精品解析：四川省绵阳外国语学校2025-2026学年高二上期期末模拟检测（12月）数学试题

【温馨提示：平常心对待考试！让智慧在笔尖流淌，用细心为成功奠基！】 绵阳外国语学校2025～2026学年上期期末模拟检测 高二年级数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．完卷时间：120分钟．满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每个小题只有一个选项符合题目要求． 1. 若直线的倾斜角为，则（ ） A. 0 B. C. D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程和倾斜角的概念可得结果. 【详解】由，可得，所以直线的倾斜角． 故选：C. 2. 已知空间向量，若，则（　　） A. -2 B. -3 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量垂直的坐标表示，列出方程，求解可得. 【详解】由，有，则，解得． 故选：D． 3. 现某校组织学生进行踏青活动，该校共有高一学生600人、高二学生400人、高三学生800人．现以分层随机抽样的方式抽取72人参加活动，则共应抽取高一和高二学生的总人数为（ ） A. 32 B. 36 C. 40 D. 44 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样的性质，代入数据，即可得答案. 【详解】由题意， 抽取高一和高二学生的总人数为. 故选：C 4. 已知点在圆外，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆的标准方程及点与圆的位置关系判断. 【详解】由圆的方程可化为， ，又点在圆外，则，，综上. 故选：D. 5. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件表示“骰子向上的点数为奇数”，事件表示“骰子向上的点数为偶数”，事件表示“骰子向上的点数大于3”，事件表示“骰子向上的点数小于3”则（ ） A. 事件与事件互为对立事件 B. 事件与事件互为对立事件 C. 事件与事件互斥 D. 事件与事件互斥 【答案】A 【解析】 【分析】利用互斥事件、对立事件的概念分析即可. 【详解】易知事件E可表示为，事件F可表示为，事件G可表示为, 事件H可表示为，抛掷一枚质地均匀的骰子一次可表示为, 得到是U的真子集，， 所以A正确，B错误，C错误，D错误. 故选：A 6. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（） A. B. C. 与夹角是 D. 直线与直线的距离是 【答案】A 【解析】 【分析】设，依题得，运用向量数量积的运算计算即可判断A，B两项；利用向量夹角的公式计算排除C项；利用空间向量关于点到直线的距离公式计算即可验证D项． 【详解】设， 则， A选项：， ， 所以，A正确， B选项： 所以B错误， C选项：，设夹角为， 计算得， ， 因此C错误， D选项：在平行六面体中， 易得， 则得，故， 故点到直线的距离即直线与直线的距离． 因， 且， 则， 因此直线距离为，所以D错误. 故选：A 7. 若关于、的方程：表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由方程表示椭圆变形后结合椭圆的性质列不等式组可得. 【详解】由题意可得， 因为曲线是焦点在轴上的椭圆，所以， 解得. 故选：B. 8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点作斜率为的直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的定义式，结合题设条件，推得，设在中，利用余弦定理可得关于的齐次方程，解之即得离心率. 【详解】 如图，根据双曲线的定义得，， 由于，，则， 所以．设由题可得，则， 在中，由余弦定理，可得整理得， 即，因，则可得 . 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组数据，，，，，，，，则下列说法正确的有（ ） A. 这组数据的上四分位数为8.5 B. 这组数据没有众数 C. 这组数据的极差为6 D. 这组数据的平均数为7 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，结合上四分位数、众数、极差、平均数的意义依次判断即可. 【详解】对于A，将给定数据从小到大排列为3，3，4，5，7，8，9，9，而，所以这组数据的上四分位数为，故A正确； 对于B，这组数据的众数是3和9，故B错误； 对于C，这组数据的极差为，故C正确； 对于D，这组数据的平均数为，故D不正确. 故选：AC. 10. 已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为5 B. 的最大值为 C. 圆心到直线的距离最大为4 D. 直线与圆相切时， 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系，结合距离平方型、斜率型计算即可求解. 【详解】A:圆的方程可化为，则圆心为，半径.是圆上的点， 所以的最大值，故A错误； B：如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，故B正确； C：圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，故C错误； D：直线，即，过定点， 代入圆的方程得，则定点在圆外. 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为2， 即，解得，故D正确. 故选：BD 11. 如图，棱长为2的正方体中，动点P满足，则以下结论正确的为（ ） A. ，使直线平面 B. ，三棱锥体积为定值 C. 当时，点P到AC的距离为 D. 当时，三棱锥的外接球表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】当点P为的中点时，证明，，利用线面垂直的判定定理即可判断选项A；证明平面，则P到平面的距离为定值，则体积为定值，计算即可判断选项B；建立空间直角坐标系，求出和，利用点线距离的向量法即可求解；由选项A得平面，求得，结合余弦定理及同角三角函数关系可得，利用正弦定理求得的外接圆半径为，所求问题转化为求以为半径的底面圆，高为的圆柱的外接球表面积，计算即可. 【详解】显然，存在满足题意，证明如下： 若点P为的中点时，则. ∵面，面，∴. ，平面，平面，平面.故选项A正确； ，，∴四边形为平行四边形，∴. 又平面，平面，平面. 又P为线段上的动点，∴P到平面的距离为定值，∴三棱锥体积为定值， ，故选项B正确； 以方向为x轴，方向为y轴，方向为z轴建立空间直角坐标系， 则，，当时，， 则，， ∴点P到AC的距离为，故选项C错误； 当时，点P为的中点，由选项A已证得平面. 易得，，， ，， 的外接圆半径为， ∴所求问题等价于求以为半径的底面圆，高为的圆柱的外接球表面积. 设三棱锥的外接球半径为R，则 ， 故三棱锥的外接球表面积为，故选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题选项B的体积为定值关键是证明平面，则得到线面距离为定值，则体积为定值；选项D的关键是将其转化为求以为半径的底面圆，高为的圆柱的外接球表面积. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．将答案直接填在答题卷相应的横线上． 12. 双曲线的渐近线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的性质计算即可. 【详解】令可得， 即双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 13. 已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的夹角公式，求得，再由向量与所成角为锐角，得到，求得，当向量与共线时，求得，即可得到实数的范围. 【详解】由向量，，可得， 因为，可得，解得， 所以，所以与， 又因为向量与所成角为锐角， 所以，解得， 若向量与共线，则，解得， 所以实数的范围是. 故答案为：. 14. 抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知点F为抛物线C：（）的焦点，从点F出发的光线经抛物线上一点反射后，反射光线经过点，若入射光线和反射光线所在直线都与圆E：相切，则p的值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据点斜式求解入射光线的方程，进而根据点到直线的距离公式求解. 【详解】当时，，故入射光线经过和，， 故入射光线的方程为，化简得， 圆心为，半径为， 所以， 而，故，，解得. 故答案为： 四、解答题：本大题有5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. DeepSeek的开源促进了AI技术的共享和进步．某网站组织经常使用DeepSeek的人进行了AI知识竞赛、从参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100人按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示． （1）求； （2）求样本数据的平均数和第35百分位数； （3）已知直方图中成绩在内的平均数为85，方差为，内的平均数为95，方差为15，求成绩在内的平均数与方差． （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 【答案】（1）0.005 （2）79.5；75 （3）89；36 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图面积和为1列方程求解. （2）根据组中值与频率乘积之和求平均值；先确定第35百分位数所在组，再根据百分位数计算公式求解. （3）利用平均数、方差的加权计算公式，结合已知平均数、方差计算即可. 【小问1详解】 由题意可得，，解得. 【小问2详解】 第1组组中值为55，频率为；第2组组中值为65，频率为； 第3组组中值为75，频率为；第4组组中值为85，频率为；第5组组中值为95，频率为； 所以样本数据的平均数为. 前2组的频率和为，前3组的频率和为， 所以第35百分位数在第3组内. 设第35百分位数为，则，解得. 所以样本数据的平均数为79.5，第35百分位数为75. 【小问3详解】 由题意知，成绩在，内的人数分别为30，20人. 所以成绩在内的平均数为， 方差为 . 成绩在内的平均数为89，方差为36. 16. 已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切． （1）求圆的标准方程； （2）若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标． 【答案】（1） （2）四边形面积的最小值为，点的坐标为 【解析】 【分析】（1）设圆心，根据题意列关于的方程，解方程，可求出圆的半径，进而可得出圆的标准方程； （2）推导出，可得出四边形面积，分析可知，当时，取最小值， 求出方程，联立、的方程，求点的坐标，并求出的值，由此可得出四边形面积的最小值. 【小问1详解】 因为圆的圆心在直线上，设圆心为， 根据题意可得，即， 解得，故圆心为，该圆的半径为， 因此，圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为、都与圆相切，由切线长定理可得， 又因为，， 则，且，， 所以，四边形面积， 当时，取最小值，则四边形面积最小， 因为直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即， 由得，即点的坐标为， 此时，则四边形面积的最小值为. 17. 人工智能大模型在金融、医疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛的应用场景．某公司为了提高人工智能应用能力，拟组织、两部门的员工参加培训． （1）已知该公司、两部门分别有3名领导，此次培训需要从这6名部门领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，试写出其样本空间，并求出事件“选取的2人全部来自部门领导”的概率； （2）此次培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格，求每位员工经过培训合格的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用组合计数问题求出基本事件数，再利用古典概率列式求解； （2）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），由此可得关系，结合概率公式即可求解. 【小问1详解】 记部门的3名领导为，部门的3名领导为， 从6名部门领导中随机选取2人负责，样本空间为： ，共15种， 选取2人全部来自部门领导的事件，不同结果有：，共3种， 所以全部来自A部门领导的概率为. 【小问2详解】 记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（）， 则，， 依题意， ， 所以每位员工经过培训合格的概率为. 18. 如图，等腰梯形的高为2，，，是上靠近的三等分点，如图①所示，将沿折起到的位置，使得，如图②所示，点在棱上. （1）求证：直线平面； （2）若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面与平面所成的锐二面角为45°，求的值. 【答案】（1）证明见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，进而可得，结合线面垂直的判定定理分析证明； （2）建系标点，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角； （3）设，求平面的法向量，利用空间向量结合面面夹角运算求解. 【小问1详解】 在图①中，过作，垂足为， 则，可知点与点重合，即， 在图②中，可得， 又因为，，平面， 所以直线平面. 【小问2详解】 由（1）可知：直线平面，， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 若是的中点，则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）可知：， 因为点在棱上，设， 则， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 由题意可得：， 整理可得，解得或（舍去）， 所以. 19. 已知圆锥曲线G：，称点和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线，其中极线方程是将圆锥曲线以替换，以替换x（另一变量y也是如此）.特别地，对于椭圆，点对应的极线方程为.已知椭圆C：，椭圆C的左、右焦点分别为、. （1）若极点对应的极线l为，求椭圆C的方程； （2）当极点Q在曲线外时，过点Q向椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN为极点Q的极线； （3）已知P是直线上的一个动点，过点P向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据极线及焦点坐标分别列式即可求解即得椭圆方程； （2）讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用判别式为0，解得方程的一个根，得到切点坐标和切线的斜率，进而得到切线方程，最后得出直线方程结合极线定义证明即可； （3）利用代数法证明点在椭圆C外，则点和直线MN是椭圆C的一对极点和极线.根据题意中的概念求出点对应的极线MN方程，可得该直线恒过定点，最后利用点差法求出直线的斜率，即可求解. 【小问1详解】 因为极点对应的极线l为，即，所以， 因为右焦点是，所以，所以， 所以椭圆C的方程为； 【小问2详解】 当斜率存在时，设切线方程为， 联立椭圆方程，设切点， 可得，化简可得： ， 由题可得： 化简可得：，该方程只有一个根，记作， ，为切点的横坐标， 切点的纵坐标， 由于，则， 则切线方程为：， 化简得：． 当切线斜率不存在时，切线为，也符合方程， 综上上一点,的切线方程为； 同理上一点,的切线方程为； 设，点在两个切线上，所以， 所以的直线方程为，根据极线定义直线MN为极点Q的极线； 【小问3详解】 由题意，设点的坐标为(,)， 因为点在直线上运动，所以， 联立，得， ，该方程无实数根， 所以直线与椭圆C相离，即点在椭圆C外，又都与椭圆C相切， 所以点和直线是椭圆C的一对极点和极线. 对于椭圆，与点对应的极线方程为， 将代入，整理得， 又因为定点T的坐标与的取值无关， 所以，解得，所以存在定点恒在直线上. 当时，T是线段的中点， 设，直线的斜率为， 则，两式相减， 整理得，即， 所以当时，直线的方程为，即. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是应用点差法结合韦达定理计算求参解题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【温馨提示：平常心对待考试！让智慧在笔尖流淌，用细心为成功奠基！】 绵阳外国语学校2025～2026学年上期期末模拟检测 高二年级数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．完卷时间：120分钟．满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每个小题只有一个选项符合题目要求． 1. 若直线的倾斜角为，则（ ） A. 0 B. C. D. 不存在 2. 已知空间向量，若，则（　　） A. -2 B. -3 C. 2 D. 3 3. 现某校组织学生进行踏青活动，该校共有高一学生600人、高二学生400人、高三学生800人．现以分层随机抽样的方式抽取72人参加活动，则共应抽取高一和高二学生的总人数为（ ） A. 32 B. 36 C. 40 D. 44 4. 已知点在圆外，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件表示“骰子向上的点数为奇数”，事件表示“骰子向上的点数为偶数”，事件表示“骰子向上的点数大于3”，事件表示“骰子向上的点数小于3”则（ ） A. 事件与事件互为对立事件 B. 事件与事件互为对立事件 C. 事件与事件互斥 D. 事件与事件互斥 6. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（） A. B. C. 与夹角是 D. 直线与直线的距离是 7. 若关于、的方程：表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点作斜率为的直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组数据，，，，，，，，则下列说法正确的有（ ） A. 这组数据的上四分位数为8.5 B. 这组数据没有众数 C. 这组数据的极差为6 D. 这组数据的平均数为7 10. 已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为5 B. 的最大值为 C. 圆心到直线的距离最大为4 D. 直线与圆相切时， 11. 如图，棱长为2的正方体中，动点P满足，则以下结论正确的为（ ） A. ，使直线平面 B. ，三棱锥体积为定值 C. 当时，点P到AC的距离为 D. 当时，三棱锥的外接球表面积为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．将答案直接填在答题卷相应的横线上． 12. 双曲线的渐近线方程为______． 13. 已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是____________. 14. 抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知点F为抛物线C：（）的焦点，从点F出发的光线经抛物线上一点反射后，反射光线经过点，若入射光线和反射光线所在直线都与圆E：相切，则p的值是______. 四、解答题：本大题有5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. DeepSeek的开源促进了AI技术的共享和进步．某网站组织经常使用DeepSeek的人进行了AI知识竞赛、从参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100人按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示． （1）求； （2）求样本数据的平均数和第35百分位数； （3）已知直方图中成绩在内的平均数为85，方差为，内的平均数为95，方差为15，求成绩在内的平均数与方差． （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 16. 已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切． （1）求圆的标准方程； （2）若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标． 17. 人工智能大模型在金融、医疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛的应用场景．某公司为了提高人工智能应用能力，拟组织、两部门的员工参加培训． （1）已知该公司、两部门分别有3名领导，此次培训需要从这6名部门领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，试写出其样本空间，并求出事件“选取的2人全部来自部门领导”的概率； （2）此次培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格，求每位员工经过培训合格的概率. 18. 如图，等腰梯形的高为2，，，是上靠近的三等分点，如图①所示，将沿折起到的位置，使得，如图②所示，点在棱上. （1）求证：直线平面； （2）若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面与平面所成的锐二面角为45°，求的值. 19. 已知圆锥曲线G：，称点和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线，其中极线方程是将圆锥曲线以替换，以替换x（另一变量y也是如此）.特别地，对于椭圆，点对应的极线方程为.已知椭圆C：，椭圆C的左、右焦点分别为、. （1）若极点对应的极线l为，求椭圆C的方程； （2）当极点Q在曲线外时，过点Q向椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN为极点Q的极线； （3）已知P是直线上的一个动点，过点P向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $