则该不等式解集为. 16．(1) (2)最小值为，此时 【分析】（1）由，可得，代入，解不等式，即得答案； （2）将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）因为，所以，     又，即，化简得，             所以， 故的取值范围为． （2）因为， 所以                      ，         当且仅当且，即时取等号， 故的最小值为，此时． 17．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题得到，所以，再利用基本不等式求解即可. （2）不等式等价于，对分三种情况讨论即可 【详解】（1）由题，对称轴为，所以，变形得，则 ， 当且仅当，即时等号成立，的最小值为. （2）不等式即求解 ①当时，，解集为 ②当时，抛物线开口向上， 若，即时，恒成立，解集为 若，即时，则，解集为 若，即时，不等式解集为 ③当时，抛物线开口向下，此时恒成立， 不等式解集为 18．(1) (2) (3)当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大值为万元. 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）根据题目中的不等关系列出不等式，结合一元二次不等式的解法、分式的性质进行求解即可； （3）对函数关系式变形，利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为， 所以； （2）由题意可知， 因为， 所以， 因为， 所以 ， 因为， 所以， 所以的取值范围为； （3）， 当时， ， 当且仅当时取等号，即时取等号， 即，， 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大值为万元. 19．(1)； (2)； (3) 【分析】（1）解不含参的一元二次不等式即可； （2）利用对称轴分为三类区间来讨论二次函数的单调性，然后求出最小值； （3）利用分离参变量思想，构造对勾函数来判断单调性求最大值，即可求解参数的范围. 【详解】（1）当时，， 则，解得：或， 即不等式的解集为：； （2）因为二次函数的对称轴为， 当，即时，在上单调递增， 所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以 当，即时，在上单调递减， 所以. 综上可得：； （3）由不等式可得： (*)， 因为，所以， 则(*)等价于，， 再令，则，令函数， 因为在单调递减，在单调递增， 且， 所以， 由对任意的都恒成立，则， 所以实数的取值范围是. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 检测3一元二次函数、方程和不等式-能力卷 1、 单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的值为（    ）． A． B． C． D． 3．已知，则的最小值为（   ） A．44 B．46 C．48 D．50 4．已知，，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．质数p，q是方程的两根，则（   ） A． B． C． D． 8．已知关于的不等式的解集为．则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2、 多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知，，，下列命题中为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．下列说法正确的是（   ） A．若实数a，b，c满足，则 B．不等式的解集为 C．若，则函数的最小值为5 D．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 11．已知，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则的最小值是8 C．的最小值为2 D．若，则的最大值为4 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．若，则的最小值为 . 13．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为 ． 14．对于任意实数，不等式恒成立．若该不等式取等号，则实数的取值范围是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15．已知关于的不等式的解集是. (1)求实数，的值； (2)解关于的不等式：. 16．设实数x，y满足． (1)若，求实数的取值范围； (2)当x，y均为正实数时，求的最小值，并求取得最小值时的值． 17．已知二次函数. (1)若，且都有，求的最小值； (2)解关于的不等式：. 18．某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位：万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 19．已知函数 . (1)当时，解不等式； (2)求在上的最小值； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $