10.3 第二课时 复数三角形式的乘除法-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂教师用书word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦复数三角形式的乘、除及乘方运算，从复数代数形式运算引入，通过问题情境提出三角形式运算的必要性，系统梳理模乘除/乘方、辐角加减/n倍的运算法则及向量旋转伸缩的几何意义，构建完整学习支架。 该资料以情境问题激发探究（数学眼光），结合向量理解几何意义培养逻辑推理（数学思维），例题变式兼顾代数与三角形式转化提升数学运算素养（数学思维）。课中辅助教师清晰授课，课后通过预习自测和练习题帮助学生巩固，有效查漏补缺。

第二课时　复数三角形式的乘除法 课程标准 素养解读 1.掌握复数的三角形式的乘、除及乘方运算． 2．掌握复数的代数形式与三角形式的运算特点. 从向量的角度理解复数的三角形式的乘、除、乘方运算及几何意义，培养学生的逻辑推理素养，提升数学运算素养. [情境引入] 复数代数形式可进行加、减、乘、除四则运算． 问题　三角形式表示的两个复数的乘积，可否由代数形式的乘法法则得出？ 提示　三角形式下两个复数的乘积仍可按代数形式进行计算，但过程繁杂，运用三角形式下两复数的乘法法则可使运算简便． [知识梳理] 1．复数三角形式的乘法 设复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝　r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]　，即由两个复数z1，z2的三角形式可得z1z2的三角形式，z1的模乘以z2的模等于　z1z2的模　，　z1的辐角与z2的辐角之和　是z1z2的辐角． 简记为：模数相乘，辐角相加 几何意义：设z1，z2对应的向量分别为1，2，将1绕原点旋转θ2，再将1的模变为原来的　r2　倍，如果所得向量为，则对应的复数即为z1z2. 2．复数的乘方 [r(cos θ＋isin θ)]n＝　rn[cos(nθ)＋isin(nθ)]　，n∈N，即复数n次幂的模等于　模的n次方　，辐角等于　复数辐角的n倍　. 简记为：模数乘方，辐角n倍 3．复数三角形的除法 设复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则＝＝　[cos (θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]　，即由两个复数z1，z2(z2≠0)的三角形式可得的三角形式；z1的模　除以　z2的模等于的模，z1的辐角　减去　z2的辐角是的辐角． 简记为：模数相除，辐角相减 1.三角形式下两个复数相乘，积的辐角等于这两个复数的辐角的和，能将其中“辐角”换为“辐角主值”吗，即arg(z1z2)与argz1，argz2有怎样的关系？ [提示]　积的辐角等于原来两个复数的辐角集合中各任取一个，求和角，所有和角组成的集合，即为积的辐角的集合，而积的辐角主值不一定等于这两个复数的辐角主值和．arg(z1z2)＝argz1＋argz2＋2kπ，其中整数k使argz1＋argz2＋2kπ∈[0,2π)． 2．由三角形式的乘法法则，结合向量知识，如何理解复数乘法的几何意义？ [提示]　复数的乘法实质上就是向量的旋转和伸缩，旋转方向与角度取决于从另一复数的辐角集合中取出来的值，伸长或缩短及其倍数取决于另一复数的模的大小． [预习自测] 1．把复数a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的向量绕原点O点按顺时针方向旋转90°后所得向量对应的复数为(　　) A．a－bi　　　　　 B．－a＋bi C．b－ai D．－b＋ai 解析：C　[按顺时针旋转90°，即将复数与－i相乘，∴所求复数为(a＋bi)·(－i)＝b－ai.] 2．设π＜θ＜，则复数的辐角主值为(　　) A．2π－3θ B．3θ－2π C．3θ D．3θ－π 解析：B　[＝＝cos 3θ＋isin 3θ. ∵π＜θ＜，∴3π＜3θ＜，∴π＜3θ－2π＜，故本题应选B.] 3.·＝　________　. 解析：·＝ 3＝3＝－3－3i. 答案：－3－3i 4．计算(cos π＋isin π)÷＝　________　. 解析：(cos π＋isin π)÷＝cos＋isin＝－＋i. 答案：－＋i 5.·＝　________　. 解析：·＝×＝ . 答案： 复数三角形式的乘法 [例1]　 (1)·； (2)3(cos 20°＋isin 20°)·[2(cos 50°＋isin 50°)][10(cos 80°＋isin 80°)]； (3)(－1＋i). [思路点拨]　运用复数三角形式的乘法运算法则直接求解． 解：(1)原式＝2× 3＝ 6＝3＋3i. (2)原式＝3×2×10[cos(20°＋50°＋80°)＋ isin(20°＋50°＋80°)]＝60(cos 150°＋isin 150°)＝ －30＋30i. (3)(－1＋i)＝·＝＝＝i. 两个复数三角形式相乘，把模相乘作为积的模，把辐角相加作为积的辐角．若遇到复数的代数形式与三角形式混合相乘时，需将相混的复数统一成代数形式或三角形式，然后再进行复数的代数形式相乘或三角形式相乘． [变式训练] 1．已知z1＝8(cos 240°＋isin 240°)，z2＝2(cos 150°－isin 150°)，求z1z2的代数形式． 解：z2＝2(cos 150°－isin 150°)＝2[cos(－150°)＋isin(－150°)]，∴z1z2＝8×2[cos(240°－150°)＋isin(240°－150°)]＝16(cos 90°＋isin 90°)＝16i. 复数三角形式的除法 [例2]　计算：i3÷. [思路点拨]　直接运用复数三角形式的除法法则进行运算． [解]　i3÷＝－i÷＝(cos 270°＋isin 270°)÷＝2[cos(270°－120°)＋isin(270°－120°)]＝2(cos 150°＋isin 150°)＝－＋i. 两个三角形式的复数相除(除数不为0)，则商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，它的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．出现复数的代数形式先转化为复数的三角形式再计算． [变式训练] 2．计算： (1)4÷； (2). 解：(1)4÷＝ 2＝2＝2i. (2)∵1＋i＝2，－＋i＝ 2，1＋i＝， －1－i＝，－1＋i＝， ∴＝＝ 2＝2＝＋i. 　　复数乘法、除法的几何意义 [例3]　若1与2分别表示复数z1＝1＋2i，z2＝7＋i，求∠Z2OZ1并判断△OZ1Z2的形状． [思路点拨]　运用复数乘法、除法的几何意义求解． [解]　欲求∠Z2OZ1，可计算.∵＝＝＝＝ ，∴∠Z2OZ1＝，且＝，由余弦定理，设|OZ1|＝k，|OZ2|＝2k(k＞0)，则|Z1Z2|2＝k2＋(2k)2－2k·2k·cos ＝3k2， ∴|Z1Z2|＝k，而k2＋(k)2＝(2k)2， ∴△OZ1Z2为有一锐角为60°的直角三角形． 复数相乘、相除实质上就是复数所对向量的旋转和伸缩，旋转的角度与方向，取决于另一复数的辐角的正、负与大小． [变式训练] 3．设复数z1，z2对应的向量分别为，，O为坐标原点，且z1＝－1＋i，若把绕原点逆时针旋转，把绕原点顺时针旋转，所得两向量恰好重合，求复数z2. 解：依题意知(－1＋i)·＝.∴z2＝(－1＋i) 1．若复数n为实数，则正整数n的最小值是(　　) A．1　　B．2　　　C．3　　　D．4 解析：B　[因为＝＝i，所以n＝in为实数，所以n的最小值为2.] 2．z＝2(cos 20°＋isin 20°)，则＝　________　. 解析：＝＝[cos(－20°)＋isin(－20°)]． 答案：[cos(－20°)＋isin(－20°)] 3．计算：(＋i)(cos 60°＋isin 60°)＝　________　. 解析：法一　(＋i)(cos 60°＋isin 60°)＝ 2(cos 30°＋isin 30°)(cos 60°＋isin 60°)＝2(cos 90°＋isin 90°)＝2i. 法二　(＋i)(cos 60°＋isin 60°)＝(＋i)＝＋i＋i－＝2i. 答案：2i 4．计算：2(cos 5°＋isin 5°)×4(cos 30°＋isin 30°)× (cos 25°＋isin 25°)． 解：2(cos 5°＋isin 5°)×4(cos 30°＋isin 30°)× (cos 25°＋isin 25°)＝8(cos 35°＋isin 35°)× (cos 25°＋isin 25°)＝4(cos 60°＋isin 60°)＝ 2＋2i. 5．计算：2i÷. 解：2i÷＝2(cos 90°＋ isin 90°)÷＝4(cos 60°＋isin 60°)＝2＋2i. 1．复数z＝cos ＋isin 是方程x5＋a＝0的一个根，那么a的值＝(　　) A.＋i　　　　　　　 B.＋i C．－－i D．－－i 解析：D　[z5＝5＝cos ＋ isin ＝＋i，a＝－z5＝－－i.] 2．计算4· 的结果是(　　) A．2 B．2 C．2 D．8 解析：C　[原式＝ 4·＝ 2 ＝2.] 3．已知关于x的实系数方程x2＋x＋p＝0的两虚根a，b满足|a－b|＝3，则p的值是(　　) A．－2 B．－ C. D．1 解析：C　[方程x2＋x＋p＝0的两虚根a，b互为共轭复数，设a＝r(cos θ＋isin θ)，则b＝r[cos (－θ)＋isin (－θ)]，p＝r2，又a＋b＝－1，|a－b|＝3，∴2rcos θ＝－1，|2rsin θ·i|＝3，∴r2＝，即p＝.] 4．设π＜θ＜，则复数的辐角主值为(　　) A．2π－3θ B．3θ－2π C．3θ D．3θ－π 解析：B　[z＝＝ ＝cos 3θ＋isin 3θ，∵π＜θ＜，∴3π＜3θ＜，∴arg z＝3θ－2π.] 5．(多选题)若复数n为实数，则正整数n值可以是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：BD　[n＝n＝n＝cos ＋isin ，由sin ＝0，得n＝2k(k∈Z)，又n为正整数，∴n＝2或4.] 6．(多选题)设z1，z2是复数，argz1＝α，argz2＝β，则arg(z1·z2)有可能是下列情况中的哪些(　　) A．α＋β B．α＋β－2π C．2π－(α＋β) D．π＋α＋β 解析：AB　[设z1＝r1(cos α＋isin α)，z2＝r2(cos β＋isin β)，则z1z2＝r1r2[cos(α＋β)＋isin (α＋β)]，∴arg(z1z2)＝α＋β＋2kπ(k∈Z)且arg(z1z2)∈[0,2π)．] 7.· ＝　________　. 解析：原式 ＝3 ＝3＝－3－3i. 答案：－3－3i 8．设z＝(－3＋3i)n，n∈N*.当z∈R时，n的最小值为　________　. 解析：z＝(－3＋3i)n＝n＝6n∈R，∴sin ＝0，∴＝kπ(k∈Z)，∴n＝k(k∈Z)，又n∈N*，∴n的最小值为4. 答案：4 9．如果向量对应复数4i，绕原点O逆时针旋转45°后再把模变为原来的倍，得到向量，那么与对应的复数是　____________　，其模是　________　. 解析：z1＝4i·(cos 45°＋isin 45°)＝4·[cos(90°＋45°)＋isin(90°＋45°)]＝－4＋4i；|z1|＝＝4. 答案：－4＋4i　4 10．设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，已知z1z的对应点在虚轴的负半轴上，且argz2∈(0，π)，求z2的代数形式． 解：因为z1＝2， 设z2＝2(cos α＋isin α)，α∈(0，π)， 所以z1z＝8. 由题设知2α＋＝2kπ＋(k∈Z)， 所以α＝kπ＋(k∈Z)， 又α∈(0，π)，所以α＝， 所以z2＝2＝－1＋i. 11．计算：(1)10÷(3i)； (2)[2(cos 50°＋isin 50°)]－4. 解：(1)原式＝10 ÷ ＝ ÷ ＝÷ ＝ ＝＝＋i. (2)原式＝4 ＝4[cos(－50°)＋isin (－50°)]4 ＝[cos (－200°)＋isin (－200°)]． 12．若复数z满足arg(z＋4)＝，则|z|的最小值为(　　) A．1 B．2 C．2 D．3 解析：B　[设z＋4＝r，∴z＝r－4＋r·i，|z|＝＝＝，∴|z|min＝2.] 13．已知z＝－2i，z1－·z2＝0，argz2＝，若z1，z2在复平面上分别对应点A，B，且|AB|＝，求z1的立方根． 解：由题设知z＝1－i，因为|AB|＝， 即|z1－z2|＝， 所以|z1－z2|＝|z2－z2|＝|(1＋i)z2－z2|＝ |iz2|＝|z2|＝， 又argz2＝，所以z2＝， z1＝z2＝(1＋i)z2 ＝· ＝2， 所以z1的立方根为 ， k＝0,1,2，即， ，. 学科网（北京）股份有限公司 $