10.3 第一课时 复数的三角形式-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦复数的三角形式这一核心知识点，前承复数代数形式及几何表示在乘除运算中的局限性，通过定义非零复数三角形式z=r(cosθ+isinθ)，系统梳理辐角、辐角主值概念及代数与三角形式互化步骤，构建完整知识支架。 资料以情境问题“能否解决复数乘除运算繁琐问题”驱动，培养数学抽象素养，通过象限判断辐角主值等例题提升逻辑推理能力，分层练习（预习自测、变式训练）强化数学运算。课中助教师高效授课，课后便于学生回顾互化方法，查漏补缺。

10．3　复数的三角形式及其运算 第一课时　复数的三角形式 课程标准 素养解读 1.了解复数的三角形式，了解复数的代数形式及三角形式之间的关系． 2．会进行复数的代数形式与三角形式的转化，了解辐角. 通过复数的几何意义，了解复数的三角形式，培养学生的逻辑推理素养，提升数学抽象素养；通过复数的代数形式与三角形式的互化，提升学生的数学运算素养. [情境引入] 通过前面的学习，我们已经知道在复平面内，复数z有两种表示：一是代数表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)；二是几何表示，复数z既可用点Z(a，b)表示，也可用向量表示，但代数形式在解决复数乘、除、乘方等问题中还是较为繁琐． 问题　能否找到复数z的另一种表示，彻底解决复数的乘、除、乘方、开方等问题？ 提示　复数的三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)(r≥0)是解决问题的桥梁． [知识梳理] [知识点一]　复数的三角形式　 一般地，非零复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应点Z(a，b)，且r＝　|z|＝　，θ是以x轴正半轴为始边，射线OZ为终边的一个角，则a＝rcos θ，b＝rsin θ，从而z＝a＋bi＝　r(cos_θ＋isin_θ)　，上式的右边称为非零复数z＝a＋bi(a，b∈R)的三角形式(对应地，a＋bi称为复数的代数形式)，其中θ称为z的　辐角　. 复数三角形式的结构特征是：模非负、角相同、余弦前、加号连，否则不是三角形式． [知识点二]　辐角与辐角主值　 (1)任何一个非零复数z的辐角有无数个，而且任意两个辐角之间相差都是　2π　的整数倍，即辐角为θ＋2kπ(k∈Z)． (2)在[0,2π)内的辐角称为z的辐角主值，记作　argz　. 1.复数三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)中θ一定是辐角主值吗？一个复数的三角形式唯一吗？ [提示]　复数三角形式中的θ不一定是辐角主值，三角形式不唯一． 2．两个复数的模和辐角主值相等是两个复数相等的充要条件吗？ [提示]　是．因为一个非零复数的模和辐角主值是唯一确定的，所以两个非零复数相等当且仅当他们的模和辐角主值相等． [预习自测] 1．复数1＋i的辐角主值为(　　) A.　B.　　C.　　D. 解析：C　[因为复数1＋i对应的点在第一象限，所以arg(1＋i)＝.] 2．复数z＝－i的三角形式为(　　) A．2 B．2 C．2 D．2 解析：D　[因为r＝2，所以cos θ＝，又z＝－i对应的点在第四象限，所以arg(－i)＝，所以z＝－i＝2.] 3．将复数化为三角形式：－2＋2i＝　________　. 解析：|－2＋2i|＝2，点(－2,2)在第二象限，又tan θ＝－1，∴arg(－2＋2i)＝， ∴－2＋2i＝2. 答案：2 4．将复数z＝5化为代数形式为　________　. 解析：z＝5＝＋i. 答案：z＝＋i 5．将复数的代数形式化为三角形式． 解：(1)z1＝2·＝2·. (2)z2＝－1－i＝·＝ ·. 复数的辐角主值 [例1]　求下列复数的模和辐角主值． (1)－1＋i；(2)－i. [思路点拨]　z＝a＋bi＝r(cos θ＋isin θ)，r是复数的模，当0≤θ＜2π时，θ的值为辐角主值，记作argz. [解]　(1)|－1＋i|＝，又tan θ＝－1，点(－1,1)在第二象限，所以arg(－1＋i)＝. (2)|－i|＝2，又tan θ＝－，点(，－1)在第四象限，所以arg(－i)＝. 适合于[0,2π)的辐角的值叫做辐角主值，除0外每个复数有且仅有一个辐角主值，一般先用复数z对应的点Z(a，b)确定角所在的象限，由tan θ＝确定在[0,2π)内的角θ，即为argz. [变式训练] 1．说出下列复数的辐角主值． (1)2i　(2)－5　(3)－3i 解：(1)arg(2i)＝.(2)arg(－5)＝π. (3)arg(－3i)＝π. 复数的三角形式的判断 [例2]　判断下列复数是否是三角形式． (1)z1＝－2(cos θ＋isin θ)； (2)z2＝cos θ－isin θ； (3)z3＝－sin θ＋icos θ； (4)z5＝cos 60°＋isin 30°. [思路点拨]　z＝a＋bi可以表示成z＝r(cos θ＋isin θ)，r≥0，θ为辐角． [解]　(1)由r≥0知，z1不是三角形式． (2)z2中cos θ与sin θ之间为减号，不是三角形式． (3)z3中正、余弦位置不对，不是三角形式． (4)z5中角不同不是三角形式． 三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)，需要的条件：①r≥0.②θ前后一致，可取任意值．③cos θ在前，sin θ在后．④加号连接，可简记为：模非负、角相同、余弦前、加号连，此四个条件缺一不可． [变式训练] 2．判断下列复数是不是三角形式． (1)3； (2)2； (3)sin－icos ； (4)cos＋isin； (5)－3； (6)5. 答案：(1)不是　(2)不是　(3)不是　(4)是 (5)不是　(6)是 　　复数代数形式与三角形式的互化 [例3]　把复数z1＝i，z2＝－1＋i分别表示为三角形式． [解]　|z1|＝1，argz1＝argi＝，∴z1＝cos＋isin. |z2|＝＝2，tan θ＝＝－，又Z2(－1，)在第二象限，∴argz2＝，∴z2＝2. [思路点拨]　z＝a＋bi(a，b∈R)＝r(cos θ＋isin θ)，注意θ的范围． 代数形式化为三角形式的步骤为： ①先求复数的模r＝|z|；②确定Z(a，b)所在的象限；③根据象限求出辐角；④写出复数三角形式．三角形式中的辐角，不一定是辐角主值，但为使表达式简单，常取辐角主值． [变式训练] 3．将下列复数化为三角形式(要求辐角为辐角主值)． (1)2＝　________　； (2)－＝　________　； (3)2＝　________　； (4)2＝　________　. 答案：(1)2 (2)　(3)2 (4)2 1．复数z＝化为代数形式为(　　) A.i＋i　　　　　 B．－＋i C．－－i D.－i 解析：D　[z＝＝sin ＋icos ＝×＋i×＝－i.] 2．复数z＝－a－ai(a＞0)的辐角主值为(　　) A. B.π C.π D.π 解析：C　[a＞0时，z对应的点(－a，－a)在第三象限，tan θ＝1，又θ∈[0,2π)，∴θ＝π.] 3．将复数z＝化为代数形式为　________　. 解析：z＝＝×cos－i×sin＝1－i. 答案：1－i 4．若复数z满足＝，arg＝，则z＝　________　. 解析：令＝z0，则|z0|＝，argz0＝.∴z0＝＝＋i由＝＋i得z＝1＋i. 答案：1＋i 5．把下列复数表示成代数形式 (1)4； (2)6； (3)； (4)3. 解：(1)4＝4×＝2＋2i. (2)6＝6＝3－3i. (3)＝×＝－1＋i. (4)3＝－3i. 1．复数1－i化成三角形式，正确的是(　　) A．2 B．2 C．2 D．2 解析：C　[|1－i|＝2，又(1，－)在第四象限且tan θ＝－，故arg(－1＋i)＝.所以化成三角形式为2.] 2．复数z＝－sin 100°＋icos 100°的辐角主值是(　　) A．80 °　　　　　　　 B．100° C．190° D．260° 解析：C　[z＝－sin 100°＋icos 100°＝cos (90°＋100°)＋isin (90°＋100°)，故argz＝190°.] 3．两个复数z1，z2的模与辐角分别相等是z1＝z2成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分又不必要条件 解析：A　[若z1＝z2，则两复数的模相等，但辐角不一定相等．] 4．若复数z＝(a＋i)2的辐角是，则实数a的值是(　　) A．1 B．－1 C．－ D．－ 解析：B　[复数z＝(a＋i)2＝a2－1＋2ai的辐角为，则z对应的点(a2－1,2a)在y轴负半轴上， ∴∴a＝－1.] 5．(多选题)下列复数不是三角形式的是(　　) A．5 B．2 C．3 D．2 解析：ABD　[由复数三角形式的结构特征判断，A中角不同，B中是减号，D中cos 前是负号，故A，B，D都不是三角形式．] 6．(多选题)设3＋4i的辐角主值为θ，则(3＋4i)·i的辐角可以是(　　) A.＋θ B.－θ C．θ－ D.－θ 解析：AC　[(3＋4i)i＝－4＋3i＝5·.又3＋4i＝5·，∴cos θ＝，sin θ＝，∴－＝－sin θ，＝cos θ， ∴5(－sin θ＋icos θ)＝ 5·. ∴(3＋4i)i的辐角主值为＋θ.故选A、C.] 7.的三角形式为　________　(要求辐角为辐角主值)． 解析：＝＝－－ ＝＝. 答案： 8．arg＝　________　. 解析：z＝icos ，cos ＞0，点在y轴正半轴，故arg＝. 答案： 9．(多空题)复数z＝3＋3i化为三角形式为　________　，arg z＝　________　. 解析：|z|＝6，z对应的点(3，3)在第一象限，tan θ＝，∴argz＝，∴z＝6. 答案：6　 10．写出下列复数的三角形式． (1)tan θ＋i；(2)－(sin θ－icos θ)． 解：(1)tan θ＋i＝＋i＝－(－sin θ－i·cos θ) ＝－. (2)－(sin θ－icos θ) ＝·. 11．已知复数z＝2＋3i，是z的共轭复数，求复数 u＝z－i的辐角主值与模． 解：∵z＝2＋3i，∴＝2－3i，∴u＝2＋3i－i·(2－3i)＝2＋3i－2i－3＝－1＋i，u对应的点为(－1,1)在第二象限，又tan θ＝－1，∵argu＝π，|u|＝|－1＋i|＝. 12．将复数1＋i所表示的向量绕原点按逆时针方向旋转θ角(0＜θ＜2π)所得的向量对应的复数为－2，则θ＝　________　. 解析：arg(1＋i)＝，arg(－2)＝π，|1＋i|＝2.所以将1＋i所表示的逆时针旋转θ＝，所得向量对应的复数为－2. 答案： 13．求复数z＝1＋cos θ＋isin θ(π＜θ＜2π)的模与辐角主值． 解：z＝1＋cos θ＋isin θ＝1＋＋2i· sin cos ＝2cos ①. ∵π＜θ＜2π，∴＜＜π，∴cos ＜0. ∴①式右端＝－2cos ＝－2cos ＋isin ， ∴|z|＝r＝－2cos ， arg z＝π＋＋2kπ(k∈Z)． ∵＜＜π，∴π＜π＋＜2π， ∴arg z＝π＋. 学科网（北京）股份有限公司 $