4.3公式法 同步练习2025－2026学年北师大版数学八年级下册

4.3公式法 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．多项式因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 3．将分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列因式分解正确的是（    ） A．a4b﹣6a3b＋9a2b＝a2b（a2﹣6a＋9） B．x2﹣x＋＝（x﹣）2 C．x2﹣2x＋4＝（x﹣2）2 D．x2﹣4＝（x＋4）（x﹣4） 5．下列分解因式结果正确的是（    ） A． B． C． D． 6．计算：（    ） A．5000a B．1999a C．10001a D．10000a 7．如果一个三角形的三边，满足，那么这个三角形一定是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 8．多项式与多项式的公因式为（    ） A． B． C． D． 9．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：南，爱，我，数，学，河．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱河南 B．爱河南 C．我爱学 D．河南数学 10．定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论：①所有的正奇数都是“智慧数”；②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论有（     ）个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．下列因式分解变形正确的是（    ） A． B． C． D． 12．若是完全平方式，则实数的值为（   ） A． B．或 C．5 D．4 二、填空题 13．分解因式： = ． 14．将分式和进行通分时，分母可因式分解为 ，分母可因式分解为 ，因此最简公分母是 ． 15．因式分解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； 16．已知实数，满足，，则 ． 17．若a、b是的两条边的长度，且满足，则面积的最大值是 ． 三、解答题 18．下列多项式能否用平方差公式分解因式？为什么？ （1）； （2）； （3）； （4）． 19．分解因式： (1)； (2)． 20．因式分解： (1)； (2) 21．（1）计算：20212＋10212－2021×2042； （2）因式分解：x3＋x2―x―1． 22．小明、小花和老师一起探究一个问题：将因式分解． 小花根据大家的提示，整理出解答过程： 请你依照上述做法，将下列各式因式分解： （1）； （2） 23．我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？ 我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算时，可依照的计算方法用竖式进行计算． 因此． (1)的商是______，余式是______． (2)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求值． 24．因式分解： 《4.3公式法》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D B D D B A A C 题号 11 12 答案 C B 1．B 【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法求解即可． 【详解】， 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键．两个平方项的符号需相同；另一项是两底数积的2倍，是易错点．能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项是两平方项底数积的2倍，据此逐项分析即可． 【详解】A中，不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意； B中，不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意； C中，，符合题意； D中，不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意， 故选：C． 3．D 【分析】此题考查平方差公式分解因式，根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： 故选：D． 4．B 【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而判断即可． 【详解】解：A、a4b﹣6a3b＋9a2b＝a2b（a2﹣6a＋9）＝a2b（a﹣3）2，故此选项错误； B、x2﹣x＋＝（x﹣）2，故此选项正确； C、x2﹣2x＋4，无法运用完全平方公式分解因式，故此选项错误； D、x2﹣4＝（x＋2）（x﹣2），故此选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法进行解题． 5．D 【分析】根据因式分解的步骤，先提公因式，再用公式法分解，即可求得答案．注意分解要彻底． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底． 6．D 【分析】先提取公因式，再运用平方差公式即可求解． 【详解】 ， 故选：D． 【点睛】本题考查了运用提取公因式和平方差公式对代数式进行化简的知识，掌握平方差公式是解答本题的关键． 7．B 【分析】本题考查了三角形形状的判定，因式分解的应用，其关键在于对等式的变形，推导出的关系． 将等式进行移项和因式分解，得出，得到或，从而确定三角形的形状． 【详解】解：， ， ， 或， 或， 三角形是等腰三角形， 故选：B． 8．A 【分析】本题考查了公因式，提公因式法、公式法进行因式分解．熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解题的关键． 利用提公因式法、公式法进行因式分解，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴公因式为， 故选：A． 9．A 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式对多项式进行因式分解，得到因子后对应密码字，并按顺序排列形成密码信息． 本题考查了因式分解，选择适当的方法分解因式是解题的关键． 【详解】解： ∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∵对应密码字：我， 爱，河，南， ∴密码信息为“我爱河南”， 故选：A． 10．C 【分析】本题考查了平方差公式法因式分解以及整数的奇偶性分析．理解“智慧数”的定义是解题的关键． 根据“智慧数”的定义，通过对中、的取值分析来判断各个结论是否正确． 【详解】解：∵1不能表示成两个正整数m，n的平方差，故①错误； 设能被4整除的正整数为（为正整数且）， ，令， 将两式相加可得：，即， 解得：， 将代入，解得． 为正整数且， 、为正整数， 除4以外所有能被4整除的正整数都可以表示成两个正整数的平方差，即除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”， 故②正确； 假设存在正整数、，使得是被4除余2的正整数，即（为正整数）． 与的奇偶性相同，若与都是奇数，则都是奇数，不可能是这种偶数； 若与都是偶数，则能被4整除，也不可能是； 被4除余2的正整数都不是“智慧数”． 故③正确； 综上所述，正确的结论是②③． 故选：C． 11．C 【分析】本题主要考查了因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要提取公因式，再考虑运用公式法分解． 根据提公因式分解因式可得出A错误；根据平方差公式可得B错误；根据完全平方公式可得C正确；根据十字相乘法可判断D错误． 【详解】A、，故此选项错误； B、，不符合平方差公式，故此选项错误； C、，故此选项正确； D、，故此选项错误． 故选：C． 12．B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用知识点，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 本题根据完全平方公式，分析多项式的结构，得出“中间项系数需满足与首项、末项的关系”的结论，进而通过解方程求出的值，即可解决根据完全平方式的结构特征求字母参数的问题． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∵， ∴， 即：， 当时，； 当时，， 综上：或． 故选 ：B． 13． 【分析】根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查平方差公式分解因式，掌握平方差公式是解题的关键． 14． 【分析】本题考查分式的基本性质，通分，熟练掌握通分的方法，是解题的关键，利用平方差公式法和提公因式法进行因式分解，再利用三定法确定最简公分母即可． 【详解】解：分母可因式分解为；分母可因式分解为，因此最简公分母是； 故答案为：，， 15． 【分析】（1）根据平方差公式因式分解即可求解； （2）根据平方差公式因式分解即可求解； （3）根据平方差公式因式分解即可求解； （4）先提公因式，然后根据平方差公式因式分解即可求解． 【详解】（1）； 故答案为：． （2）； 故答案为：． （3）； 故答案为：． （4）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 16． 【分析】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．将等式括号中的代数式配方后，利用完全平方式的非负性确定与的值，即可求出的值． 【详解】， ， 即， ，， ，， 又，且， ，， 解得，， ， ， 得， 故答案为：． 17． 【分析】利用因式分解得到，利用非负性，求出的值，再根据两条边互相垂直时，三角形的面积最大，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 设：， ∵直角三角形的斜边大于直角边， ∴边上高， ∴当时，的面积最大，最大值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解的应用，以及非负性．熟练掌握因式分解的方法，以及非负数的和为0，每一个非负数均为0，是解题的关键． 18．（1）不能，这是平方和；（2）能，；（3）能，；（4）不能，这是平方和的相反数 【分析】根据平方差公式＝（a＋b）（a−b）逐项判定可求解． 【详解】（1）两项符号相同，是平方和，不能用平方差公式分解因式， （2）符合平方差公式， （3）符合平方差公式， （4）两项符号相同，这是平方和的相反数，不能用平方差公式分解因式． 【点睛】本题主要考查运用公式法分解因式，掌握平方差公式的特点是解题的关键． 19．(1) (2) 【分析】本题主要考查用提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键． （1）先提公因式，再运用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式，再运用完全平方公式分解因式即可． 【小题1】解：原式； 【小题2】解：原式． 20．(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，再用完全平方公式因式分解； （2）提公因式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查的是因式分解，解决本题的关键是（1）题先提公因式，再用完全平方公式因式分解．（2）题提公因式法因式分解． 21．（1）1 000000；（2）（x＋1）2（x－1）． 【分析】（1）设a＝2021，b＝1021，再把原式化为： 再代入计算即可得到答案； （2）利用分组法把原式化为： 再每组提取公因式，再利用平方差公式分解即可. 【详解】解：（1）设a＝2021，b＝1021， 则原式＝a2＋b2－a·2b＝(a－b)2＝(2021－1021)2＝1 000 000， （2）原式＝(x3＋x2)－(x＋1)＝x2 (x＋1)－(x＋1)＝(x＋1)(x2－1)＝(x＋1)2(x－1). 【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，平方差公式分解因式，分组分解法，因式分解的应用，掌握把多项式进行适当的分组，再分解因式是解题的关键. 22．（1）；（2） 【分析】（1）（2）根据题干所给方法进行添项，构成乘法公式进行因式分解即可． 【详解】解：（1） ； （2）原式 ． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用乘法公式进行因式分解是解题的关键． 23．(1)； (2) 【分析】本题考查多项式除以多项式，抓住整除的定义找到系数的关系是求解本题的关键． （1）根据多项式除以多项式的法则计算． （2）根据多项式除以多项式的法则计算． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：；． （2）解：． 多项式能被整除． ，． ，． ． 24． 【分析】本题考查了因式分解．前三项利用十字相乘法分解，再将看作整体，然后利用十字相乘法分解继续分解即可． 【详解】解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $