10.1.2 复数的几何意义-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦“复数的几何意义”核心知识点，系统梳理复平面（实轴、虚轴）、复数与复平面内点及向量的一一对应关系、复数的模、共轭复数等内容，承接复数代数形式，搭建代数与几何的桥梁，为后续复数运算几何意义学习提供支架。 该资料以高斯创立复平面的历史情境引入，通过类比实数与数轴的对应提出问题，结合例题、变式训练及预习自测，强化数学抽象（复数与点/向量对应）和数学运算（模的计算）素养。课中助教师清晰授课，课后练习帮助学生查漏补缺，提升用数学眼光观察、思维思考的能力。

10.1.2　复数的几何意义 课程标准 素养解读 理解复数的代数形式及其几何意义，掌握用向量的模表示复数模的方法，理解共轭复数的概念. 通过复数代数形式及其几何意义的理解、复数模的运用，共轭复数的概念的理解．体会数学抽象及数学运算素养. [情境引入] 19世纪末20世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时，首次引进“复数”这个名词，他把复数与平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础． 复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础． 问题　实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？ 提示　任何一个复数z＝a＋bi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应． [知识梳理] [知识点一]　复平面　 　一个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做　复平面　，x轴叫做　实轴　，y轴叫做　虚轴　.显然，实轴上的点都表示　实数　；除了原点外，虚轴上的点都表示　纯虚数　. [知识点二]　复数的几何意义　 1．复数集C中的数与复平面内的点按如下方式建立了　一一　对应关系复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义． 2．复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了　一一　对应关系(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi平面向量　　.相等的向量表示同一个复数． 1.复数的几何意义需注意哪些问题？ [提示]　复数的几何意义的理解中需注意的问题 (1)复数的实质是有序实数对． (2)复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i. (3)当a＝0时，对任何b≠0，a＋bi＝0＋bi＝bi是纯虚数，所以纵轴上的点(0，b)(b≠0)都表示纯虚数． (4)复数z＝a＋bi中的z，书写时应小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时应大写． [知识点三]　复数的模　 　向量的模叫做复数z＝a＋bi的　模　(modulus of a complex number)或　绝对值　，记作　|z|或|a＋bi|　，即|z|＝|a＋bi|＝　　，其中a，b∈R. 如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于　|a|　(a的绝对值)． [知识点四]　共轭复数　 　一般地，当两个复数　实部相等，虚部互为相反数　时，这两个复数叫做互为共轭复数(conjugate complex number)，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做　共轭虚数　.复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝　a－bi　. 2.共轭复数的特点是什么？ [提示]　根据共轭复数的定义，若z1，z2是共轭复数，则它们在复平面内所对应的点Z1，Z2关于实轴对称． [预习自测] 1．已知复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上，则(　　) A．a≠2或a≠1　　　　 B．a≠2，且a≠1 C．a＝0 D．a＝2或a＝0 解析：D　[由题意，得a2－2a＝0，得a＝0或a＝2.故选D.] 2．|－i|＝(　　) A．1　　B．2　　　C．3　　　D．4 解析：A　[|－i|＝＝1.] 3．如果复数z与3＋4i对应的有序实数对关于虚轴对称，那么z对应的向量的模是(　　) A．1　　B.　　　C.　　　D．5 解析：D　[复数z对应的向量的坐标为(－3,4)，其模为＝5.故选D.] 4．(2021·上海卷)已知A＝{x|2x≤1}，B＝{－1,0,1}，求A∩B＝　________　. 解析：A＝，B＝{－1,0,1}，∴A∩B＝{－1,0}， 答案：{－1,0} 5．当m<1且m∈R时，复数z＝2＋(m－1)i在复平面内对应的点位于第　________　象限． 解析：因为m<1，所以m－1<0.因为复数z＝2＋(m－1)i在复平面内对应的点的坐标为(2，m－1)，所以复数z＝2＋(m－1)i在复平面内对应的点位于第四象限． 答案：四 6．已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i，当实数m取什么值时，复数z是(1)零；(2)纯虚数；(3)z＝2＋5i. 解：(1)由可得m＝1； (2)由可得m＝0； (3)由可得m＝2； 综上：当m＝1时，复数z是0；当m＝0时，复数z是纯虚数；当m＝2时，复数z＝2＋5i. 复数与复平面内的点 [例1]　在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限； (3)在第二、四象限；(4)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围． [思路点拨]　解题的关键是理解复数的几何意义——复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)． [解]　复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10. (1)由题意得m2－2m－8＝0. 解得m＝－2或m＝4. (2)由题意，∴2<m<4. (3)由题意，(m2－2m－8)(m2＋3m－10)<0， ∴2<m<4或－5<m<－2. (4)由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10， 故m＝. 利用复数与点的对应解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据． (2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解． [变式训练] 1．设复数z＝(a＋1)＋(2－a2)i，对应的点Z满足下列关系，求a的范围． (1)点Z在第二象限； (2)点Z在直线y＝2x上． 解：(1)如满足点Z在第二象限，则须有 解得－<a<－1. (2)如点Z在y＝2x上，则有2－a2＝2(a＋1)，即a＝0或a＝－2. 复数与复平面内的向量的关系 [例2]　(1)向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是(　　) A．－10＋8i　　　　　　　 B．10－8i C．0 D．10＋8i (2)设O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是(　　) A．－5＋5i B．－5－5i C．5＋5i D．5－5i [思路点拨]　解题的关键是理解复数与复平面内的点，向量的一一对应关系． [解析]　(1)由复数的几何意义，可得 ＝(5，－4)，＝(－5,4)， 所以＋＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)， 所以＋对应的复数为0. (2)由复数的几何意义，得＝(2，－3)，＝(－3,2)，＝－＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，－5)． 所以对应的复数是5－5i. [答案]　(1)C　(2)D 1．以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变． 2．利用复数与向量的联系，可以用向量表示复数，使有些复数问题转化为向量问题去处理，借助向量去解决复数问题． [变式训练] 2．在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的共轭复数． z1＝1－i；z2＝－＋i；z3＝－2；z4＝2＋2i. 解：在复平面内分别画出点Z1(1，－1)，Z2(－，)，Z3(－2,0)，Z4(2,2)，则向量，，，分别为复数z1，z2，z3，z4对应的向量，如图所示． 1＝1＋i；2＝－－i；3＝－2；4＝2－2i. 复数的模 [例3]　(1)若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数z＝(　　) A．1＋2i B．－1－2i C．±1±2i D．1＋2i或－1－2i (2)设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－1,1) C．(1，＋∞) D．(0，＋∞) [思路点拨]　(1)利用|z|＝构造方程． (2)分别求出z1，z2的模，再比较大小． [解析]　(1)依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝得＝， 解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i. (2)因为|z1|＝，|z2|＝＝，所以<，即a2＋4<5，所以a2<1，即－1<a<1. [答案]　(1)D　(2)B 复数模的计算 (1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算，虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． (2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解． [变式训练] 3．求复数z1＝6＋8i与z2＝－－i的模，并比较它们的模的大小． 解：∵z1＝6＋8i，z2＝－－i， ∴|z1|＝＝10， |z2|＝＝. ∵10>，∴|z1|>|z2|. 复数的几何意义 [例4]　设z∈C，在复平面内对应点Z.试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形． (1)|z|＝2； (2)1≤|z|≤2. [思路点拨]　|z|＝||＝的几何意义是解题的关键． [解]　(1)方法一　|z|＝2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆． 方法二　设z＝a＋bi，由|z|＝2，得a2＋b2＝4.故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆． (2)不等式1≤|z|≤2可以转化为不等式组不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2及该圆内部所有点的集合． 不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1及该圆外部所有点的集合． 这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合．如图中的阴影部分，所求点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界． 解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离．可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决． [变式训练] 4．若复数z满足|z－i|≤(i为虚数单位)，则z在复平面所对应的图形的面积为　________　. 解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z－i＝x＋yi－i＝x＋(y－1)i，∴|z－i|＝，由|z－i|≤知≤，即x2＋(y－1)2≤2.∴复数z对应的点(x，y)构成以(0,1)为圆心，为半径的圆面(含边界)，∴所求图形的面积为S＝2π. 答案：2π 1．已知复数z的共轭复数＝1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：D　[由＝1＋2i知z＝1－2i，故z在复平面内对应的点为(1，－2)，在第四象限．] 2．若z1＝3＋4i，z2＝－－i，则(　　) A．|z1|＝|z2| B．|z1|＞|z2| C．|z1|＜|z2| D．不能确定 解析：B　[|z1|＝＝5，|z2|＝＝.∵5＞，∴|z1|＞|z2|.] 3．若复数z＝1＋ai(i是虚数单位)的模不大于2，则实数a的取值范围是　________　. 解析：复数z＝1＋ai(i是虚数单位)的模不大于2，即1＋a2≤4，即a2≤3，可得a∈[－，]． 答案：[－，] 4．若复数z1＝3＋ai，z2＝b＋4i(a，b∈R)，且z1与z2互为共轭复数，则z＝a＋bi的模为　________　. 解析：由共轭复数的定义得 ∴|z|＝|－4＋3i|＝＝5. 答案：5 5．实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i (1)对应的点在x轴上方； (2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上？ 解：(1)由题意知m2－2m－15＞0，得m＜－3，或m＞5，所以当m＜－3，或m＞5时，复数z对应的点在x轴上方．(2)由题意知(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，得m＝1，或m＝－，所以当m＝1，或m＝－时，复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上． 1．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则a的值为(　　) A．a＝0或a＝2　　　　 B．a＝0 C．a≠1且a≠2 D．a≠1或a≠2 解析：B　[∵复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上， ∴∴a＝0.故选B.] 2．已知i为虚数单位，z为复数，下面叙述正确的是(　　 ) A.为纯虚数 B．任何数的偶数次幂均为非负数 C．i＋1的共轭复数为i－1 D．2＋3i的虚部为3 解析：D　[当z为实数时A错；由i2＝－1知B错；由共轭复数的定义知1＋i的共轭复数为1－i，C错．] 3．已知0＜a＜2，复数 z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是(　　) A．(1，) B．(1，) C．(1,3) D．(1,5) 解析：B　[|z |＝.∵0＜a＜2，∴0＜a2＜4. ∴1＜＜，即1＜|z |＜.故选B.] 4．使|x－4i|≥|3＋4i|成立的x的取值范围是(　　) A. B．(0,1]∪[8，＋∞ ) C.∪[8，＋∞) D．(0,1)∪(8，＋∞) 解析：C　[由已知得(x)2＋(－4)2≥32＋42，∴(logx)2≥9. ∴x≥3或x≤－3.∴x∈∪[8，＋∞)．] 5．非零复数z1，z2分别对应复平面内的向量，，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则(　　) A.＝ B．||＝|| C.⊥ D.，共线 解析：C　[如图，由向量的加法及减法法则可知，＝＋，＝－. 由复数加法及减法的几何意义可知，|z1＋z2|对应的模， |z1－z2|对应的模． 又|z1＋z2|＝|z1－z2|，所以四边形OACB是矩形，则⊥.故选C.] 6．(多选题)下列命题中，真命题是(　　 ) A．复数的模是非负实数 B．复数等于零的充要条件是它的模等于零 C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件 D．复数z1＞z2的充要条件是|z1|＞|z2| 解析：ABC　[①任意复数z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝≥0总成立．∴A正确；②由复数相等的条件z＝0⇔⇔|z|＝0，故B正确；③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R)，若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∴|z1|＝|z2|.反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时|z1|＝|z2|，故C正确；④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．] 7. i为虚数单位，设复数z1、z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝　________　. 解析：∵z1＝2－3i，∴z1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)． ∴z2＝－2＋3i. 答案：－2＋3i 8．若复数z1＝1－i，z2＝3－5i，则复平面上与z1，z2对应的点Z1与Z2的距离为　________　. 解析： Z1与Z2的坐标分别为(1，－1)，(3，－5)， 所以|Z1Z2|＝＝2. 答案：2 9．复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则a＝　________　，|z|＝　________　. 解析：∵复数z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数， ∴解得a＝1， ∴z＝2i，∴|z|＝2. 答案：1　2 10．已知 x＝＋ai(a∈R)，若z＝x－|x|＋(1－i)对应的点在第二象限，求a的取值范围． 解：z＝x－|x|＋(1－i)＝(－a)＋(a－1)i， 由题意，得 解得a＞1＋. 11．在复平面内画出复数z1＝－1，z2＝＋i，z3＝－i对应的向量，，，并求出各复数的模． 解：三个复数对应的向量，，如图所示． |z1|＝|－1|＝1， |z2|＝ ＝1， |z3|＝＝1. 12．在复平面内，O是原点，已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i、，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C.若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的值是　__________　. 　　 解析：由已知，得＝(－1,2)，＝(1，－1)，＝(3，－2)，所以x＋y＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)． 由＝x＋y，可得解得，故x＋y＝5. 答案：5 13．已知z1＝x2＋i，z2＝(x2＋a)i对任意的x∈R均有|z1|＞|z2|成立．试求实数a的取值范围． 解：因为|z1|＝，|z2|＝|x2＋a|， 且|z1|＞|z2|， 所以＞|x2＋a|，所以(1－2a)x2＋(1－a2)＞0恒成立． 当1－2a＝0，即a＝时， (1－2a)x2＋(1－a2)＝0＋＞0恒成立； 当1－2a≠0时，有 解得－1＜a＜. 综上知，实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $