寒假培优——因数与倍数（讲义）-2025-2026学年五年级下册数学苏教版

寒假培优讲义：因数与倍数 【知识梳理+例题讲解+巩固练习】 知识点梳理 一、倍数与因数 1、倍数与因数的意义 （1）概念引入：在整数乘法中，如果 （其中 、 、 都是非0自然数），那么 就是 和 的倍数， 和 就是 的因数。 例如： ，所以20是4和5的倍数，4和5是20的因数。 （2）相互依存性：倍数和因数是相互依存的，不能单独说“某个数是倍数”或“某个数是因数”，必须说清楚“谁是谁的倍数”“谁是谁的因数”。 （3）找一个数的因数的方法： 用乘法一对一对地找：例如找18的因数，可以想 、 、 ，所以18的因数有：1、2、3、6、9、18。 特点：一个数的因数个数是有限的，最小是1，最大是它本身。 （4）找一个数的倍数的方法： 用这个数依次乘1、2、3、4……得到它的倍数。 例如：6的倍数有：6、12、18、24…… 特点：一个数的倍数个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 2、2、5、3的倍数的特征 （1）2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。是2的倍数的数叫偶数；不是2的倍数的数叫奇数。 （2）5的倍数特征：个位上是0或5的数都是5的倍数。 （3）既是2又是5的倍数：个位上是0的数，既是2的倍数，也是5的倍数。 （4）3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 例如：判断135是否是3的倍数？ ，9是3的倍数，所以135是3的倍数。 3、质数与合数 （1）定义： 质数：只有1和它本身两个因数的数（必须大于1）。如：2、3、5、7、11等。 合数：除了1和它本身外，还有其他因数的数。如：4、6、8、9等。 特别说明：1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内常见的质数（建议记忆）： 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 4、分解质因数 （1）质因数：如果一个数的因数是质数，这个因数就叫做它的质因数。 例如：12的因数有1、2、3、4、6、12，其中2和3是质数，所以2和3是12的质因数。 （2）分解质因数：把一个合数写成几个质数相乘的形式。 例如： ，这就是12的分解质因数。 （3）方法：常用“短除法”或“枝状图法”，但本册只要求理解概念，不强制掌握短除法。 5、公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数 （1）公因数与最大公因数： 几个数公有的因数，叫做它们的公因数。 其中最大的一个，叫做最大公因数。 例如：12和18的因数分别是： 12的因数：1、2、3、4、6、12 18的因数：1、2、3、6、9、18 公因数：1、2、3、6 → 最大公因数是6。 （2）公倍数与最小公倍数： 几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数。 其中最小的一个，叫做最小公倍数。 例如：3和4的倍数： 3的倍数：3、6、9、12、15、18、21、24…… 4的倍数：4、8、12、16、20、24…… 公倍数：12、24…… → 最小公倍数是12。 例题讲解 【典型例题1】 判断：因为 ，所以42是倍数，7是因数。（ ） 【解析】 （1）分析：倍数和因数必须说明“谁是谁的倍数”“谁是谁的因数”。单独说“42是倍数”或“7是因数”是错误的，因为没有指明对象。 （2）正确说法：42是7的倍数，7是42的因数。 （3）答案：×。 【跟踪练习】 （1）判断：一个数的因数一定比它的倍数小。（ ） （2）在1～20中，既是偶数又是质数的数是（ ）；既是奇数又是合数的数是（ ）。 【典型例题2】 用数字0、4、5、8组成一个三位数，使它是3的倍数，这样的三位数有哪些？（每个数字只能用一次） 【解析】 （1）分析：3的倍数特征是各位数字之和是3的倍数。从0、4、5、8中选三个不同数字，所有组合如下： 组合①：0、4、5 → 和为9（是3的倍数）→ 可组成：405、450、504、540 组合②：0、4、8 → 和为12（是3的倍数）→ 可组成：408、480、804、840 组合③：0、5、8 → 和为13（不是3的倍数）→ 舍去 组合④：4、5、8 → 和为17（不是3的倍数）→ 舍去 （2）注意：三位数不能以0开头，所以如045、084等不是三位数，不考虑。 （3）答案：405、450、504、540、408、480、804、840。 【跟踪练习】 （1）用0、3、6、9组成一个四位数，使它既是2的倍数，又是3的倍数，最小的四位数是（ ）。 （2）判断：个位是6的数一定是3的倍数。（ ） 巩固练习 一、填空题 1．24的全部因数有　 　，100以内24的倍数有　 　。 2．相邻的三个奇数，从小到大排列，中间的一个奇数是n-1，其中最小的奇数是　 　，最大的奇数是　 　。 3．已知A=2×3×7，B=2×3×5。A和B的最大公因数是　 　，A和B的最小会倍数是　 　。 4．一个四位数“3□5□”既是3的倍数又是5的倍数，它还有因数2，这个数最大是　 　。 5．用同样尺寸的方砖给一个长32分米、宽24分米的储物间铺地，若不允许裁切方砖，那么方砖的边长最大可以是　 　分米。 二、判断题 6．所有偶数都是合数。(　　) 7．所有的质数都不是2的倍数。(　　) 8．所有的奇数都是质数．(　　) 9．一个数的倍数总比这个数的因数大。(　　) 10． 因为7×8=56， 所以7和8是因数， 56是倍数。(　　) 三、选择题 11．两个大于1的自然数相乘，得数一定是(　　)。 A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数 12． 一个数既是48的因数，又是16的倍数，这个数可能是(　　)。 A．8 B．16 C．24 D．32 13．要使三位数43能被2和3整除，里有(　　)种填法。 A．1 B．2 C．3 D．4 14．在学校AI场馆，王叔叔每3天来解说一次，李叔叔每4天来检查一次设备。3月12日是他们第一次同时到校，再次同时到校的日期是3月 (　　)。 A．12日 B．18日 C．24日 D．31日 15．“柑儿文”是温州独有的非物质文化遗产，某专卖店有90多包“柑儿文”。如果4包一袋，正好装完：如果6包一袋，也正好装完。一共有(　　)包“柑儿文”。 A．98 B．96 C．94 D．92 四、解决问题 16．请用你的方法说明：两个数的最大公因数和最小公倍数的积等于这两个数的积。写出你的说明过程，尽可能让这个结论可信。 17．小芳房间长48分米，宽3米，如果用边长是整分米数的正方形瓷砖把小芳房间的地面铺满(使用的瓷砖都是整块、没有剩余)边长最长是多少分米？需要多少块？ 18．学校组织五年级部分学生参加农田劳动实践活动，其中男生40人，女生25人，把他们分成劳动小组。如果每组中男生人数相等，女生人数也相等，最多可以分成几组?这时每组男生、女生分别是多少人? 答案解析部分 【跟踪练习1】答案 （1）× 解析：一个数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身，所以因数和倍数可能相等。例如：12的因数有12，倍数也有12，所以“因数一定比倍数小”是错误的。 （2）2；9、15 解析： 2是唯一的偶质数； 1～20的奇数有：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19； 其中合数是：9（=3×3）、15（=3×5）；1既不是质数也不是合数，其他奇数是质数。 【跟踪练习2】答案 （1）3096 解析： 要求：四位数，用0、3、6、9组成，最小； 既是2的倍数 → 个位必须是0或6； 又是3的倍数 → 各位数字之和是3的倍数； 四个数字之和： ，是3的倍数，所以任意排列都满足3的倍数； 要最小 → 千位尽可能小（不能为0），所以千位选3； 个位必须是0或6； 尝试个位为0：剩余6、9 → 最小排列为3690； 尝试个位为6：剩余0、9 → 最小排列为3096； 比较3690和3096 → 3096更小； 且3096个位是6，是2的倍数，数字和18是3的倍数 → 满足； 所以最小是3096。 （2）× 解析：3的倍数看各位数字之和，不是看个位。例如：16，个位是6，但 不是3的倍数，所以16不是3的倍数。 【巩固练习】 1．1，2，3，4，6，8，12，24；24，48，72，96 2．n-3；n+1 3．6；210 4．3750 5．8 6．错误 7．错误 8．错误 9．错误 10．错误 11．B 12．B 13．B 14．C 15．B 16．解：设A=a×c，B=b×c，a、b互质。A和B的最小公倍数是a×b×c，A和B的最大公约数是c. A和B的最小公倍数×A和B的最大公约数=a×b×c×c. A×B= a×c×b×c. 由以上可得：两个数的最大公因数和最小公倍数的乘积等于这两个数的积。 17．解：3米=30分米 48=2×2×2×2×3，30=2×3×5，最大公因数是2×3=6 所以瓷砖边长最长是6分米 48×30=1440（平方分米） 6×6=36（平方分米） 1440÷36=40（块） 答：边长最长是6分米，需要40块。 18．解：40=2×2×2×5 25=5×5 40和25的最大公因数是5。 40÷5=8（人） 25÷5=5（人） 答：最多可以分成5组；这时每组男生是8人，女生是5人。 1 学科网（北京）股份有限公司 $