11.4.2 平面与平面垂直-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册练习手册（人教B版）

N 高中数学必修第四册人教B版 11.4.2 平面与平面垂直 第1课时平面与平面垂直的判定定理 A.60° B.30 基础练习 C.45° D.15° 一、选择题 6.如图，在四面体ABCD 1.直线lL平面，1C平面B,则a与B: 中，已知AB⊥AC,BD⊥ 的位置关系是() AC,那么D在平面ABC内 A.平行 B.相交但不垂直 的射影H必在( 第6题图 C.垂直 D.以上均有可能 A.直线AB上 2.已知1L,则过1与a垂直的平面 B.直线BC上 ( C.直线AC上 A.有1个 B.有2个 D.△ABC内部 C.有无数个 D.不存在 7.如图，一山坡的坡面与水平面成30° 3.下列命题中正确的是() 的二面角，坡面上有一条直道AB,它和坡 A.平面α和B分别过两条互相垂直的 脚的水平线成30°的角，沿这个山坡行走20m 直线，则a⊥B 后升高( B.若平面α内的一条直线垂直于平面B A.20m 内的两条平行直线，则⊥B B.15m C.若平面内的一条直线垂直于平面B C.10m <30° 内的两条相交直线，则⊥B D.5m 第7题图 D.若平面α内的一条直线垂直于平面B 二、填空题 内的无数条直线，则α⊥B 8.过平面外两点且垂直于平面ax的平 4.在长方体ABCD-ABCD1的侧面中， 面有 个 与平面ABCD垂直的平面有( 9.如图所示，在四棱锥 A.1个 B.2个 P-ABCD中，PA⊥底面ABCD C.3个 D.4个 且四边形ABCD为菱形，M 5.如图，AB是圆的直径， 是PC上的一个动点，当点M 第9题图 PA垂直于圆所在的平面，C 满足 时，平面MBDL平面 是圆上一点（不同于A,B) PCD.(只要填写一个正确的条件即可) 且PA=AC,则二面角PBC-A 10.如图，在三棱锥D-ABC中，若AB= 第5题图 的大小为() CB,AD=CD,E是AC的中点，则下列命题 70)练 第十一章立体几何初步 中正确的有 13.如图，AB是⊙0的直径，点C是⊙0 (写出全部正确命题的 上异于A,B的点，直线PC⊥平面ABC: 序号) (1)求证：平面PBCL平面PAC ①平面ABCL平 (2)设AB=PC=2,AC=1,求二面角 面ABD: B-PA-C的余弦值. 第10题图 ②平面ABD⊥平 面BCD; ③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥ 平面BDE; ④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥ 平面BDE. 第13题图 11.如图，以 提升练习 等腰Rt△ABC的斜 14.在正方体ABCD-ABCD1中，截面 边BC上的高AD 第11题图 ABD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的 为折痕，把△ABD 正切值为（ 和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学 生得出下列四个结论：①BD1AC;② A.V3 B.V2 2 2 △BAC是等边三角形；③三棱锥D-ABC是 C.V2 D.V3 正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC. 15.如图所示，在四棱锥P-ABCD中， 其中正确的序号是 PA⊥底面ABCD,底面ABCD为直角梯形， 三、解答题 AB∥CD,AB⊥AD,且CD=2AB. 12.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面 (I)若AB=AD,直线PB与CD所成的 ABCD是菱形，∠BCD=60°，PA⊥底面ABCD, 角为45°，求二面角PCD-B的大小. 在CD上确定一点E,使得平面PBE⊥平面 (2)若E为线段P℃上一点，试确定点 PAB E的位置，使得平面EBDL平面ABCD,并 说明理由， 第12题图 第15题图 练 71 N 高中数学必修第四册人教B版 第2课时平面与平面垂直的性质定理 A.充分不必要条件 基础练习 B.必要不充分条件 一、选择题 C.充要条件 1.已知a,B是两个互相垂直的平面， D.既不充分也不必要条件 l,m是两条直线，ax∩B=l,则“m⊥l”是 5.(多选题)已知lL平面，直线mC “m⊥ax”的() 平面B,则下列命题正确的有() A.充分不必要条件 A.ax∥B→l⊥m B.必要不充分条件 B.a⊥B=→l∥m C.充要条件 C.l∥m→a⊥B D.既不充分也不必要条件 D.l⊥m→∥B 2.设a,b为两条直线，，B为两个平 6.(多选题)如图，在 面，且“a⊥，b⊥B”,，则a⊥b是a⊥B的 :三棱锥A-BCD中，AC⊥ AB,BC⊥BD,平面ABC⊥ 0 A.充要条件 平面BCD.给出以下结论： 第6题图 B.充分不必要条件 ①AC⊥BD: C必要不充分条件 ②AD⊥BC; D.既不充分也不必要条件 ③平面ABC⊥平面ABD; 3.若平面⊥平面B,且ax∩B=l,则下 ④平面ACD⊥平面ABD. 列命题中正确的个数是() 其中正确的结论是() ①平面α内的直线必垂直于平面B内的 A.① B.② 任意一条直线； c.③ D.④ ②平面内的已知直线必垂直于平面B 7.(多选题)如图，点E为矩形ABCD 内的无数条直线； 边CD上异于点C,D的动点，将△ADE沿 ③平面内的任一条直线必垂直于平 AE翻折成△SAE,使得平面SAE⊥平面 面B; ABCE,则下列说法中不正确的是() ④过平面a:内任意一点作交线1的垂 线，则此垂线必垂直于平面B. A.3B.2 C.1 D.0 4.已知，B是两个不同的平面，m为 图1 图2 平面内的一条直线，则“⊥B”是“m⊥ 第7题图 B”的(） 72)练 第十一章立体几何初步 A.存在点E使得直线SA⊥平面SBC 三、解答题 B.平面SBC内存在直线与SA平行 : 12.如图，三棱柱ABC-ABC1的侧面 C.平面ABCE内存在直线与平面SAE:AA1C,C是矩形，侧面AA1CCL底面AABB, 平行 且AB=4AA1=4,∠BAA1=60°，D是AB的中 D.存在点E使得SE⊥BA 点.求证： 二、填空题 (1)AC∥平面CDB. 8.如图，平面ABC⊥ (2)DA1⊥平面AA1CC. 平面ABD,∠ACB=90°， CA=CB,△ABD是正三A< 角形，O为AB的中点， 则图中直角三角形的个 第8题图 D 数为 第12题图 9.a,b表示直线，a,B,y表示平面： ①若ax∩B=a,bCax,a⊥b,则a⊥B; ②若aC,a垂直于B内任意一条直 线，则⊥B; ③若BLy,a∩B=a,a∩y=b,则a⊥b; ④若a不垂直于平面，aCB,则a与 B不可能垂直 上述命题中，正确命题的序号是 10.a,B是两个不同的平面，m,n是 α，B之外的两条不同的直线，给出以下四 个论断： ①m⊥n;②ax⊥B;③n⊥B;④m⊥ax 以其中三个论断作为条件，余下一个作 为结论，写出你认为正确的一个命题： 11.已知在直角梯形ABCD中，AB⊥ AD,CD⊥AD,AB=2AD=2CD=2,将直角梯 形ABCD沿AC折叠成三棱锥D-ABC,当三 棱锥D-ABC的体积取最大值时，其外接球 的体积为 练(73 N 高中数学必修第四册人教B版 13.如图，AB为圆O的直径，点E,F: 提升练习 在圆O上，矩形ABCD所在的平面和圆O 14.如图，在四棱 所在的平面互相垂直，且AB=2,AD=EF=1. 锥P-ABCD中，PA⊥底 (1)求证：AF⊥平面CBF 面ABCD,底面ABCD (2)求三棱锥C-OEF的体积. 为矩形，AB=PA.若BC 边上有且只有一个点Q, 第14题图 使得PQ⊥QD,则此时二面角A-PD-Q的余 弦值为( ) A.V3 B.V30 第13题图 3 6 C.V6 D.V2 6 6 15.如图，边长为a 的正△ABC的边AB, AC的中点分别为E,F, 将△AEF沿EF折起至 △A'EF位置，使平面 第15题图 A'EF⊥平面BEFC,则A'B= 74)练9.45°【解析】PA⊥底面ABC,∠PCA或其补角即 为直线PC与平面ABC所成的角.PA=AC,.△PCA为等 腰直角三角形，∴.∠PCA=45. 10.2Y5【解析】AD,∥AD,BC∥AD,AD,∥ 5 BC.又BCC平面BCE,ADt平面BCEE,AD∥平面 BCE,AD到平面BCE的距离即为点D,到平面BCE的 距离.设点D,到平面BCE的距离为d,连接CA,CD.由 Va0aa,得号Sad=号5eaBC,d= S△cm·BC 2V/5 S△BE 22xV2 5 11.V3【解析】如图，作 6 S0⊥平面ABC于点O,则∠SAO为 SA与底面ABC所成角.在Rt△ASO A二 -0 中，A0=写，则cos∠M049 SA 3 第11题答图 6 12.(1)证明：设AC∩BD=0, 连接OM,:在四棱柱ABCD-A1BCD1 A 中，四边形ABCD是正方形，.O为 BD中点.又M为DD1中点，.OM∥ BDL.又OMC平面AMC,BD1丈平面 AMC,.BD1∥平面AMC. D+ (2)证明：在四棱柱AC中， DD,⊥平面ABCD,又ACC平面 第12题答图 ABCD,DD1⊥AC.又在正方形ABCD中，BD上AC,且 DD1⊥AC,DD1∩BD=D.DD1C平面BDDI,BDC平面BDD1, AC⊥平面BDD又BD1C平面BDD,'AC⊥BD (3)解：令点D到平面MAC的距离为h,VA=Vc, 即号Sach=号DM..AB=l,AA=2,M是DD,的中 点，AM=MC=V2,AC=V2,即S=V3x(V2片 3,Y3h=号xIxIx1,解得h=3,即点D到平 2 2 3 面MAC的距离为Y3 3 13.(1)证明：.四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°， 且M是AD的中点，.MB⊥AD,MB⊥BC.PM⊥平面 ABCD,又BCC平面ABCD,PM⊥BC.而PM∩MB=M, PM,MBC平面PMB,.BC⊥平面PMB. 参考答案。 (2)解：过点B作BH⊥MC于点H,连接HN,PM⊥ 平面ABCD,BHC平面ABCD,.BH⊥PM.又.PM,MCC 平面PMC,PMOMC=M,∴BH⊥平面PMC,∴.∠BWH为直 线BN与平面PMC所成的角.在菱形ABCD中，设AB=2a,则 MB=AB·sin60°=V3a,MC=VDMP+DC2-2DM·DC.cos120°= V7a.又由(1)，知MB⊥BC,.在△MBC中，BH= 2aV3a=2Y2Ia,由(I),知BC⊥平面PMB,PBC平 VTa 7 面PMB,,PB LBC,BN=之PC=4a,sin∠BNH= 2V2 BH 7 BN 14 a -2Y6,os∠BNH=号 7 2 14.ABC【解析】AB为⊙O的直径，.BC⊥AC.又 PA⊥⊙O所在的平面，∴.PA⊥BC..PA∩AC=A,.BC⊥平 面PAC..AFC平面PAC,.BC⊥AF又AF⊥PC,PC∩ BC=C,∴AF⊥平面PBC.PBC平面PBC,∴AF⊥PB,A, C正确.又.AE⊥PB,AF∩AE=A,∴.PB⊥平面AEF..EFC 平面AEF,∴EF⊥PB,B正确.假如AE⊥平面PBC,则 AE⊥BC.又·BC⊥AC,连接EC(图略)，则BC⊥平面 AEC,这与BC⊥平面PAC矛盾，D错误. 15.①③【解析】对于①，：PA⊥平面ABC,PA⊥ AE.又EA⊥AB,PA∩AB=A,∴EA⊥平面PAB,从而可得 EA⊥PB,故①正确.对于②，由于在正六边形中BC∥AD, BC与EA必有公共点，从而BC与平面PAE有公共点，∴ 直线BC与平面PAE不平行，故②不正确.对于③，由条件 得△PAD为直角三角形，且PA⊥AD,又PA=2AB=AD, ∠PDA=45°，故③正确. 11.4.2平面与平面垂直 第1课时平面与平面垂直的判定定理 1.C【解析】直线l1平面α，lC平面B,根据面面 垂直的判定定理，可得⊥B,即a与B的位置关系是垂直. 故选C 2.C【解析】由面面垂直的判定定理，知任何过l的平 面都垂直于平面，.这样的平面有无数个.故选C 3.C【解析】当平面α和B分别过两条互相垂直且异 面的直线时，平面α和B有可能平行，故A不正确；一条 直线垂直于平面内的两条相交直线才能得出线面垂直，由 平面与平面垂直的判定定理，知B,D均不正确，C正确。 故选C. 4.D【解析】如图，在长方体中，侧棱与底面都是垂 直的，所以侧面与底面ABCD垂直.平面AABB1、平面 93 N 高中数学必修第四册人教B版 BCCB1、平面CDDC1、平面DAAD1均与平面ABCD垂直. 故选D 0 C A B D 第4题答图 5.C【解析】易得BC⊥平面PAC,∴.∠PCA是二面角 PBC-A的平面角，在Rt△PAC中，PA=AC,.∠PCA=45. 故选C. 6.A【解析】由AB⊥AC,BD⊥AC,又由AB∩BD=B, 则AC⊥平面ABD,而ACC平面ABC,则平面ABC⊥平面 ABD,因此D在平面ABC内的射影H必在平面ABC与平 面ABD的交线AB上.故选A. 7.D【解析】如图，作BH⊥水 平面，垂足为H,过H作HC⊥坡脚 线，垂足为C,连接BC,则∠BAC= 30°，由BH⊥AC,HC⊥AC,BHn A 第7题答图 HC=H,知AC⊥平面BHC,从而 BC⊥AC,∴.∠BCH为坡面与水平面所成二面角的平面角， ∠BCH=30°.在Rt△ABC和Rt△BCH中，AB=20m, .BC=10m,.BH=5m. 8.1或无数【解析】如图1，平面a外两点为A,B, 连接AB,AB⊥a,此时过平面a外两点且垂直于平面a的 平面有无数个 B Q 图1 图2 第8题答图 如图2，连接AB,若AB与a不垂直，此时过平面a 外两点且垂直于平面a的平面有1个. 9.DM⊥PC(或BM⊥PC等)【解析】.PA⊥底面 ABCD,.BD⊥PA,连接AC,则BD⊥AC,且PA∩AC=A, .BD⊥平面PAC,BD⊥PC,.当DM⊥PC(或BM⊥PC) 时，即有PC⊥平面MBD,而PCC平面PCD,平面MBDL 平面PCD. 10.③【解析】.AB=CB,且E是AC的中点，∴.BE⊥ AC,同理，有DE⊥AC.BE∩DE=E,BE,DEC平面 BDE.∴AC⊥平面BDE..AC在平面ABC内，∴.平面ABC⊥ 94 平面BDE.又ACC平面ACD,·.平面ACD⊥平面BDE, 故答案为③. 11.①②③【解析】设等腰直角三角形ABC的腰为a, 则斜边BC=V2aD为BC的中点，AD⊥BC.又平面 ABD⊥平面ACD,平面ABD∩平面ACD=AD,BD⊥AD, BDC平面ABD,.BD⊥平面ADC.又.ACC平面ADC, ·BD⊥AC,故①正确 ②由①知，BD⊥平面ADC,CDC平面ADC,.BD⊥ CD又AB=AC=a,BD=-CD=Y2a,∴由勾股定理得BCS V2,Y2a=a又AB=AC=a,△ABC是等边三角形， 2 故②正确. ③.△ABC是等边三角形，DA=DB=DC,∴.三棱锥D- ABC是正三棱锥，故③正确. ④如图，△ADC为等腰直角三 角形，取斜边AC的中点F,连接 DF,BF,则DF⊥AC,又△ABC为 乙ǒ、】 B 等边三角形，则BF⊥AC,∴∠BFD 第11题答图 为平面ADC与平面ABC的二面角的 平面角，由BD⊥平面ADC,可知∠BDF为直角，∠BFD不 是直角，故平面ADC与平面ABC不垂直，故④错误. 综上所述，正确的结论是①②③. 12.解：取CD的中点E,连接PE,BE,BD,由底面 ABCD是菱形且∠BCD=60°，知△BCD是等边三角形.·，E 是CD的中点，BE⊥CD.又AB∥CD,BE⊥AB.又 PA⊥平面ABCD,BEC平面ABCD,.PA⊥BE,而PA∩ AB=A,PA,ABC平面PAB,.BE⊥平面PAB.又BEC平 面PBE,.平面PBE⊥平面PAB,.当E为CD的中点时， 平面PBE⊥平面PAB. 13.(1)证明：如图，AB是 ⊙O的直径，.BC⊥AC.又.PC⊥平 面ABC,.PC⊥BC..PC∩AC=C, PCC平面PAC,ACC平面PAC, 0 .BC⊥平面PAC又.BCC平面PBC, ∴.平面PBC⊥平面PAC. 第13题答图 (2)解：.BC⊥平面PAC,PAC平面PAC,.PA⊥BC 过点C作CM⊥PA于点M,连接BM,BC∩CM=C,BC. CMC平面BMC,∴PA⊥平面BCM,则BM⊥PA,∴∠BMC 即为二面角BG的平面角，W:,BG=V5, :.tan BMC-V3-V15.:.cosLBMC-2V19. 2 2 19 V5 14.C【解析】如图所示，连接 AC交BD于点O,连接A1O,O为 A BD的中点，AD=AB,·在 △ABD中，AO⊥BD.又在正方 形ABCD中，AC⊥BD,.∠AOA为 A 二面角ABDA的平面角.设AA1= 第14题答图 1,则A0=Y2.tan∠A,0A=,2=V2 2 V2 15.解：(1).AB⊥AD,CD∥AB,CD⊥AD.又 .PA⊥底面ABCD,CDC平面ABCD,∴.PA⊥CD.又PA∩ AD=A,PA,ADC平面PAD,.CD⊥平面PAD.又PDC 平面PAD,.CD⊥PD,·.∠PDA是二面角P.CD-B的平面 角.又.·直线PB与CD所成的角为45°，∴.∠PBA=45°， PA=AB..在Rt△PAD中，PA=AD,.∠PDA=45°，即二面 角PCD-B的大小为45°. (2)当点E在线段P℃上，且满足PE:EC=1:2时，平 面EBD⊥平面ABCD.理由如下：连接AC交BD于点O,连 接EO.由△AOB∽△COD,且CD=2AB,得CO=2AO,.PE EC=AO:CO=1:2,.PA∥EO.PA⊥底面ABCD,.E0⊥底 面ABCD.又EOC平面EBD,·.平面EBD⊥平面ABCD. 第2课时平面与平面垂直的性质定理 1.B【解析】由题意，知a⊥B,anB-,若m⊥l,当 mCB时，有m⊥a;当mB时，m与a可能相交、平行、 垂直.若m⊥，由lCa,得m⊥l.故“m⊥”是“m⊥a” 是必要不充分条件.故选B. 2.A【解析】a⊥a,b上B,且a⊥b,:a⊥B.又由a上 ,b⊥B,a⊥B,∴.a⊥b,a⊥b是a⊥B的充要条件，故 选A. 3.B【解析】②和④正确. 4.B【解析】依据平面与平面垂直的判定定理，由 m⊥B,mCa,可得a⊥B:而由a⊥B和mC,不一定能 得出m⊥B. 5.AC【解析】l⊥a,B,∴.lLB.mCB,l⊥m,故 A正确；l∥m,La,∴m⊥a又mCB,∴alB,故C正确. 6.ACD【解析】·平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩ 平面BCD=BC,又BC⊥BD,BD⊥平面ABC.ACC平 面ABC,.BD⊥AC,故①正确；易知②不正确；BD⊥平 面ABC,BDC平面ABD,∴.平面ABD⊥平面ABC,故③ 正确；AC⊥AB,BD⊥AC,AB∩BD=B,AC⊥平面 ABD.ACC平面ACD,.平面ACD⊥平面ABD,故④正 确.故选ACD. 7.ABD【解析】若直线SA⊥平面SBC,则SA⊥SC.又 .SA⊥SE,SE∩SC=S,.SA⊥平面SEC.又.平面SEC∩平 参考答案。 面SBC=SC,∴.点S,E,B,C共面，与已知矛盾，故A错 误；.·平面SBC∩直线SA=S,故平面SBC内的直线与SA 相交或异面，故B错误；在平面ABCD内作CF∥AE,交 AB于点F,由线面平行的判定定理，可得CF∥平面SAE, 故C正确；若SE⊥BA,过点S作SF⊥AE于点F,,平面 SAE⊥平面ABCE,平面SAE∩平面ABCE=AE,..SF⊥平 面ABCE,.SF⊥AB.又SF∩SE=S,.AB⊥平面SEC, AB⊥AE,与∠BAE是锐角矛盾，故D错误. 8.6【解析】CA=CB,O为AB的中点，.CO⊥AB.又 平面ABC⊥平面ABD,且交线为AB,.CO⊥平面ABD .ODC平面ABD,.C0⊥OD,∴.△COD为直角三角形. .图中的直角三角形有△AOC,△COB,△ABC,△AOD, △BOD,△C0D,共6个.故答案为6. 9.② 10.①③④→②（或②③④-①）【解析】若m⊥n, n⊥B,m⊥a,则a⊥B. 若a⊥B,m⊥a,n⊥B,则m⊥n 11.4红【解析】当平面DAC1平面ABC时，三棱锥 D-ABC的体积取最大值.此时易知BC⊥平面DAC,..BC⊥ AD.又.AD⊥DC,AD⊥平面BCD,AD⊥BD,取AB的 中点O,易得OA=0B=OC=0D=1,故O为所求外接球的球 心，故半径l,体积号m心 3 12.证明：(1)如图，连接 A1C交AC于点F,取BC的中点C E,连接DE,EF:四边形 B AACC是矩形，F是AC的中 B 点，EF∥AB,EF=AB. 第12题答图 四边形ABBA1是平行四边形，D是AB的中点，AD∥ A,B,AD=)AB,AD∥EF,AD=EF,.四边形ADEF是 2 平行四边形，∴AFDE,即AC∥DE.又DEC平面CDB, AC平面CDB1,AC∥平面CDB. (2).AB=4AA1=4,D是AB的中点，AA1=1,AD=2 ∠BAA1=60°，∴AD=VAD+AA-2AD·A4 cos60°=V3. ∴AA+AD=AD2,∴AD⊥AA.侧面AACC⊥侧面AABB, 侧面AAC,C∩侧面AAB,B=AA,AC⊥AA1,ACC平面 AAC1C,.AC⊥平面AABB.又.ADC平面AABB, ∴AC⊥AD.又AC∩AA=A,∴.DA1⊥平面AACC. 13.(1)证明：平面ABCD⊥平面ABEF,CB⊥AB,平 面ABCD∩平面ABEF=AB,CBC平面ABCD,..CB⊥平面 ABEF.AF在平面ABEF内，.AF⊥CB.又AB为⊙O的 95 N 高中数学必修第四册人教B版 直径，点F在⊙O上，AF⊥BF又：CB∩BF=B,AF⊥ 平面CBF (2)解：由(1)，知CB⊥平面ABEF,即CB⊥平面 OEF,∴.三棱锥COEF的高是CB,CB=AD=1.连接OE,OF, 可知OE=OF=EF=1..△OEF为正三角形，.正△OEF的高是 Y.wem=gca-samegxx2xyx=Y肾 12· 14.C【解析】如图，连接AQ,BC边上有且只有一个 点Q,使得PQ⊥QD,BC边上有且只有一个点Q,使得 AQ⊥QD,则在平面ABCD中，以AD为直径的圆与直线 BC相切且Q为切点，设AD的中点为O,则QO⊥AD,可 得OO⊥平面PAD,作OH⊥PD交PD于点H,连接QH, 则∠OHQ是二面角A-PD-Q的平面角，设AB=PA=a,则 AD=2a,在Rt△00H中，OH=Y5a,QH=V30a 5 5 :cos∠0h0=0L=V5,÷二面角A-PD-Q的余弦值为 0H6 V6,故选C 6 第14题答图 第15题答图 15.YDa【解析】如图，取BC的中点N,连接AN 4 交EF于点M,连接A'M,BM,则A'M⊥EF平面A'EF⊥ 平面BEFC,A'M⊥平面BEFC,A'M⊥BM.AM=MN= 号AN=Y4a.4M-Y年a在R△nNB中，NB=M+ 4 NB=Gc在R△A'MB中，A'B=V+MB=YDa 4 >"阶段性练习卷（八) 1.B【解析】如图，连接AD D DB,由正方形ADDA,得AD⊥ A AD1,又由正方体AC,得AB,⊥ AD1,又AD∩AB=A1,ADC平面 ADB,AB1C平面ADB AD1⊥平面ADB.故选B 第1题答图 2.C【解析】由平面的垂线的定义，可知在平面α内 肯定不存在与直线L,平行的直线.故选C 3.C【解析】若棱柱的相邻两个侧面是矩形，则两侧 面的交线必定垂直于底面，·.该棱柱为直棱柱，满足充分 96 性；若棱柱为直棱柱，则棱柱的相邻两个侧面是矩形，满 足必要性.故“棱柱的相邻两个侧面是矩形”是“该棱柱为 直棱柱”的充要条件.故选C 4.C【解析】如图所示，取 BD的中点H,连接CH,BH,则 由正方体的性质知CH⊥DB. BB1⊥平面AB,CD1,且CHC平 面A1BCD,.CH⊥BB.BB1∩ DB=B1,.CH⊥平面BDDB, 第4题答图 .CH⊥BH,.∠HBC即为BC与平面BBDD所成的角. 设BC=1,则BC=V2,CH=Y?,M=,则在 Rt△BHC,中，cos∠HBC=V3.故选C 2 5.C【解析】BC∥B,C1,直线AC与BC所成的角 就是异面直线AC与B,C1所成的角.连接BA1,在三棱柱 ABC-ABC中，·侧棱AA1⊥平面ABC,AB=AC=AA1=1, BC=V2...BA=VAA+AB2=V2,CA=VAA+AC2= V2,.△BCA1是正三角形，故异面直线AC与BC所成 的角为60. 6.D【解析】如图，取CC1的中 点G,连接DG,MG,AM,则MG∥ A BC.设BN交AM于点E..BC⊥平面 ABBA1,NBC平面ABB1A1,∴.NB⊥ BC,NB⊥MG.正方体的棱长为 B 1,M,N分别是BB,AB1的中点， 第6题答图 ..由平面几何知识，易知BW⊥AM.又MG∩AM=M, .NB⊥平面ADGM,.满足NB⊥MP的点P所构成的图形 为矩形ADGM(不包括M点).正方体的棱长为1，.矩 形ADGM的周长为2+V5.故选D. 7.AD【解析】如图所示，P, D Q分别为棱BC和棱CC,的中点，A1 ∴.PQ∥BC,PQC平面APQ,BCt平 面APQ,BC1∥平面APQ,故A正 确；连接AD,DQ,易知AD1∥PQ, B DQ=AP,·平面APQ截正方体 第7题答图 ABCD-ABCD1所得截面为等腰梯形 APQD,故D正确；AD⊥平面ABCD1,平面ABCD,和 平面APQD1为相交平面，.AD不可能与平面APQ垂直， 故B错误；连接AB,PQ∥BC,异面直线AC与PQ 所成的角为∠ACB..△ABC为等边三角形，.∠ACB= 60°，即异面直线PQ与AC1所成的角为60°，故C错误. 故选AD,