8.1.1 第2课时 向量的投影与向量数量积的几何意义-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦向量的投影与数量积几何意义核心知识点，系统梳理投影向量的概念（方向与夹角关系）、投影数量的计算，以及数量积的几何意义（投影数量与模的乘积），搭建从向量数量积定义到几何应用的学习支架。 资料以情境引入激发思考，通过图形分析和例题变式，培养数学抽象（投影概念的抽象）与数学运算（投影数量、数量积计算）素养。例1结合夹角计算数量积与投影，例3联系三角形实际问题，课中助教师直观教学，课后分层练习帮助学生巩固知识、查漏补缺。

第2课时　向量的投影与向量数量积的几何意义 课程标准 素养解读 1.掌握数量的定义，理解平面向量数量积的几何意义 2．理解投影的概念 通过学习平面向量数量积的几何意义及投影，重点培养学生的数学抽象和数学运算素养 对应学生用书P58 [情境引入] 投影是构建高维和低维空间联系的桥梁，体现数学本质． 向量在直线l上的投影还是向量吗？ 提示：是向量． [知识梳理] [知识点一]　投影的概念　 (1)如图所示，设非零向量＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′，则称　向量　为向量a在直线l上的投影向量或投影． 类似地，给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影．如图中，向量a在向量b上的投影为.可以看出，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但它们的方向既有可能相同，也有可能相反． (2)如图①②③所示． ①当〈a，b〉<时，的方向与b的方向　相同　，而且||＝　|a|cos〈a，b〉　； ②当〈a，b〉＝时，为零向量，即||＝　0　； ③当〈a，b〉>时，的方向与b的方向　相反　，而且||＝　－|a|cos〈a，b〉　. [知识点二]　数量积的几何意义　 一般地，如果a，b都是非零向量，则称　|a|cos〈a，b〉　为向量a在向量b上的投影的　数量　，投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是　非负数　，也可能是　负数　. 因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝　|a|cos〈a，b〉　|b|，所以两个非零向量a，b的数量积a·b，等于　a在向量b上的投影的数量　与b的模的乘积，这就是两个向量数量积的几何意义． 特别地，当e为单位向量时，因为|e|＝1，所以a·e＝|a|cos〈a，e〉， 即任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在单位向量e上的投影的数量． b在a方向上的投影数量一定是正数吗？ 提示：b在a方向上的投影|b|·cos θ是个实数，可以是正值，也可以是零或负值，因为它取决于两向量夹角的大小． [预习自测] 1．设a·b＝4，若a在b方向上的投影为2，且b在a方向上的投影为1，则a与b的夹角等于(　　) A.　　　　　 B. C. D.或 解析：B　[∵|a|cos〈a，b〉＝2，|b|cos〈a，b〉＝1，a·b＝4＝|a||b|cos〈a，b〉， ∴|a|＝4，|b|＝2， ∴cos〈a，b〉＝＝＝， ∴〈a，b〉＝，故选B.] 2．已知|a|＝5，b在a上的投影数量为6，则b·a＝　________　. 解析：b·a＝|a|·|b|·cos θ＝5×6＝30. 答案：30 3．若|a|＝3，|b|＝5且〈a，b〉＝45°，则a在b上的投影的数量为　________　. 解析：由投影数量的概念知： |a|·cos〈a，b〉＝3×cos 45°＝. 答案： 对应学生用书P59 向量数量积的几何意义 [例1]　已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°. (1)求a·b； (2)求a在b上的投影的数量． [思路点拨]　利用投影的定义求解． [解]　(1)a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 120°＝－10； (2)a在b上的投影数量为|a|·cos θ＝＝＝－. 任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影数量等于|a|cos θ(θ为向量a，b的夹角)，即该投影数量与b的模无关，故任意的非零向量在单位向量上的投影数量与该单位向量的模无关． [变式训练] 1．已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a方向上的投影数量是　________　. 解析：向量a，b的夹角θ＝60°， 故b在a方向上的投影的数量为|b|cos θ＝2cos 60°＝2×＝1. 答案：1 　　　 与向量的模有关的问题 [例2]　已知|a|＝3，|b|＝4，求|a－b|的取值范围． [思路点拨]　|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|. [解]　∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|， ∴1≤|a－b|≤7， 即|a－b|的取值范围是[1,7]． 运用向量不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，注意等号成立的条件． [变式训练] 2．已知向量a，b满足|a|＝4，|a·b|≥10，则|a－2b|的最小值是(　　) A．1　 B．2　　C．3　　D．4 解析：A　[设a，b的夹角为θ， 因为|a·b|＝4|b||cos θ|≥10， 所以|b|≥≥， 由向量形式的三角不等式得， |a－2b|≥||a|－2|b||＝|2|b|－4|≥＝1.] 　　　 投影问题 [例3]　如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90，D是边BC的中点，求： (1)在方向上的投影的数量； (2)的方向上的投影的数量． [思路点拨]　注意a在b方向上的投影与b在a方向上的投影的区别． [解]　如图， 连接AD，因为AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，所以∠ABC是等腰直角三角形．又D是边BC的中点，所以AD⊥BC，∠ABD＝45°，所以BD＝2. 延长AB到E，则与的夹角为∠DBE＝180°－45°＝135°. (1)在方向上的投影的数量为||cos 135°＝4×＝－2. (2)在方向上的投影的数量为||cos 135°＝2×＝－2. 求投影数量有两种方法 (1)b在a方向上的投影数量为|b|cos θ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的投影数量为|a|cos θ. (2)b在a方向上的投影数量为，a在b方向上的投影数量为. [变式训练] 3．已知|a|＝8，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则向量b在a方向上的投影数量为(　　) A．4　 B．－4　　C．2　　D．－2 解析：D　[向量b与a方向上的投影数量为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.] 对应学生用书P60 1．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影数量是(　　) A．－4　 B．4　　C．－2　　D．2 解析：A　[根据投影数量的定义，设a，b的夹角为θ，可得向量a在b方向上的投影数量是|a|cos θ＝＝－4，故选A.] 2．已知|b|＝4，a在b方向上的投影数量为2，则a·b的值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．6 解析：B　[设a与b的夹角为θ， ∵|a|cos θ＝2， ∴a·b＝|a||b|cos θ＝4×2＝8.] 3．已知|a|＝6，|b|＝8，且〈a，b〉＝60°，则b在a方向上的投影数量为　________　. 解析：由投影数量的定义知 |b|·cos θ＝8×cos 60°＝4. 4．已知△ABC是边长为4的等边三角形，则在上的投影数量为　________　. 解析：由题意||·cos〈，〉＝4×cos 60°＝4×＝2. 答案：2 5．已知|a|＝6，e为单位向量，当它们之间的夹角θ分别等于60°，90°，120°时，求出a在e方向上的投影的数量． 解：a在e方向上的投影的数量为|a|cos θ. 当θ＝60°时，a在e方向上的投影的数量为|a|cos 60°＝3； 当θ＝90°时，a在e方向上的投影的数量为|a|cos 90°＝0； 当θ＝120°时，a在e方向上的投影的数量为|a|cos 120°＝－3. 对应学生课时P33 1．若a·c＝b·c(c≠0)，则(　　) A．a＝b B．a≠b C．|a|＝|b| D．a在c方向上的投影数量与b在c方向上的投影数量必相等 解析：D　[设a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2， ∵a·c＝b·c，∴|a|·|c|cos θ1＝|b|·|c|cos θ2， 即|a|cos θ1＝|b|cos θ2，故选D.] 2．已知|a|＝4，e为单位向量，a在e方向上的投影数量为－2，则a与e的数量积为(　　) A．8　　　　　　　 B．－2 C．4 D．－4 解析：B　[由数量积的几何意义知 a·e＝|e|·|a|·cos θ＝1×(－2)＝－2.] 3．已知|b|＝2，a在b上的投影的数量为，则a·b的值为(　　) A. B. C．2 D. 解析：B　[由数量积的几何意义知a·b＝(|a|cos〈a·b〉)|b|＝×2＝.] 4．已知向量a，b满足|a|＝1，a⊥b，则向量a－2b在向量a方向上的投影数量为(　　) A．1 B. C．－1 D. 解析：A　[设θ为向量a－2b与向量a的夹角， 则向量a－2b在向量a方向上的投影数量为 |a－2b|cos θ. 又cos θ＝＝＝， 故|a－2b|cos θ＝|a－2b|·＝1.] 5．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉等于(　　) A．150° B．120° C．60° D．30° 解析：B　[∵a＋b＝c，∴|c|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2. 又|a|＝|b|＝|c|，∴2a·b＝－b2， 即2|a||b|cos〈a，b〉＝－|b|2. ∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a，b〉＝120°.] 6．(多选题)下列说法正确的是(　　) A．a⊥b⇒a·b＝0 B．向量b在a方向上投影数量为|b|·cos〈a·b〉 C．数量积a·b的几何意义等于a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|·cos θ的乘积 D．在△ABC中，·＜0，则△ABC的形状是钝角三角形 解析：ABCD　[由数量积的几何意义知A、B、C、D都正确．] 7．已知|b|＝3，a在b方向上的投影数量是，则a·b＝　________　. 解析：a·b＝|b|·|a|·cos θ＝3×＝2. 答案：2 8．已知a·b＝16，若a在b方向上的投影数量为4，则|b|＝　________　. 解析：设a与b的夹角为θ，∵a·b＝16， ∴|a|·|b|·cos θ＝16， 又∵a在b方向上投影数量为4， ∴|a|·cos θ＝4，∴|b|＝4. 答案：4 9．已知向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，则向量a－b在向量a＋b方向上的投影是　________　. 解析：依题意得(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝－3，(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝3，即|a＋b|＝，向量a－b在向量a＋b方向上的投影是＝＝－. 答案：－ 10.如图，在菱形ABDE中，其对角线||＝6，||＝8.求： (1)·； (2)在上的投影的数量； (3)在上的投影的数量． 解：根据菱形的性质得||＝5，||＝4，||＝3， ∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°. ∴cos ∠BAC＝＝，cos ∠ABC＝＝. (1)·＝||·||cos(π－∠ABC) ＝5×4×(－cos ∠ABC) ＝20×＝－16. (2)在上的投影的数量为||·cos〈，〉＝3×cos ∠BAC＝3×＝. (3)在上的投影的数量为||·cos〈，〉＝5×cos(π－∠ABC)＝－5cos ∠ABC＝－5×＝－4. 11．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影数量为－1. (1)求a与b的夹角θ； (2)求(a－2b)·b； (3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？ 解：(1)∵|a|＝2|b|＝2， ∴|a|＝2，|b|＝1. 又a在b方向上的投影数量为|a|cos θ＝－1， ∴cos θ＝－，∴θ＝. (2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝|a||b|cos θ－2b2 ＝－1－2＝－3. (3)∵λa＋b与a－3b互相垂直， ∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2 ＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝. 12．在△ABC中，已知||＝5，||＝4，||＝3，求： (1)·； (2)在方向上的投影数量； (3)在方向上的投影数量． 解：∵||＝5，||＝4，||＝3. ∴△ABC为直角三角形，且C＝90°. ∴cos A＝＝，cos B＝＝. (1)·＝－·＝－5×4×＝－16； (2)||·cos〈，〉＝＝＝； (3)||·cos〈，〉＝＝ ＝＝－4. 13．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为120°，求使a＋kb与ka＋b的夹角为锐角的实数k的取值范围． 解：(a＋kb)·(ka＋b)＝ka2＋(k2＋1)a·b＋kb2 ＝k＋(k2＋1)×2×cos 120°＋4k ＝－k2＋5k－1. 令－k2＋5k－1＞0，解得＜k＜. 当a＋kb与ka＋b同向时，设a＋kb＝λ(ka＋b)(λ＞0)． 由已知a，b不共线，可得λk＝1，k＝λ， 解得k＝λ＝1， 因此，实数k的取值范围是 学科网（北京）股份有限公司 $