精品解析：四川绵阳市2025-2026学年高二上学期期末教学质量测试数学试题

绵阳高中2024级第三学期末质量测试 数 学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷共4页；答题卡共6页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内. 2. 选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3. 考试结束后将答题卡收回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系 中，，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 打靶3次，事件表示“共击中发”，其中，那么表示（ ） A. “全部击中” B. “至少击中1次” C. “至多脱靶2次” D. “至少击中2次” 3. 若直线 与直线 垂直，则 （ ） A. B. C. D. 4. 在正三棱柱 中，为的中点，设 ，，，则 （ ） A. B. C. D. 5. 已知圆与圆有且只有2条公切线，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 某中学高二年级开设了5门不同的通用技术课程，甲，乙两人各自从这五门课程中选择一门参加学习，每人选择每一门课程的机会均等，则两人选择的课程不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆 和圆 ，若动圆 与圆 外切，同时与圆 内切，则该动圆圆心 的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在空间直角坐标系中，过点 ，且以 为方向向量的直线可以用方程 来表示.已知 ，点 ，点 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下能确定空间中四点 共面的条件是（ ） A. B. C. D. 10. 某商务局统计了一展销活动连续10天的日销售额（单位：万元），依次为：2.5，2.0，2.3，2.1，2.9，2.5，2.1，2.3，2.8，2.5，则（ ） A. 该组数据的极差为0.8 B. 该组数据的30%分位数为2.2 C. 若该组数据去掉最大值和最小值，则这组数据的平均数变小 D. 若该组数据去掉最大值和最小值，则这组数据的方差变大 11. 已知双曲线的左，右焦点分别为，为双曲线右支上且不同于顶点的一点，则（ ） A. 若到渐近线的距离为，则 B. 过作的平分线的垂线，垂足为，则 C. 若的面积为，且，则双曲线的离心率为 D. 过点作两渐近线的垂线，垂足分别为，若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与圆相切，则实数________. 13. 若事件 与事件 相互独立，，，则 _____________________. 14. 抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线 C于（B 在之间）两点，若的角平分线为，则的值是_____________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某次测试后，从全校成绩中抽取名学生的成绩作为样本，成绩都在内，将所有成绩分成六组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）若落在中的样本数据的平均数为，方差为；落在中的样本数据的平均数为，方差为，求这两组数据的总平均数和总方差 . 16. 已知，，且为圆的直径. （1）求圆的方程； （2）若直线过点，且斜率为2，求直线被圆截得的弦长. 17. 在高中生物实验技能竞赛中，有“植物标本识别”的轮次考核，每轮活动由选手甲、选手乙各识别一份未知的植物标本（识别正确记为成功，识别错误记为失败）.已知甲每轮正确识别植物标本的概率为 ，乙每轮正确识别植物标本的概率为 ，甲、乙的识别结果相互独立，各轮考核的结果也互不影响. （1）求在一轮考核中，甲，乙两人中恰好有一人成功的概率； （2）求在两轮考核中，“竞赛队”（由甲，乙组成）成功识别标本的总次数为3次的概率. 18. 如图，在四棱锥 中，已知 ，平面 . （1）证明：； （2）若 ，，，且 ； （i）当直线 与平面 所成的角最小时，求 的长； （ii）设直线 与平面 所成的角为 ，平面 与平面 的夹角为 ，是否存在点 ，使得 ，若存在，求出三棱锥 的体积；若不存在，请说明理由. 19. 椭圆的离心率为，焦距为2，过点且斜率存在的直线交椭圆于两点，是直线上一定点，记直线的斜率分别为，且为定值. （1）求椭圆的方程； （2）求定点的坐标； （3）如图，抛物线与椭圆在第二象限交于点，过点的直线（不过坐标原点）交抛物线于点，交椭圆于另一点，若恰好为的中点，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳高中2024级第三学期末质量测试 数 学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷共4页；答题卡共6页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内. 2. 选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3. 考试结束后将答题卡收回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系 中，，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量线性运算的坐标表示可得的坐标，进而可知点的坐标. 【详解】因为，且为坐标原点， 所以的坐标与点的坐标相等，均为. 故选：C. 2. 打靶3次，事件表示“共击中发”，其中，那么表示（ ） A. “全部击中” B. “至少击中1次” C. “至多脱靶2次” D. “至少击中2次” 【答案】D 【解析】 【分析】由事件的运算即可求解. 【详解】“击中2发或3发”，对比选项可知，只有D正确. 故选：D． 3. 若直线 与直线 垂直，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两直线垂直的系数关系求解. 【详解】因为直线互相垂直，所以，解得， 故选：B. 4. 在正三棱柱 中，为的中点，设 ，，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算及正三棱柱的结构特征逐步转化，将用向量表示即可. 【详解】如图， 因为为的中点，所以， 根据正三棱柱的结构特征可知， 所以 ， 即. 故选：A. 5. 已知圆与圆有且只有2条公切线，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知圆与圆相交，根据两圆相交的条件列不等式，求解即可求出答案. 【详解】由题意可得圆圆心坐标为，半径，圆圆心坐标为，半径， 因为圆与圆有且只有2条公切线， 所以圆与圆相交， 则， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 6. 某中学高二年级开设了5门不同的通用技术课程，甲，乙两人各自从这五门课程中选择一门参加学习，每人选择每一门课程的机会均等，则两人选择的课程不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算总基本事件数， 两人课程相同的事件数，得出两人课程不相同的事件数，得出所求概率. 【详解】甲、乙两人各从 5 门课程选 1 门，每人的选择有 5 种可能，总事件数为5×5=25， 两人课程相同的事件数为5， 则两人课程不相同的事件数为20， 则. 故选：D. 7. 已知圆 和圆 ，若动圆 与圆 外切，同时与圆 内切，则该动圆圆心 的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据两圆位置关系得动圆圆心到两已知圆心距离和为定值，再由椭圆的定义求解 【详解】圆的圆心为， 圆的圆心为， 设动圆的圆心为，半径为， 由题意得，则， 所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 设椭圆方程为，则, 得，所以, 的轨迹方程为， 故选：A 8. 在空间直角坐标系中，过点 ，且以 为方向向量的直线可以用方程 来表示.已知 ，点 ，点 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得到直线上的点和直线的方向向量，再根据空间中点到直线的距离公式求得点到直线的距离. 【详解】由 ，得， 所以直线过定点，且方向向量为. 由于点 ，所以. 所以点到直线的距离为. 所以  的最小值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下能确定空间中四点 共面的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用共面向量定理及推论判断AB；利用两条直线共面的条件判断CD. 【详解】对于A，由，得向量共面，而它们有公共起点，因此四点共面，A是； 对于B，在中，，因此四点共面，B是； 对于C，存在互相垂直的两条异面直线，它们的方向向量垂直，由不能确定四点共面，C不是； 对于D，由，得直线与平行或重合，因此四点共面，D是. 故选：ABD 10. 某商务局统计了一展销活动连续10天的日销售额（单位：万元），依次为：2.5，2.0，2.3，2.1，2.9，2.5，2.1，2.3，2.8，2.5，则（ ） A. 该组数据的极差为0.8 B. 该组数据的30%分位数为2.2 C. 若该组数据去掉最大值和最小值，则这组数据的平均数变小 D. 若该组数据去掉最大值和最小值，则这组数据的方差变大 【答案】BC 【解析】 【分析】把该组数据由小到大排列，求出极差、30%分位数判断AB；求出变化前后的平均数、方差判断CD. 【详解】连续10天的日销售额由小到大排列为：， 对于A，该组数据的极差为，A错误； 对于B，由，得该组数据的30%分位数为，B正确； 对于C，原数据组平均数， 变化后的新数据组平均数，C正确； 对于D，原数据组方差， 变化后的新数据组方差，D错误. 故选：BC 11. 已知双曲线的左，右焦点分别为，为双曲线右支上且不同于顶点的一点，则（ ） A. 若到渐近线的距离为，则 B. 过作的平分线的垂线，垂足为，则 C. 若的面积为，且，则双曲线的离心率为 D. 过点作两渐近线的垂线，垂足分别为，若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用点到直线的距离公式判断；对于B，延长，相交于点，则为的中位线，利用双曲线的定义判断；设，由三角形面积公式得，余弦定理得，再根据得解C；利用点到直线的距离公式判断D. 【详解】对于A，双曲线的渐近线方程为，即， 由到渐近线的距离为，即， 则，A错误； 对于B，延长，相交与点， 因为为的平分线，且，所以为中点， ， 则为的中位线， 则，B正确； 对于C，设，， 则，即， 则， 又的面积为，得， 由余弦定理， 即，得， 根据，且， 得，得或（舍）， 所以，C正确； 对于D，设，则 则， 则，解得，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与圆相切，则实数________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线与圆相切，列式解方程即可求出答案. 【详解】由圆的方程可知圆心坐标为，半径， 因为与圆相切， 所以圆心到直线的距离， 解得. 故答案为：. 13. 若事件 与事件 相互独立，，，则 _____________________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式求解即可. 【详解】因为事件 与事件 相互独立，所以事件 与事件 相互独立， ，， 则， 故答案为：. 14. 抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线 C于（B 在之间）两点，若的角平分线为，则的值是_____________________. 【答案】## 【解析】 【分析】，直线：，与抛物线联立，得到，设，得出，直线关于对称，结合 的角平分线为 得出，得出坐标，即可求解. 【详解】设，直线：， 联立得，则， 设，，抛物线 的焦点为 ， 则，， 则，即直线关于对称，， 由于 的角平分线为，则， 则， 则，解得， 则， 则， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某次测试后，从全校成绩中抽取名学生的成绩作为样本，成绩都在内，将所有成绩分成六组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）若落在中的样本数据的平均数为，方差为；落在中的样本数据的平均数为，方差为，求这两组数据的总平均数和总方差 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1列式即可求解； （2）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解. 【小问1详解】 由， 解得； 【小问2详解】 由题意可得，落在的样本个数为：， 样本平均成绩为，样本方差为， 落在的样本个数为：， 样本平均成绩为，样本方差为， 两组样本成绩合并后的平均数为：， 方差为：． 16. 已知，，且为圆的直径. （1）求圆的方程； （2）若直线过点，且斜率为2，求直线被圆截得的弦长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得中点为圆心坐标，半径，求出圆心坐标及半径即可求出答案； （2）由题意得到直线的方程，求出圆心到直线的距离，利用几何法求弦长即可得解. 【小问1详解】 因为为圆的直径， 所以中点即为圆心坐标，故圆心坐标为， 半径， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由题意得直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为． 17. 在高中生物实验技能竞赛中，有“植物标本识别”的轮次考核，每轮活动由选手甲、选手乙各识别一份未知的植物标本（识别正确记为成功，识别错误记为失败）.已知甲每轮正确识别植物标本的概率为 ，乙每轮正确识别植物标本的概率为 ，甲、乙的识别结果相互独立，各轮考核的结果也互不影响. （1）求在一轮考核中，甲，乙两人中恰好有一人成功的概率； （2）求在两轮考核中，“竞赛队”（由甲，乙组成）成功识别标本的总次数为3次的概率. 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式求解； （2）所求事件可分为甲正确识别2个乙正确识别1个，甲正确识别1个乙正确识别2个两互斥事件的和求解. 【小问1详解】 设“甲每轮识别成功”为事件A，“乙每轮识别成功”为事件B， 由题意：； ， 由甲，乙的识别结果相互独立，，都相互独立； 甲，乙两人中恰好有一人成功=“”，且互斥， ∴； 【小问2详解】 设A1，A2分别表示甲两轮考核中识别成功1个，2个植物标本，B1，B2分别表示乙两轮识别成功1个，2个植物标本， ， ， 设“在两轮考核中，“竞赛队”（由甲，乙组成）成功识别标本的总次数为3次”， ∴，且与互斥，与与分别相互独立， ∴ ， 因此，在两轮考核中，“竞赛队”成功识别标本的总次数为3次概率为． 18. 如图，在四棱锥 中，已知 ，平面 . （1）证明：； （2）若 ，，，且 ； （i）当直线 与平面 所成的角最小时，求 的长； （ii）设直线 与平面 所成的角为 ，平面 与平面 的夹角为 ，是否存在点 ，使得 ，若存在，求出三棱锥 的体积；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明平面，进而证得； （2）以B为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设点的坐标，由线面角的向量求法，表示出直线 与平面 所角的正弦值，求得其最小值，及取最小值时参数的值，即可得到点的坐标，求出 的长；（ii）求出平面 的法向量，表示出，由 ，得，从而列得方程，求出参数的值，从而求得点的坐标，求出的面积，获得三棱锥 的体积. 【小问1详解】 ∵平面，平面 ∴， 又，，平面，且平面， ∴平面，又平面， ∴； 【小问2详解】 （i）以B为坐标原点，分别以所在直线为轴， 建立如图所示空间直角坐标系，则， 设，则，，，， 设平面的法向量为， 则，所以， 取，则， 记与平面所成线面角为， ∴， 又，则在以为直径的圆上. 因为的中点为，， 所以，又如图在的异侧，且A不能与重合， 所以，所以，所以 所以当时，取最小值，此时，所以， 所以； （ii）由（1）知：，， 因为平面，且，所以平面. 所以平面的法向量可取， 所以， 又因为，所以，所以， 由（i）知：， 所以，即. 又，则， 所以，即，即. 又A不能与B、D重合，故，故， 此时，则， 所以． 19. 椭圆的离心率为，焦距为2，过点且斜率存在的直线交椭圆于两点，是直线上一定点，记直线的斜率分别为，且为定值. （1）求椭圆的方程； （2）求定点的坐标； （3）如图，抛物线与椭圆在第二象限交于点，过点的直线（不过坐标原点）交抛物线于点，交椭圆于另一点，若恰好为的中点，求实数的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意求出，即可得答案； （2）设，直线，，，表示出，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出，代入整理，观察式子形式即可求出答案； （3）设直线方程，，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出，再将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求出，代入抛物线方程求出，将点代入椭圆方程求出，利用基本不等式即可求出答案. 【小问1详解】 由题意得，且， 解得，，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意设，直线，， 则(*) 联立方程，整理可得， ，解得， 由韦达定理得，， 代入(*)可得：， 要使得为定值，则，故定点的坐标为. 【小问3详解】 设直线方程，， 联立，整理得， 由韦达定理可得，所以， 联立，整理得， 由韦达定理得，即， 解得， 又在抛物线上，故， 故， 又在椭圆上，故， 解得， 又，， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以实数的最大值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $