8.1.2 向量数量积的运算律-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦平面向量数量积的运算律这一核心知识点，前承向量数量积的定义，系统梳理交换律、结合律、分配律及类比多项式乘法的运算性质，为后续解决向量模、夹角、垂直等问题搭建学习支架。 资料通过“生活规律类比运算律”情境引入激发兴趣，用表格对比多项式乘法与向量运算性质培养数学抽象素养，例题与变式训练层层递进提升数学运算能力。课中助力教师高效授课，课后学生可通过自测与练习巩固知识，弥补薄弱环节。

8．1.2　向量数量积的运算律 课程标准 素养解读 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式 2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明 通过引入平面向量数量积的运算律，体会数学抽象及数学运算素养的生成过程 对应学生用书P61 [情境引入] 没有规矩不成方圆，国家法律保障每个公民的权利不受侵害，校规可为每个学生创造一个良好的学习生活环境……可见，世间事物往往要遵循一定的规律和法则才能生存．初中我们学过实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？ 提示：a·b＝b·a (λa)b＝a·(λb)＝λ(a·b) [知识梳理] [知识点一]　平面向量数量积的运算律　 运算律 向量数量积 交换律 a·b＝b·a 结合律 (λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b) 分配律 (a＋b)·c＝　a·c＋b·c　 (a－b)·c＝　a·c－b·c　 [知识点二]　平面向量数量积的运算性质　 类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质. 多项式乘法 向量数量积 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝　a2＋2a·b＋b2　 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝　a2－2a·b＋b2　 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝　a2－b2　 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝　a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a　 1.实数运算满足消去律，那么向量的数量积运算是否也满足消去律？ 提示：不满足．因为在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则表示向量c，b在向量a方向上的投影相等，并不能说明b＝c. 2．实数运算满足乘法结合律，那么向量的数量积运算是否也满足乘法结合律？ 提示：向量的数量积运算不满足乘法结合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)，这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线． [预习自测] 1．已知非零向量a，b满足(a＋b)⊥(a－b)，则(　　) A．a＝b　　　　　 B．|a|＝|b| C．a⊥b D．a∥b 解析：B　[∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，∴|a|2－|b|2＝0，∴|a|＝|b|.] 2．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，则|a－4b|＝(　　) A．2　 B．2　　C．6　　D．12 解析：B　[∵|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2 ＝22－8×2×1×cos 60°＋16×12＝12， ∴|a－4b|＝2.] 3．已知|a|＝1，|b|＝，且(a＋b)与a垂直，则a与b的夹角是　________　. 解析：∵(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，∴a·b＝－a2＝－1， 设a与b的夹角为θ， ∴cos θ＝＝＝－， 又θ∈[0，π]，∴θ＝. 答案： 对应学生用书P61 数量积的运算 [例1]　(1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求(2a－b)·(a＋3b)． (2)在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，E是CD的中点，求·的值． [思路点拨]　利用数量积的运算律直接求解． [解]　(1)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|cos 120°－3|b|2＝8－15－27＝－34. (2)·＝·(－)＝2－2－·＝1－×4－×2×1×＝－. 求两向量的数量积的两种常见题型 (1)类似向量线性运算之后再求数量积的题型，只需按照向量运算律展开即可求解． (2)在平面图形中求两向量的数量积，一般先找好基底，用基底表示所求向量，再进行基底之间的运算即可求解． [变式训练] 1.如图，在圆C中，弦AB的长度为6，则·＝(　　) A．6　　　　　　 B．12 C．18 D．无法确定 解析：C　[∵·＝||||·cos∠A＝||·||＝||2＝×62＝18. ∴选C.] 求向量的模 [例2] 已知向量a、b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|. [思路点拨]　要求|a－b|，利用模长公式|a－b|＝，只需求2a·b即可． [解]　由已知，|a＋b|＝4，∴|a＋b|2＝42， ∴a2＋2a·b＋b2＝16.① ∵|a|＝2，|b|＝3， ∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9， 代入①式得4＋2a·b＋9＝16，即2a·b＝3. 又∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10， ∴|a－b|＝. 此类问题直接套用公式求解即可． (1)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝. (2)|a±b|＝ . [变式训练] 2．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.计算 (1)|a＋b|；(2)|4a－2b|. 解：由已知，a·b＝4×8×＝－16. (1)∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2 ＝16＋2×(－16)＋64＝48， ∴|a＋b|＝4. (2)|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2 ＝16×16－16×(－16)＋4×64＝3×162 ∴|4a－2b|＝16. 两向量的垂直与夹角问题 [例3] 已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角． [思路点拨]　首先转化向量的两个垂直关系，得出中间结论与cos θ＝联立求解． [解]　由已知条件得 即 ②－①得23b2－46a·b＝0， ∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|， ∴cos θ＝＝＝. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝. (1)通常用两向量垂直来列方程，达到化简条件或求值的目的． (2)要求a与b的夹角，只要求出|a|、|b|及a·b即可．注意向量夹角范围．由cos θ＝(其中a、b是非零向量，θ为a与b的夹角)判定θ的大小时，有五种可能情形：①当cos θ＝1时，θ＝0°；②当cos θ＝0时，θ＝90°；③当cos θ＝－1时，θ＝180°；④当cos θ<0且cos θ≠－1时，θ为钝角；⑤当cos θ>0，且cos θ≠1时，θ为锐角． [变式训练] 3．已知|a|＝2，|b|＝1，(a＋b)⊥，求a与b的夹角大小． 解：∵(a＋b)⊥， ∴(a＋b)·＝0. 即a2－a·b－b2＝0. ∵a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1， ∴4－3cos θ－＝0.∴cos θ＝. 又∵θ∈[0，π]． ∴a与b的夹角θ为. 数量积的综合应用 [例4]　设两个向量e1，e2满足|e1|＝2.|e2|＝1，向量e1与e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，求实数t的取值范围． [思路点拨]　首先根据夹角公式得出关于t的一元二次不等式，然后解式后，注意两向量共线的情况 [解]　由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，得cos θ＝<0， ∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0. 化简得2t2＋15t＋7<0，解得－7<t<－. 当夹角θ为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此时夹角不是钝角． 设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0， 则∴故实数t的取值范围是∪. 1．求向量夹角时要注意： (1)当已知a，b是非坐标形式时，需求得a·b及|a|，|b|或它们之间的关系； (2)当已知a，b的坐标时，可直接利用公式求解． (3)注意夹角的范围为[0，π]． 2．灵活应用a2＝|a|2，这给出了解决与模有关问题的思路． [变式训练] 4．已知向量a，b，c，满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝5，|c|＝7. (1)求a与b的夹角θ； (2)是否存在实数μ使μa＋b与a－2b垂直？ 解：(1)∵a＋b＋c＝0， ∴a＋b＝－c，∴|a＋b|＝|c|， ∴(a＋b)2＝c2，即a2＋2a·b＋b2＝c2， ∴a·b＝ ＝＝＝. 又∵a·b＝|a||b|cos θ， ∴＝3×5×cos θ， ∴cos θ＝，即θ＝60°. (2)∵(μa＋b)⊥(a－2b)， ∴(μa＋b)·(a－2b)＝0， ∴μa2－2b2－2μa·b＋a·b＝0， ∴9μ－2×25－2μ×＋＝0， ∴μ＝－. ∴存在μ＝－，使得μa＋ b与a－2b垂直． 对应学生用书P63 1．下面给出的关系式中正确的个数是(　　) ①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b⑤(a·b)2＝a2·b2. A．1　 B．2　　C．3　　D．4 解析：C　[①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a||b|cos θ)2＝a2·b2cos2θ，故选C.] 2．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝，则a，b的夹角为(　　) A.　 B.　　C.　　D. 解析：A　[设a与b的夹角为θ， 由题意得(3a－2b)2＝7， ∴9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7， 又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝， ∴|a||b|cos θ＝，即cos θ＝. 又θ∈[0，π]，∴a，b的夹角为.] 3．若|a|＝4，|b|＝2，(b＋a)·(b－a)＝3a·b，则向量a与向量b夹角为(　　) A.　 B.　　C.　　D. 解析：B　[∵|a|＝4，|b|＝2，(b＋a)·(b－a)＝3a·b，∴b2－a2＝3a·b＝4－16＝－12，故3a·b＝－12，得a·b＝－4， 设向量a与向量b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，则θ＝，故选B.] 4．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，点P在AM上，且满足＝2 ，则·(＋)＝　________　. 解析：如图，由AM＝3，且＝2 ，可知||＝2. ∵M为BC的中点， ∴＋＝2 ＝， ∴·(＋)＝·＝－2＝－||2＝－4. 答案：－4 5．已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，若c＝2a－b，d＝a＋2b，求： (1)c·d；(2)|c＋2d|. 解：(1)c·d＝(2a－b)·(a＋2b) ＝2a2－2b2＋3a·b ＝2×4－2×1＋3×2×1×＝9. (2)|c＋2d|2＝(4a＋3b)2 ＝16a2＋9b2＋24a·b ＝16×4＋9×1＋24×2×1×＝97， ∴|c＋2d|＝. 对应学生课时P35 1．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于(　　) A．－2　　　　　　　 B．－1 C．1 D．2 解析：B　[因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0， 所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.] 2．已知a，b方向相同，且|a|＝3，|b|＝4，则|2a＋b|＝(　　) A．10 B．100 C．11 D．121 解析：A　[∵|2a＋b|2＝4a2＋b2＋4a·b＝36＋16＋48＝100，∴|2a＋b|＝10.] 3．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．5 解析：A　[|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10， |a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6， 将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4， ∴a·b＝1.] 4．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 解析：A　[因为(－)·(＋－2)＝0， 即·(＋)＝0， 又因为－＝， 所以(－)·(＋)＝0， 即||＝||， 所以△ABC是等腰三角形．] 5．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　) A．4 B．－4 C. D．－ 解析：B　[由题意知cos〈m，n〉＝＝＝， 所以m·n＝|n|2＝n2，因为n·(tm＋n)＝0， 所以tm·n＋n2＝0，即tn2＋n2＝0，所以t＝－4.] 6．(多选题)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论错误的是(　　) A．a∥b B．a⊥b C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b 解析：ACD　[由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，∴a⊥b，B正确．] 7．已知|a|＝1，|b|＝，且(a＋b)与a垂直，则a与b的夹角是　________　. 解析：解析：∵(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，∴a·b＝－a2＝－1， 设a与b的夹角为θ， ∴cos θ＝＝＝－， 又θ∈[0，π]，∴θ＝. 答案： 8．已知正方形ABCD的边长为2，则·(＋)＝　________　. 解析：正方形ABCD的边长为2， ·(＋)＝·(＋2)＝2＋2·＝4. 答案：4 9．(多空题)若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则向量a与b的夹角为　________　，(a－b)·c＝　________　. 解析：由c⊥a得，a·c＝0，所以a·c＝a·(a＋b)＝0，即a2＋a·b＝0.设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，所以向量a与b的夹角θ＝120°. (a－b)·c＝(a－b)(a＋b)＝a2－b2＝1－4＝－3. 答案：120°　－3 10．已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角θ为.求|a＋b|，|a－b|. 解：a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝. |a＋b|＝＝ ＝＝5. |a－b|＝＝ ＝＝5. 11．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝. (1)求向量a，b的夹角；(2)求|a－b|. 解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝， ∴a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝； 又|a|＝1，∴|b|＝. 设〈a，b〉＝θ， ∵a·b＝，∴|a|·|b|cos θ＝，∴cos θ＝， ∴向量a，b的夹角为45°. (2)∵|a－b|2＝(a－b)2＝|a|2－2|a||b|cos θ＋|b|2＝，∴|a－b|＝. 12．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求|a＋b|； (2)求向量a在向量a＋b方向上的投影数量． 解：(1)(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－3b2－4a·b＝4×16－3×9－4a·b＝61，解得a·b＝－6，∴|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝16＋9－12＝13，∴|a＋b|＝. (2)设a与a＋b的夹角为θ，a·(a＋b)＝a2＋a·b＝10，∴cos θ＝＝，则a在a＋b方向上的投影数量为|a|cos θ＝4×＝. 13．已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°. (1)求证：(a－b)⊥c； (2)若|ka＋b＋c|＞1(k∈R)，求k的取值范围． 解：(1)因为|a|＝|b|＝|c|＝1，且a、b、c之间的夹角均为120°，所以(a－b)·c＝a·c－b·c ＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0， 所以(a－b)⊥c. (2)因为|ka＋b＋c|＞1，所以(ka＋b＋c)2＞1， 即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c＞1， 所以k2＋1＋1＋2kcos 120°＋2kcos 120°＋2cos 120° ＞1. 所以k2－2k＞0，解得k＜0，或k＞2. 所以实数k的取值范围为{k|k＜0，或k＞2}． 学科网（北京）股份有限公司 $