7.3.5 已知三角函数值求角-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

7．3.5　已知三角函数值求角 课程标准 素养解读 1.掌握已知三角函数值求角的步骤和方法 2．了解符号arcsin x，arccos x，arctan x的含义，并能用这些符号表示非特殊角 通过知值求角提升数学运算及数学抽象素养 对应学生用书P46 [情境引入] 大海中航行需要正确地计算航行的方向，需要掌握包括三角函数在内的广泛的数学知识． [问题]　已知sin x＝，你能求出满足条件的角x吗？ 提示　x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z. [知识梳理] [知识点一]　已知正弦值求角　 (1)方法1——利用三角函数线 以射线OP与OP′为终边的角构成sin x＝a的解集． 终边在图中阴影部分(不含边界)的角构成sin x<a的解集，终边在空白部分(不含边界)的角构成sin x>a的解集． (2)方法2——利用三角函数图像 ①交点P与P′的横坐标为[0,2π]内使sin x＝a成立的x的值，即为sin x＝a在[0,2π]上的解． ②曲线上加粗部分(不含边界)对应的x值构成sin x<a在[0,2π]上的解集；其余部分(不含边界)对应的x值构成sin x>a在[0,2π]上的解集． ③结合正弦函数的周期性把①②中的解集扩展到整个定义域内． [知识点二]　已知余弦值求角　 (1)方法1——利用三角函数线 以射线OP与OP′为终边的角构成cos x＝a的解集． 终边在阴影部分(不包含边界)的角构成cos x<a的解集，终边在空白部分的角构成cos x>a的解集． (2)方法2——利用三角函数图像 ①交点P与P′的横坐标为[0,2π]内使cos x＝a成立的x的值，即为cos x＝a在[0,2π]上的解． ②曲线上加粗部分(不含边界)对应的x值构成cos x<a在[0,2π]上的解集；其余部分(不含边界)对应的x值构成cos x>a在[0,2π]上的解集． ③结合余弦函数的周期性把①②中的解集扩展到整个定义域内． [知识点三]　已知正切值求角　 (1)方法1——利用三角函数线 以射线OP与OP′为终边的角构成tanx＝a的解集．终边在图中阴影部分(不含边界)的角构成tan x<a的解集，终边在空白部分(不含边界)的角构成tan x>a的解集． (2)方法2——利用三角函数图像 ①交点P的横坐标为内使tan x＝a成立的x的值，即为tan x＝a在上的解． ②曲线上加粗部分(不含边界)对应的x值构成tan x<a在上的解集；其余部分(不含边界)对应的x值构成tan x>a在上的解集． ③结合正切函数的周期性把①②中的解集扩展到整个定义域内． [知识点四]　arcsin x，arccos x，arctan x的含义　 (1)任意给定一个y∈[－1,1]，当sin x＝y且x∈时，通常记作x＝　arcsin_y　. (2)在区间　[0,2π]　内， 满足cos x＝y，y∈[－1,1]的x只有一个，记作x＝　arccos_y　. (3)在区间　　内，满足tan x＝y，y∈R的x只有一个，记作x＝　arctan y　. 已知角x的一个三角函数值，所求得的角一定只有一个吗？为什么？ 提示：不一定，这是因为角的个数要根据角的取值范围来确定，如果在给定的范围内有已知三角函数值的角不止一个，则所求的角也就不止一个． [预习自测] 1．下列等式不成立的是(　　) A．2sin x＋1＝0　　　　 B．tan x＋2 020＝0 C．cos x＝ D．tan x＝0 答案：C 2．若α是三角形内角，且sin α＝，则α等于(　　) A．30° B．30°或150° C．60° D．120°或60° 解析：B　[∵sin 30°＝，sin(180°－30°)＝sin 30°＝， ∴α＝30°或150°.] 3．已知sin x＝－，x∈，则x＝　________　. 答案：－ 对应学生用书P47 已知正弦值求角或角的范围 [例1]　已知f(x)＝2sin. (1)x∈且f(x)＝－，求x的值； (2)解不等式f(x)<－. [思路点拨]　根据角的范围确定角的值． [解]　(1)∵2sin＝－， 即sin＝－， ∴角2x－的正弦线向下，且长度为，如图． ∴ 角2x－的终边为OP或OP′， 又sin＝sin＝－， ∴2x－＝－＋2kπ或2x－＝－＋2kπ，k∈Z， 即x＝kπ或－＋kπ，k∈Z， 又∵x∈，∴x＝－或x＝0. (2)原不等式可化为sin<－， 由(1)及图可知－＋2kπ<2x－<－＋2kπ，k∈Z. 解得－＋kπ<x<kπ，k∈Z， ∴原不等式的解集为 . 已知正弦、余弦三角函数值求特殊角的方法 (1)利用单位圆中的三角函数线，先求一个周期内的角，再加上周期的整数倍，即得到所有的角． (2)利用三角函数的图像，作出一个周期内的三角函数图像，找出一个周期内的角，再加上周期的整数倍即可． [变式训练] 1．已知sin x＝. (1)当x∈时，求x的取值集合； (2)当x∈[0,2π]时，求x的取值集合； (3)当x∈R时，求x的取值集合． 解：(1)∵y＝sin x在上是增函数，且知sin＝. ∴满足条件的角只有x＝. ∴x的取值集合为. (2)∵sin x＝>0， ∴x为第一或第二象限角且sin＝sin (π－)＝. ∴在[0,2π]上符合条件的角为x＝或x＝. ∴x的取值集合为. (3)当x∈R时，x的取值集合为 . 已知余弦值求角或角的范围 [例2]　(1)已知cos＝，则x＝　________　. (2)不等式cos<的解集为　________　. [思路点拨]　利用三角函数线求解．注意整体代换思想的应用． [解析]　(1)利用三角函数线可知，x∈[0,2π]时，cos＝cos＝， 令3x＋＝＋2kπ或3x＋＝＋2kπ，k∈Z. 解得x＝＋或x＝＋，k∈Z. (2)由(1)及三角函数线知，＋2kπ<3x＋<＋2kπ，k∈Z， 解得＋<x<＋，k∈Z. [答案]　(1)＋或＋，k∈Z (2) 利用余弦曲线求解cos x≥a或cos x≤a(|a|<1的步骤 (1)作出余弦函数在一个周期内的图像(选取的一个周期不一定是[0,2π]，应根据不等式来确定)； (2)作直线y＝a与函数图像相交； (3)在一个周期内确定x的取值范围； (4)根据余弦函数周期性确定最终的范围． [变式训练] 2．已知cos x＝－，求满足下列条件的角x的取值集合：(1)x∈[0,2π]；(2)x∈R. 解析：(1) 法一　由cos x＝－<0可知，角x对应的余弦线方向朝左，且长度为.作出示意图如图①所示． 由图可知角x的终边可能是OP，也可能是OP′. 又cos ＝cos ＝－， 所以当x∈[0,2π]时，x的取值集合为. 法二　作出y＝cos x在[0,2π]上的图像及直线y＝－，如图②所示，由图可知 cos＝cos＝－. 所以当x∈[0,2π]时，x的取值集合为. (2)当x∈R时，由(1)知，符合条件的角是所有与终边相同的角及所有与终边相同的角，即x的取值集合为 . 　　 已知正切值求角或角的范围 [例3]　已知f(x)＝tan. (1)已知f(x)＝，求x； (2)解不等式f(x)≥. [思路点拨]　利用正切线直接求解． [解]　 (1)tan＝>0， 角x＋对应的正切线向下，且长度为， 如图角x＋的终边为OT或OT′. ∵tan＝tan＝， ∴x＋＝＋kπ，k∈Z. 即x＝＋2kπ，k∈Z. (2)由(1)及三角函数线知＋kπ≤x＋<＋kπ，k∈Z， 解得＋2kπ≤x<＋2kπ，k∈Z， ∴原不等式的解集为 1．利用单位圆中正切线，先求出一个周期内的角，再加上kπ即可由正切函数值求角，也可以利用正切函数的图像求解． 2．求解与正切函数有关的函数的定义域时，除了考虑函数解析式的限制外，同时要注意正切函数的自身限制条件． [变式训练] 3．函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域为(　　) A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 解析：A　[由题意得即－1≤tan x<1，在内，满足上述不等式的x的取值范围是，又y＝tan x的周期为π，所以所求函数的定义域为，k∈Z.] 用arcsin y，arccos y或arctan y表示角 [例4]　已知cos α＝－，α∈，用合适的符号表示满足条件的角α的值． [思路点拨]　利用定义直接求解，要注意角的范围． [解]　由余弦函数在[0，π]上是减函数和cos α＝－可知，在[0，π]内符合条件的角有且只有一个arccos， 即arccos∈[0，π]． ∵ cos α＝－<0， ∴arccos∈. ∴0<π－arccos<. ∴π<π＋π－arccos<， 即π<2π－arccos<. 由于cos＝cos α＝－， ∴α＝2π－arccos. (1)方程y＝sin x＝a，|a|≤1的解集可写为{x|x＝2kπ＋arcsin a，或(2k＋1)π－arcsin a，k∈Z}，也可化简为{x|x＝kπ＋(－1)karcsin a，k∈Z}． (2)方程cos x＝a，|a|≤1的解集可写成{x|x＝2kπ±arccos a，k∈Z}． (3)方程tan x＝a，a∈R 的解集为{x|x＝kπ＋arctan a，k∈Z}． [变式训练] 4．(1)已知sin x＝，求x的值． (2)已知tan α＝－2，α∈(0,2π)，求α的值． 解：(1)∵x∈时，sin x＝，∴x＝arcsin. ∴当x∈R时，x＝arcsin ＋2kπ或x＝π－arcsin ＋2kπ，k∈Z. (2)设β∈，且tan β＝－2， ∴β＝arctan(－2)， ∴α＝β＋kπ＝arctan(－2)＋kπ，k∈Z， 又α∈(0,2π)， ∴α＝arctan(－2)＋π或arctan(－2)＋2π. 对应学生用书P49 1．下列叙述错误的是(　　) A．arctan y表示一个内的角 B．若x＝arcsin y，|y|≤1，则sin x＝y C．若tan ＝y，则x＝2arctan y D．arcsin y，arccos y中的y∈[－1,1] 答案：C 2．已知sin＝－，x∈，则x的值为(　　) A.　　　　　 B．－ C．－或 D．－或 解析：B　[由题意得，2x＋＝＋2kπ或2x＋＝＋2kπ，k∈Z， 解得x＝＋kπ或x＝＋kπ，k∈Z， 又∵x∈，∴x＝－.] 3．已知cos＝－，x∈(－π，π)，则x＝　________　. 解析：在(0,2π)内，cos＝cos＝－， ∴x－＝＋2kπ或x－＝＋2kπ，k∈Z， ∴x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z， 又x∈(－π，π)，∴x＝－或. 答案：－或 4．已知tan x＝，且x∈(0,2π)，则x＝　________　. 解析：∵tan x＝，∴x∈(0，π)时，x＝arctan. 所以x∈(π，2π)时，x＝π＋arctan. 答案：arctan或π＋arctan 5．已知sin＝－，且α是第二象限的角，求角α. 解：∵α是第二象限的角， ∴是第一或第三象限的角． ∵sin＝－<0，∴是第三象限的角， 在[0,2π]内找到满足条件的， ∵sin＝， ∴在[0,2π]内满足条件的角＝π＋＝. ∴所以满足条件的＝2kπ＋(k∈Z)， 即α＝4kπ＋(k∈Z)． 对应学生课时P29 1．若α是三角形内角，且sin α＝，则α等于(　　) A．30°　　　　　　　 B．30°或150° C．60° D．120°或60° 解析：B　[∵sin 30°＝，sin(180°－30°)＝sin 30°＝，∴α＝30°或150°.] 2．已知cos＝－，则x的值为(　　) A．x＝＋2kπ，k∈Z B．x＝＋2kπ，k∈Z C．x＝＋2kπ，k∈Z D．以上均不正确 解析：D　[由cos＝－得x＋＝＋2kπ或x＋＝＋2kπ，k∈Z.所以x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z.] 3．方程tan＝在区间[0,2π)上的解的个数是(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 解析：B　[由tan＝，得2x＋＝＋kπ(k∈Z)， ∴x＝(k∈Z)．又x∈[0,2π)， ∴x＝0，，π，.] 4．若tan x＝－，0＜x＜2π，则角x等于(　　) A.或 B.或 C.或 D.或 解析：D　[∵tan x＝－＜0，∴x为第二或第四象限角． 符合条件tan x0＝的锐角x0＝. 而tan＝－tan＝－， tan＝－tan＝－， ∴x＝π－＝或x＝2π－＝.] 5．若方程sin x＝在x∈上有两个不同的实根，则a的取值范围是(　　) A．[－1,1] B．(－1,2) C．(－1,1－] D．[－1,1－] 解析：C　[在同一坐标系中作出函数y＝sin x，x∈的图像(图略)，易知，当≤＜1，即－1＜a≤1－时，两图像有两个不同的交点，即方程sin x＝在x∈上有两个不同的实根．] 6．(多选题)若sin＝，x∈[π，2π)，则x等于(　　) A．π B. C. D．2π 解析：AC　[由sin＝， 根据正弦曲线可得2x＋＝＋2kπ或2x＋＝＋2kπ，k∈Z. 所以x＝kπ或x＝＋kπ，k∈Z. 因为x∈[π，2π)，所以x＝π或x＝.] 7．函数f(x)＝tan－1在(0，π)上的零点是　________　. 解析：由tan＝1， 得2x＋＝＋kπ，k∈Z， 则x＝＋，k∈Z， 又x∈(0，π)，则x＝或. 答案：或 8．不等式2sin x－1≥0的解集为　________　. 解析：2sin x－1≥0，即sin x≥.画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图像及直线y＝，如图所示． ∴由图知，当≤x≤，x∈[0,2π]时，sin x≥. 又由终边相同的角的同一三角函数值相等，得不等式 sin x≥的解集是 . 答案： 9．(多空题)函数f(x)＝log2(2sin x＋1)的定义域为　________　，f＝　________　. 解析：要使函数有意义，则必有2sin x＋1＞0， 即sin x＞－. 结合正弦曲线或单位圆， 如图所示， 可知函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为. f＝log2＝log2＝log22＝1. 答案：；1 10．已知sin ＝－，且α是第二象限的角，求角α. 解：∵α是第二象限的角， ∴是第一或第三象限的角． ∵sin ＝－<0，∴是第三象限的角， 在[0,2π]内找到满足条件的， ∵sin ＝， ∴在[0,2π]内满足条件的角＝π＋＝. ∴所有满足条件的＝2kπ＋(k∈Z)， 即α＝4kπ＋(k∈Z)． 11．已知cos＝，求下列范围内的x的值． (1)；(2). 解：由cos＝＞0可知，角3x＋对应的余弦线方向向右，且长度为，如图所示． 因为cos＝cos＝， 所以3x＋＝－＋2kπ， 或3x＋＝＋2kπ，k∈Z. 所以x＝－＋或x＝，k∈Z. (1)若x∈，则x＝0或， (2)若x∈，则x＝－或－. 12．求函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域． 解：由题意，得即－1≤tan x<1. 在内，满足上述不等式的x的取值范围是，又y＝tan x的周期为π， 所以函数的定义域是(k∈Z)． 13．(2019·四川广安高二期末)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的图像过点P，图像上与P点最近的一个最高点的坐标为. (1)求函数解析式． (2)指出函数的增区间． (3)求使y≤0的x的取值范围． 解：(1)因为图像最高点的坐标为， 所以A＝5.因为＝－＝， 所以T＝π， 所以ω＝＝2，所以y＝5sin(2x＋φ)． 代入点得sin＝1， 所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z， 则φ＝－＋2kπ，k∈Z， 因为|φ|＜，所以φ＝－， 所以y＝5sin. (2)因为函数的增区间满足2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)所以2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，所以kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)． 所以函数的增区间为 (k∈Z)． (3)因为5sin≤0， 所以2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)， 所以kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)． 故所求x的取值范围是 (k∈Z)． 学科网（北京）股份有限公司 $