8.1.1 第1课时 两个向量的夹角、向量数量积的定义-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦向量的数量积核心知识点，从物理“功”的情境引入，依次构建向量夹角（含0°、90°、180°等特殊角）、数量积定义（含零向量规定）、性质（模、垂直条件、符号与夹角关系）及运算律（交换律、结合律、分配律）的知识脉络，形成“情境-概念-性质-运算-应用”的学习支架。 该资料以物理实例为切入点，通过问题链（如“a·b>0是否夹角为锐角”）引导辨析，培养数学抽象与逻辑推理素养。例题涵盖基础运算、几何图形应用，助力提升数学运算能力。课中教师可依托情境与辨析深化概念理解，课后学生通过自测题与变式训练巩固知识，有效查漏补缺。

8．1　向量的数量积 8．1.1　向量数量积的概念 第1课时　两个向量的夹角、向量数量积的定义 课程标准 素养解读 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．体会平面向量数量积与投影向量的关系． 3．会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 通过学习向量的数量积，重点提升学生的数学运算，逻辑推理，数学抽象素养. 对应学生用书P56 [情境引入] 水上飞机用绳索拉着人进行的水上运动，会让人感觉自己在水上漂动，异常轻松刺激．要用物理原理来分析的话，这说明飞机的拉力对人做了功．这种现象在现实生活中还有很多，在数学中两个向量也有类似的运算应用．那么它们遵循什么规律呢？ 问题　力对物体做功，由哪些量来确定？ 提示　由力和位移两个向量来确定，功可以看作力F和位移s这两个向量的某种运算结果． [知识梳理] [知识点一]　向量的夹角　 1．已知两个非零向量a和b，如图，作＝a，＝b，则θ＝　∠AOB　(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角． 2．当θ＝0°时．a与b　同向　；当θ＝180°时，a与b　反向　；当θ＝90°.a与b垂直，记作　a⊥b　. 3．由于任何方向都可以作为零向量的方向，规定　零向量　可与任一向量垂直，即对于任意的向量a，都有0⊥a. [知识点二]　两个向量数量积的定义　 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即　a·b＝|a||b|cos θ　. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. 1.向量的线性运算的结果是一个向量，向量的数量积运算呢？ 提示：实数． [知识点三]　向量数量积的性质　 设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则 (1)|a·b|≤　|a|·|b|　； (2)a·a＝　|a|2　，即|a|＝　　. 一般地，a·a可以简写为a2，因此上述性质(2)也可改写为a2＝|a|2. 为了方便起见，当a与b至少有一个零向量时，称它们的数量积(即内积)为0，即a·b＝　0　. (3)a与b垂直的充要条件是它们的数量积为0，即a⊥b⇔　a·b＝0　. (4)当a与b同向时，a·b＝　|a||b|　； 当a与b反向时，a·b＝　－|a||b|　. 2.非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？ 提示：由两个非零向量的夹角决定． 当0°≤θ<90°，非零向量的数量积为正数． 当θ＝90°时，非零向量的数量积为零． 当90°<θ≤180°时，非零向量的数量积为负数． 3．由a·b>0是否可以得到向量a，b的夹角θ为锐角？ 提示：因为a·b＝|a||b|cos θ，故由a·b>0可得cos θ>0，又θ∈[0，π]，故θ∈[0，)，即θ为锐角或零度角． [知识点五]　向量的数量积的运算律　 1．a·b＝　b·a　(交换律)； 2．(λ a)·b＝　λ(a·b)　＝　a·(λ b)　(结合律)； 3．(a＋b)·c＝　a·c＋b·c　(分配律)． 4.对于向量a，b，c，(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？ 提示：不一定成立．∵若(a·b)·c≠0，其方向与c相同或相反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与c方向不一定相同，故该等式不一定成立． [预习自测] 1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角θ为45°，则m·n＝(　　) A．12　 B．12　　C．－12　　D．－12 解析：B　[m·n＝|m||n|cos θ＝4×6×＝12.] 2．(2021·浙江卷，3)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的(　　) A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[若c⊥a且c⊥b，则a·c＝b·c＝0，但a不一定等于b，故充分性不成立；若a＝b，则a·c＝b·c，必要性成立，故为必要不充分条件．故选择：B.] 3．已知a，b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝3. (1)若θ＝135°，则a·b＝　________　； (2)若a∥b，则a·b＝　________　； (3)若a⊥b，则a·b＝　________　. 答案：(1)－3　(2)±6　(3)0 对应学生用书P57 数量积的基本概念 [例1]　下列判断： ①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线⇔a·b＝|a||b|；④|a||b|<a·b；⑤a·a·a＝|a|3；⑥a2＋b2≥2a·b；⑦非零向量a·b满足：a·b>0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的射影长．其中正确的是　________　(填序号)． [思路点拨]　依据数量积的概念逐一判断。 [解析]　由于a2≥0.b2≥0，所以，若a2＋b2＝0.则a＝b＝0.故①正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量．所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b共线⇔a·b＝±|a||b|，所以③错误； 对于④，应有|a||b|≥a·b，所以④错误； 对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a，所以⑤错误； 对于⑥，a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故⑥正确； 对于⑦，当a与b的夹角为0°时， 也有a·b>0，因此⑦错误； 对于⑧，|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影的数量，而非射影长，故⑧错误． 综上可知①②⑥正确． [答案]　①②⑥ 对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解．特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有如向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等． [变式训练] 1．绐出下列结论： ①若a≠0，a·b＝0，则b＝0：②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.其中正确结论的序号是　________　. 解析：因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确； 当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确； 向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确； a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确． 答案：④ 数量积运算 [例2] 已知|a|＝6，|b|＝8，a与b的夹角为θ＝135°，求： (1)a·b； (2)(2a＋b)·(a－b)． [思路点拨]　利用向量数量积的定义和运算律计算． [解]　(1)a·b＝|a||b|cos θ ＝6×8×cos 135°＝－24. (2)(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2 ＝2|a|2－(－24)－|b|2 ＝2×62＋24－82 ＝8＋24. (1)求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ. (2)当求向量的数量积时，先利用向量数量积的运算律展开、化简，再由向量数量积的定义计算． [变式训练] 2．△ABC外接圆的半径为1，圆心为O,2O＋A＋A＝0，|O|＝|A|，则C·C的值是　________　. 解析：如图，D为BC中点， ∵2＋A＋A＝0， ∴2O＋2A＝0， ∴A＝－O，∴A＝A ∵O与D重合，∴BC为圆的直径． ∵||＝|A|＝1，||＝2，∴||＝，∴∠ACB＝，∴C·C＝|C|·|C|·cos∠ACB＝·2·＝3. 答案：3 向量的夹角 [例3]　(1)已知向量|a|＝10，|b|＝12, 且a·b＝－60，则向量a与b的夹角为(　　) A．60°　　　　　 B．120° C．135° D．150° (2)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ＝(　　) A. B. C. D. [思路点拨]　求向量的夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值． [解析]　(1)设a与b的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝－， ∴θ＝120°. (2)由题意，知a·b＝|a||b|cos θ＝4cos θ＝2， 即cos θ＝，又0≤θ≤π，所以θ＝. [答案]　(1)B　(2)C (1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出． (2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ. [变式训练] 3．已知|a|＝9，|b|＝6，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为(　　) A．45°　 B．135°　　C．120°　　D．150° 解析：B　[∵cos θ＝＝＝－， ∵0°≤θ≤180°， ∴θ＝135°.] 几何图形中数量积的计算 [例4]　已知正三角形ABC的边长为1，求： (1)·；(2)·. [思路点拨]　正确区分向量的夹角与三角形内角的异同． [解]　(1)∵与的夹角为60°. ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. (2)∵与的夹角为60°， ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. 若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ. 运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． [变式训练] 4．在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则·＝　________　，·＝　________　，·＝　________　. 解析：由题意，得||＝4，||＝4，||＝4， 所以·＝4×4×cos 90°＝0，·＝4×4×cos 135°＝－16，·＝4×4×cos 135°＝－16. 答案：0　－16　－16 对应学生用书P58 1．若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是(　　) A．60°　 B．120°　　C．30°　　　D．150° 解析：A　[向量－a与－b的夹角和a与b的夹角相等，为60°.] 2．已知|a|＝2，|b|＝2，a与b的夹角为，则a·b＝(　　) A．2 B．2 C. D. 解析：A　[a·b＝2×2×cos ＝2，故选A.] 3．在△ABC中，||＝13，||＝5，||＝12，则·的值是　________　. 解析：易知||2＝||2＋||2， C＝90°.cos B＝， ∴cos〈，〉＝cos(180°－B) ＝－cos B＝－. ∴·＝||·||cos(180°－B)＝13×5×＝－25. 答案：－25 4．已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b，(2)a⊥b，(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积． 解：(1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，所以a·b＝|a||b|·cos 0°＝4×5×1＝20； 若a与b反向，则θ＝180°，所以a·b＝|a|·|b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当a⊥b时，θ＝90°， 所以a·b＝|a||b|cos 90°＝0. (3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a||b|cos 30°＝4×5×＝10. 应学生课时P31 1．在等腰直角三角ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·的值等于(　　) A．－2　　　　　　　 B．2 C．－2 D．2 解析：B　[·＝||||cos∠ABC＝2××cos 45°＝2.] 2．已知向量|a|＝10，|b|＝12，且a·b＝－60，则向量a与b的夹角为(　　) A．60° B．120° C．135° D．150° 解析：B　[设a与b的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝－， ∴θ＝120°.] 3．已知a、b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：B　[因为a、b为单位向量，且其夹角为60°， 所以a·b＝1×1×cos 60°＝， (2a－b)·b＝2a·b－b2＝2×－1＝0.] 4．在△ABC中，C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：C　[如图， 作向量＝，则∠BAD是与的夹角，在△ABC中，因为C＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°.] 5．已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值为(　　) A．－7 B．7 C．25 D．－25 解析：D　[由条件知∠ABC＝90°， 所以原式＝0＋4×5cos(180°－C)＋5×3cos(180°－A) ＝－20cos C－15cos A ＝－20×－15×＝－16－9＝－25.] 6．(多选题)已知向量a，b和实数λ，下列选项中正确的是(　　) A．|a|2＝a2 B．|a·b|＝|a||b| C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a||b| 解析：ACD　[选项B中，|a·b|＝|a||b|cos θ，其中θ为a与b的夹角．] 7．若|a|＝|b|＝|a－b|＝r(r＞0)，则a与b的夹角为　________　. 解析：作＝a，＝b，则＝a－b，∠AOB为a与b的夹角，由|a|＝|b|＝|a－b|知△AOB为等边三角形，则∠AOB＝60°. 答案：60° 8．在△ABC中，＝13，＝5，＝12，则·的值是　________　. 解析：易知||＝||2＋||2， C＝90°.cos B＝， ∴cos〈，〉＝cos(180°－B) ＝－cos B＝－. ∴·＝||·||cos(180°－B) ＝13×5×＝－25. 答案：－25 9．(多空题)已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是　________　，·＝　________　. 解析：·＝||||cos ∠BAC， 即8＝4×4cos ∠BAC，于是cos ∠BAC＝， 因为0°＜∠BAC＜180°，所以∠BAC＝60°. 又AB＝AC，故△ABC是等边三角形． 此时·＝||||cos 120°＝－8. 答案：等边三角形　－8 10．已知正三角形ABC的边长为1，求： (1)·；(2)·；(3)·. 解：(1)∵与的夹角为60°. ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. (2)∵与的夹角为120°， ∴·＝||||cos 120° ＝1×1×＝－. (3)∵与的夹角为60°， ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. 11．已知向量a，b的夹角为30°，且|a|＝，|b|＝1，求向量p＝a＋b与q＝a－b的夹角θ的余弦值． 解：p·q＝(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝3－1＝2. ∵|p|＝|a＋b|＝ ＝＝， |q|＝|a－b|＝＝ ＝1， ∴cos θ＝＝＝. 12．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，求·(＋)的最小值． 解：设＝t，0≤t≤1，则＋＝2＝2t， ＝＋＝t－＝(t－1)， ∴·(＋)＝2(t－1)t2＝8(t－1)t＝8t2－8t ＝82－2，∴当t＝时，·(＋)有最小值－2. 13．如图，已知△ABC是等边三角形． (1)求向量与向量的夹角； (2)若E为BC的中点，求向量与的夹角． 解： (1)∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝60°. 如图，延长AB至点D，使AB＝BD，则＝， ∴∠DBC为向量与的夹角． ∵∠DBC＝120°， ∴向量与的夹角为120°. (2)∵E为BC的中点，∴AE⊥BC， ∴与的夹角为90°. 学科网（北京）股份有限公司 $