10.2.1 复数的加法与减法-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学复数的加法与减法，系统梳理代数形式运算法则（实部虚部分别加减）、几何意义（向量加减的平行四边形及三角形法则）、运算律（交换律、结合律），通过情境引入（实数运算类比）、知识梳理、预习自测、例题及变式训练构建学习支架。 资料特色在于情境贴近生活（上海到台北直航节时类比运算），几何意义结合向量直观理解，例题与变式训练层次递进。通过运算培养数学运算素养，几何意义提升数学抽象与直观想象能力，课中辅助教师授课，课后练习题覆盖基础与综合应用，助力学生查漏补缺。

10．2　复数的运算 10．2.1　复数的加法与减法 课程标准 素养解读 熟练掌握复数的代数形式的加、减运算法则，理解复数加、减法的几何意义. 通过复数加、减法的几何意义，提升数学抽象素养，通过运用复数加、减运算法则，培养数学运算素养. [情境引入] 乘飞机从上海到香港约2.5小时，从香港到台北约4小时．因此从上海经香港转航到台北约6.5小时．在两岸同胞的共同努力下，现在实现两岸直航，上海到台北只需约1.5小时．比直航前节省约5小时，有关航行节时的多少．体现了实数集内的代数运算． 问题　复数集内可进行复数的四则运算吗？ 提示　能进行复数的四则运算，复数的加减运算可以按照向量的加减进行． [知识梳理] [知识点一]　复数的加法法则　 1．运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝　(a＋c)＋(b＋d)　i，两个复数的和仍然是一个确定的　复数　. 2．复数加法的几何意义 如图(1)，复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数． 3．加法运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝　z2＋z1　，(z1＋z2)＋z3＝　z1＋(z2＋z3)　. 　复数加法应注意什么？ [提示]　复数加法的几个注意点 1．因复数具有数与形的多重性，因此复数加法也应从数与形两方面领会，代数形式上，复数加法类似于多项式的加法的合并同类项．几何形式上，复数加法同向量加法． 2．两复数的和是一个确定的复数． 3．实数的运算性质，在复数集中仍然成立． 4．复数加法的几何意义 　两个向量与的和就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量，复数的加法可以按照向量的加法来进行． [知识点二]　复数的减法法则　 1．运算法则 复数的减法是　加法　的逆运算； 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则(a＋bi)－(c＋di)＝　(a－c)＋(b－d)i　，两个复数的差是一个确定的　复数　. 2．复数减法的几何意义 如图(2)，复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数． [预习自测] 1．计算(3＋i)－(2＋i)的结果为(　　) A．5＋2i　　　　　 B．－i C．1 D．1－i 解析：C　[(3＋i)－(2＋i)＝3＋i－2－i＝1.故选C.] 2．已知i是虚数单位，复数z1＝－3＋2i，z2＝1－4i.则复数z＝z1＋z2在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：C　[由复数加法运算可知，z＝z1＋z2＝－3＋2i＋1－4i＝－2－2i，在复平面内对应的点坐标为(－2，－2)，在第三象限．故选C.] 3．在复平面内，复数1＋i和1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||＝(　　) A. B．2 C. D．4 解析：B　[由复数减法运算的几何意义知，对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，所以||＝2.] 4．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝　________　. 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R), 因为|z|＝3，所以a2＋b2＝9.因为z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i为纯虚数，所以即又a2＋b2＝9，所以所以z＝3i. 答案：3i 5．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝　________　，z2＝　________　. 解析：z＝z1－z2＝(3x＋y－4y＋2x)＋(y－4x＋5x＋3y)i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i. ∴ 解得 ∴z1＝5－9i， z2＝－8－7i. 答案：5－9i　－8－7i 复数的加、减运算 [例1]　(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝　________　. (2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝　________　. [思路点拨]　若z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a，b，c，d∈R)．则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i， z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. [解析]　(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i. (2)z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i， 所以解得 所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i, 则z1＋z2＝1－i， 所以|z1＋z2|＝. [答案]　(1)－2－i　(2) 复数代数形式的加、减法运算技巧 1．复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部． 2．算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部，虚部与虚部分别相加减． 3．复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算． [变式训练] 1．(1)计算(2＋4i)＋(3－4i)； (2)计算(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i)． 解：(1)原式＝(2＋3)＋(4－4)i＝5. (2)原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i＝－2＋2i. 复数加、减法的几何意义 [例2]　在复平面内，已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,2＋4i,3－3i.求： (1)向量对应的复数； (2)向量对应的复数； (3)点B对应的复数． [思路点拨]　明确向量运算与复数运算的关系，先求向量再计算利用复数． [解]　复平面内平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别0,2＋4i,3－3i，∴向量对应的复数2＋4i，向量对应的复数为3－3i. (1)∵＝－，∴向量对应的复数为－(3－3i)＝－3＋3i. (2)∵＝－，∴向量对应的复数为(3－3i)－(2＋4i)＝1－7i. (3)∵＝＋，∴向量对应的复数为(2＋4i)＋(3－3i)＝5＋i，∴点B对应的复数为5＋i. 复数z与复平面内的向量是一一对应的关系，复数的加法可以按照向量的加法来进行，即复数的加法符合向量加法的三角形法则、平行四边形法则． 类比实数减法的意义．复数的减法也是加法的逆运算：减去一个复数等于加上这个复数的相反数． 若用d表示平面内点Z1和Z2之间的距离，则d＝||＝|z1－z2|，其中z1，z2是复平面内的两点Z1，Z2对应的复数．这就是复平面内两点间的距离公式． [变式训练] 2．(1)已知复平面内的平面向量，表示的复数分别是－2＋i,3＋2i，则||＝　________　. (2)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限上，则实数a的取值范围是　________　. 解析：(1)∵＝＋， ∴表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i， ∴||＝＝. (2)z2－z1＝1＋(a－1)i，由题意知a－1<0， 即a<1. 答案：(1)　(2)(－∞，1) 　　　复数加、减法及几何意义的综合应用 [例3]　(1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　) A．1　　　　　　 B. C．2 D. (2)若复数z满足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值最小值． [思路点拨]　审清题意，正确画出图形，以形助数． [解析]　(1)设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2， 所以点Z的集合为线段Z1Z2. 问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值， 因为|Z1Z3|＝1.所以|z＋i＋1|min＝1. (2)解　如图所示， ||＝＝2. 所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1. [答案]　(1)A　(2)见解析 (1)设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用． (2)在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形． [变式训练] 3．设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，1≤|z|≤2，则|z＋1|的取值范围是　________　. 解析：由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤|z|≤2表示如图所示的圆环，而|z＋1|表示复数z的对应点A(a，b)与复数z1＝－1的对应点B(－1,0)之间的距离，即圆环内的点到点B距离d.由图易知当A与B重合时，dmin＝0，当点A与点C(2,0)重合时，dmax＝3，∴0≤|z＋1|≤3. 答案：[0,3] 1．若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于(　　) A．0　　　　　　 B．2i C．6 D．6－2i 解析：D　[z＝3－i－(i－3)＝6－2i.] 2．复数z1＝3＋i，z2＝i2＋i，则z1＋z2在复平面内表示的点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：B　[z1＋z2＝(3＋i)＋(i2＋i)＝(3＋i)＋ (－1＋i)＝2＋2i，对应的点在第一象限．] 3．(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝　________　(a，b∈R)． 解析：(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i. 答案：－a＋(4b－3)i 4．在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为1＋3i，－i,2＋i，若＝，则点D表示的复数是　________　. 解析：∵点A，B，C对应的复数分别为1＋3i，－i， 2＋i，∴A(1,3)，B(0，－1)，C(2,1)，∴＝(2,2)． 设D(x，y)，则＝(x－1，y－3)．∵＝， ∴(x－1，y－3)＝(2,2)，∴解得 ∴点D表示的复数为3＋5i. 答案：3＋5i 5．已知复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点分别是正方形ABCD的三个顶点A，B，C，求这个正方形的第四个顶点D对应的复数． 解：设第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图．则＝－＝(x，y)－(1,2)＝(x－1，y－2)，＝－＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)．∵＝， ∴解得故点D对应的复数为2－i. 1．若z－3＋5i＝8－2i，则z等于(　　 ) A．8－7i　　　　　 B．5－3i C．11－7i D．8＋7i 解析：C　[z＝8－2i－(－3＋5i)＝11－7i.] 2．在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，则表示的复数为(　　 ) A．2＋8i B．4－4i C．－6－6i D．－4＋4i 解析：B　[＝－＝－(＋)＝(3,2)－(1,5)－(－2,1)＝(4，－4)．] 3．若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于(　　 ) A．3，－2 B．3,2 C．3，－3 D．－1,4 解析：A　[(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi， 所以a＝3，b＝－2.] 4．|(3－5i)＋(2i＋i2)|＝(　　 ) A．3 B. C．2 D. 解析：D　[|(3－5i)＋(2i＋i2)|＝|(3－5i)＋(－1＋2i)|＝|(3－1)＋(－5＋2)i|＝|2－3i|＝＝.] 5．在复平面内的平行四边形ABCD中，对应的复数是6＋8i，对应的复数是－4＋6i，则对应的复数是(　　 ) A．2＋14i B．1＋7i C．2－14i D．－1－7i 解析：D　[依据向量的平行四边形法则可得＋＝，－＝，由对应的复数是6＋8i，对应的复数是－4＋6i，依据复数加减法的几何意义可得对应的复数是－1－7i.] 6．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB一定是(　　 ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 解析：B　[根据复数加(减)法的几何意义，知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三角形．] 7．在复平面内，若、对应的复数分别为7＋i、3－2i，则||＝　________　. 解析：||＝|－|＝|－4－3i|＝＝5. 答案：5 8．若复数z满足z＝|z|－3－4i，则z＝　____________　. 解析：设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则a＝－3且b＝－4，解得a＝，b＝－4，所以z＝－4i. 答案：－4i 9．已知复数|z|＝1，则复数3＋4i＋z的模的最大值为　________　，最小值为　________　. 解析：令ω＝3＋4i＋z， 则z＝ω－(3＋4i)． ∵|z|＝1，∴|ω－(3＋4i)|＝1， ∴复数ω在复平面内对应的点的轨迹是以(3,4)为圆心，1为半径的圆，如图，容易看出，圆上的点A所对应的复数ωA的模最大，为＋1＝6，圆上的点B所对应的复数ωB的模最小，为－1＝4，∴复数3＋4i＋z的模的最大值和最小值分别为6和4. 答案：6　4 10．设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围． 解：z1＋z2＝＋[(m－15)＋m(m－3)]i＝＋(m2－2m－15)i，因为z1＋z2是虚数，所以m2－2m－15≠0且m≠－2，所以m≠5且m≠－3且m≠－2，所以m的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞)． 11．已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点． (1)求对应的复数； (2)求对应的复数； (3)求△APB的面积． 解：(1)由于ABCD是平行四边形，所以＝＋，于是＝－，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，即对应的复数是－2＋2i. (2)由于＝－，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，即对应的复数是5. (3)由于＝＝－＝， ＝＝， 于是·＝－，而||＝，||＝，所以··cos∠APB＝－，因此 cos∠APB＝－，故sin ∠APB＝，故S△APB＝||||sin ∠APB＝×××＝.即△APB的面积为. 12．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝(　　 ) A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i 解析：A　[∵z1＝2＋i在复平面内的对应点的坐标为(2,1)， 又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称， 则z2的对应点的坐标为(－2,1)， 即z2＝－2＋i， ∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.] 13．已知集合A＝{z1|│z1＋1│≤1, z1∈C}，B＝{z2| z2＝z1＋i＋m, z1∈A，m∈R}． (1)当A∩B＝∅时，求实数m的取值范围； (2)是否存在实数m，使得A∩B＝A? 解：因为| z1＋1|≤1，所以 z1所对应的点构成的集合A是以(－1,0)为圆心，以1为半径的圆面(圆周及其内部)．又z 2＝z 1＋i＋m，所以 z1＝z2－i－m.所以|z 2－i－m＋1|≤1，即|z 2－[(m－1)＋i]|≤1. 所以z 2所对应的点的集合B是以点(m－1,1)为圆心，1为半径的圆面(圆周及其内部)． (1)若A∩B＝∅，说明上述两圆外离，其圆心距d＝＞2，解得m的取值范围是{m|m∈R，且m＞或m＜－}． (2)若A∩B＝A，因为两圆半径相等，所以两圆重合，但由圆心的坐标(－1,0)及(m－1,1)可知它们不可能重合，所以不存在实数m，使A∩B＝A. 学科网（北京）股份有限公司 $