7.3.4 正切函数的性质与图像-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

7．3.4　正切函数的性质与图像 课程标准 素养解读 1.能够借助单位圆中的正切线画出函数y＝tan x的图像 2．掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性．并能利用其性质解决相关问题 通过正切函数图像和性质的学习培养学生数学直观想象和数学运算素养 对应学生用书P43 [情境引入] 孔子东游，见两小儿辩斗，问其故．一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地．在相同的时间、相等的面积里，物体在直射状态下比在斜射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题． 那么这与正切函数的性质与图像有什么联系呢？ 1．仿照利用正弦线作正弦曲线的作法，你能作出正切函数的图像吗？ 提示：还可以利用单位圆中的正切线作正切函数y＝tan x的图像． 2．你还有其它方法吗？ 提示：描点法作y＝tan x在x∈[－，]上的草图，描出三点(－，－1)，(0,0)，(，1)，两线x＝±. [知识梳理] [知识点一]　正切函数　 　对于任意一个角x，只要　x≠＋kπ，k∈Z　.就有　唯一　确定的正切值tan x与之对应，因此y＝tan x是一个函数，称为正切函数． [知识点二]　正切函数的图像与性质　 解析式 y＝tan x 图像 定义域 {x|x≠＋kπ，k∈Z} 值域 R 最小正周期 　π　 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间　(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)　 上都是增函数 对称性 对称中心　(，0)(k∈Z)　 零点 kπ，k∈Z 1.正切曲线是中心对称图形吗？若是，对称中心是什么？是轴对称图形吗？ 提示：y＝tan x是中心对称图形，对称中心为(，0)(k∈Z)，不是轴对称图形． 2．正切函数在定义域上是单调函数吗？ 提示：不是. 正切函数在每一个单调区间(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)内都是增函数．但在整个定义域内不是，比如180°>30°，但tan 180°＝0<tan 30°＝. 3．如何画正切函数的简图？ 提示：画正切函数图像常用三点两线法：“三点”是指(－，－1)，(0,0)，(，1)，“两线”是指x＝－和x＝，大致画出正切函数在(－，)上的简图后向左、向右扩展即得正切曲线． [预习自测] 1．函数y＝tan(x－)的单调递增区间是　________　. 答案：(－＋kπ，＋kπ)，k∈Z 2．函数y＝tan(x＋π)是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 答案：A 3．函数y＝tan的定义域是(　　) A.　　　 B. C. D. 答案：D 对应学生用书P44 与正切函数有关的定义域、值域问题 [例1] (1)求函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域； (2)求函数y＝tan，x∈的值域． [思路点拨]　(1)先列不等式组，然后借助正切函数的图像与性质解不等式；(2)令z＝2x＋，转化为求tan z的值域． [解]　(1)由题意得，即－1≤tan x<1. 在内，满足上述不等式的x的取值范围是. 又y＝tan x的周期为π， 所以－＋kπ≤x<＋kπ，k∈Z. 所以函数的定义域为，k∈Z. (2)令z＝2x＋， ∵x∈， ∴－<z≤. ∵y＝tan z在上是增函数， ∴tan<y≤tan，即－1<y≤ . ∴函数的值域为(－1， ]． 1．求正切函数定义域的方法 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z，而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图像求解．解形如tan x>a的不等式的步骤： 2．求正切函数的值域的方法 ①结合图像． ②利用单调性． ③在复杂情况下，利用换元法，设t＝ωx＋φ， 再求解． [变式训练] 1．(1)函数y＝ln(tan x)的定义域　________　； (2)函数y＝tan2x－2tan x＋3的最小值为　________　. 解析：(1)由题意得 即 故定义域为(kπ，kπ＋)(k∈Z)． (2)y＝(tan x－1)2＋2，由于tan x∈R，所以当tan x＝1时，函数取最小值2. 答案：(1)(kπ，kπ＋)(k∈Z)　(2)2 与正切函数有关的函数单调性问题 [例2] (1)求函数y＝tan的单调区间； (2)比较tan 1、tan 2、 tan 3的大小． [思路点拨]　解答(1)时先将函数化为y＝－tan，再把x－整体代入，k∈Z这个区间内，解出x便可．解答(2)的关键是利用tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，把角化归到同一单调区间内，再利用y＝tan x在上的单调性判断其大小关系． [解]　(1)y＝tan ＝－tan， 由kπ－<x－<kπ＋，k∈Z， 得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z， 所以函数y＝tan的单调递减区间是，k∈Z. (2)tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)． 因为<2<π，所以－<2－π<0. 因为<3<π，所以－<3－π<0. 显然－<2－π<3－π<1<， 又y＝tan x在内是增函数， 所以tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1. 即tan 2<tan 3<tan 1. 1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 (1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ<kπ＋，k∈Z，求得x的范围即可． (2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可． 2．运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． [变式训练] 2．求函数y＝3tan的单调区间． 解：y＝3tan＝－3tan， 由kπ－<－<kπ＋，k∈Z， 得4kπ－<x<4kπ＋，k∈Z. ∴y＝3tan的单调递减区间为 ，k∈Z. 与正切函数有关的周期性、奇偶性问题 [例3] (1)求f(x)＝tan的周期； (2)判断y＝sin x＋tan x的奇偶性． [思路点拨]　(1)利用公式法或定义法求函数的周期；(2)利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性． [解]　(1)方法一： ∵tan＝tan， 即tan＝tan ∴f(x)＝tan的周期是. 方法二：∵y＝tan x的周期是π. ∴f(x)＝tan的周期是. (2)函数的定义域是， 又∵sin(－x)＋tan(－x)＝－(sin x＋tan x)， ∴函数y＝sin x＋tan x是奇函数． (1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)＋b(A≠0，ω>0)的周期为T＝，常常使用此公式来求周期． (2)判断奇偶性一定要先求定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与f(x)间的关系． [变式训练] 3．已知函数y＝tan(ωx＋)(ω<0)的周期为，求该函数的定义域、值域．并判断函数的奇偶性． 解：y＝tan(ωx＋)(ω<0)的周期为＝，解得ω＝2或ω＝－2. 因为ω<0，所以ω＝－2， 故y＝tan(－2x＋)＝－tan(2x－)． 由2x－≠kπ＋(k∈Z)， 解得x≠＋(k∈Z)， 所以该函数的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}，值域为R. 由于该函数的定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数． 对应学生用书P46 1．下列说法正确的是(　　) A．y＝tan x是增函数 B．y＝tan x在第一象限是增函数 C．y＝tan x在某一区间上是减函数 D．y＝tan x在区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上是增函数 解析：D　[y＝tan x有无数个递增区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)，无递减区间，且在定义域上不是增函数．] 2．函数y＝tan(x＋)的定义域是(　　) A．{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z} B．{x|x∈R且x≠kπ－，k∈Z} C．{x|x∈R且x≠2kπ＋，k∈Z} D．{x|x∈R且x≠2kπ－，k∈Z} 解析：A　[x＋≠＋kπ，k∈Z， ∴x≠＋kπ，k∈Z.] 3．关于函数y＝tan(2x－)，下列说法正确的是(　　) A．是奇函数 B．在区间(0，)上单调递减 C．(，0)为图像的一个对称中心 D．最小正周期为π 解析：C　[令f(x)＝tan(2x－)．由2x－≠kπ＋(k∈Z)，解得x≠＋(k∈Z)，即定义域为{x|x≠＋，k∈Z}，由于该函数的定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；由正切函数的图像知y＝tan(2x－)没有单调递减区间，故B错误；C中，∵f()＝tan 0＝0，故(，0)为图像的一个对称中心，C正确；D中，y＝tan(2x－)的最小正周期T＝，D错误．] 4．函数y＝2tan－5的单调递增区间是　________　. 解析：∵－＋kπ<3x＋<＋kπ，k∈Z. ∴－＋<x<＋，k∈Z. 答案：(k∈Z) 5．求函数y＝tan的定义域、周期、单调区间和对称中心． 解：由x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠3k＋，k∈Z， 故定义域为. T＝＝＝3. 由－＋kπ＜x＋＜＋kπ，k∈Z， 得－＋3k＜x＜＋3k，k∈Z， 故增区间为(k∈Z)， 由x＋＝得，x＝k－，k∈Z， 所以对称中心为，(k∈Z)． 对应学生课时P27 1．函数y＝tan的定义域是(　　) A. B. C. D. 解析：D　[由y＝tan＝－tan， x－≠kπ＋，k∈Z，从而得x≠kπ＋π，k∈Z.] 2．函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　) A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 解析：B　[由题意，函数f(x)＝tan， 令－＋kπ＜－＜＋kπ，k∈Z， 解得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z， 即函数f(x)的单调递增区间是， k∈Z，故选B.] 3．在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos(2x＋)，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　) A．②④　　　　　　　 B．①③④ C．①②③ D．①③ 解析：C　[①y＝cos|2x|＝cos 2x，T＝π. ②由图像知，函数的周期T＝π. ③T＝π. ④T＝. 综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③.] 4．关于函数f(x)＝tan，有以下命题，正确的是(　　) A．函数f(x)的周期是 B．函数f(x)的定义域是 C．y＝f(x)是奇函数 D．y＝f(x)的一个单调递增区间为 解析：A　[f(x)＝tan的周期T＝，故A正确；f(x)的定义域为，故B不正确；f(x)是非奇非偶函数，故C不正确；f(x)的单调递增区间为，k∈Z，故D不正确．] 5．函数y＝tan(sin x)的值域为(　　) A. B. C．[－tan 1，tan 1] D．以上均不对 解析：C　[令t＝sin x，当x∈R时，－1≤sin x≤1，即函数y＝tan t，在t∈[－1,1]上是单调增函数， ∴－tan 1≤tan t≤tan 1， ∴y＝tan(sin x)的值域为[－tan 1，tan 1]．] 6．(多选题)下列关于函数y＝tan的说法正确的是(　　) A．图像关于点成中心对称 B．图像关于直线x＝成轴对称 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 解析：AD　[由题意，对于A，当x＝时，函数y＝tan＝tan ，无意义，所以点是函数的对称中心，所以A正确；对于B，根据正切函数的性质可知，函数y＝tan的图像没有对称轴，所以不正确；对于C，令－＋kπ＜x＋＜＋kπ，k∈Z，解得－＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z，即函数的单调递增区间为，k∈Z，当k＝1时，函数的单调递增区间为，所以不正确；当k＝0时，函数的单调递增区间为，所以D正确．] 7．正切函数y＝tan的周期是　________　. 解析：本题考查正切函数的周期的求法．由正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期公式T＝，可求得函数y＝tan的周期T＝＝＝2π. 答案：2π 8．函数y＝tan的定义域为　________　. 解析：要使函数有意义，自变量x的取值应满足3x－≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z)，∴函数的定义域为. 答案： 9．(多空题)函数f(x)＝tan 2x在上的最大值为　________　，最小值为　________　. 解析：∵－≤x≤，∴－≤2x≤. ∴f(x)＝tan 2x在上为增函数， ∴f(x)max＝f＝tan＝， f(x)min＝f＝tan＝－. 答案：　－ 10．求函数y＝的定义域和值域． 解：由－tan x≥0，并结合图像可求定义域，进而可求值域． 作出函数y＝tan x在上的图像，如图所示． 因为－tan x≥0，所以tan x≤，结合图易得kπ－＜x≤kπ＋(k∈Z)，显然有y≥0. 故所求函数的定义域为(k∈Z)， 值域为[0，＋∞)． 11．不求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小． (1)tan 167°与tan 173°；(2)tan与tan. 解：(1)∵90°＜167°＜173°＜180°， 又y＝tan x在90°＜x＜270°范围内是增函数， ∴tan 167°＜tan 173°. (2)∵tan＝－tan＝tan， tan＝－tan＝tan， 又0＜＜＜，函数y＝tan x在上是增函数， ∴tan＜tan，即tan＜tan. 12．求下列不等式的解集： (1)tan x≤－1；(2)tan≥－1. 解： 作出函数y＝tanx，x∈的图像，如图所示． (1)在内，满足tan x≤－1的x的取值范围为－＜x≤－，结合函数图像，可知tan x≤－1的解集为 . (2)由tan x≥－1得kx－≤x＜＋kπ，k∈Z. 由kπ－≤2x－＜kπ＋，k∈Z，∴－≤x＜＋，k∈Z. ∴tan≥－1的解集为 . 13．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图像与x轴相邻两个交点的距离为，且图像关于点M对称． (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)的单调区间； (3)求－1≤f(x)≤的解集． 解：(1)由题意知正切函数图像与x轴相邻两交点的距离为一个周期，得函数f(x)的最小正周期T＝，即＝. 因为ω＞0，所以ω＝2，所以f(x)＝tan(2x＋φ)． 因为函数y＝f(x)的图像关于点M对称， 所以2×＋φ＝，k∈Z， 即φ＝＋，k∈Z. 因为0＜φ＜，所以φ＝.故f(x)＝tan. (2)由(1)知，f(x)＝tan. 将2x＋看成一个整体，代入正切函数的单调区间． 令－＋kπ＜2x＋＜＋kπ，k∈Z，得－＋＜x＜＋，k∈Z， 所以函数的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间． (3)由(1)，知f(x)＝tan. 由－1≤tan≤，得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z， 解得－＋≤x≤＋，k∈Z. 所以－1≤f(x)≤的解集为 . 学科网（北京）股份有限公司 $