7.3.2 第2课时 正弦型函数的性质与图像(二)-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

第2课时　正弦型函数的性质与图像(二) 课程标准 素养解读 1.会根据y＝Asin(ωx＋φ)的图像研究性质 2．会根据y＝Asin(ωx＋φ)的图像确定其解析式 3．掌握利用y＝Asin(ωx＋φ)的图像解决问题 1.根据y＝Asin(ωx＋φ)的图像及性质培养学生数学直观想象和逻辑推理素养 2．通过学习y＝Asin(ωx＋φ)的性质提升学生的数学运算素养 对应学生用书P36 [情境引入] (1)若函数y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数，则φ应满足什么条件？ 提示：因为y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数，所以f(0)＝0，因此sin φ＝0，所以φ＝kπ，k∈Z. (2)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为偶函数，则φ应满足什么条件？ 提示：因为y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，所以f(0)＝A或f(0)＝－A，即Asin φ＝A或Asin φ＝－A，所以有φ＝kπ＋，k∈Z. [知识梳理] [知识点一]　正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)中，A，ω，φ的物理意义　 1．振幅：　|A|　. 2．初相：　φ　. 3．周期：　T＝　. 4．频率：f＝　　＝　　. [知识点二]　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质　 根据函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像，我们可以得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质． (1)定义域：R. (2)值域：[－A，A]．当x＝－＋(k∈Z)时，y取得最大值A；当x＝－＋(k∈Z)时，y取得最小值－A. (3)单调性：由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递增区间； 由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递减区间． (4)奇偶性：当φ＝kπ(k∈Z)时，函数为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数为偶函数． (5)周期性：T＝. (6)对称性：直线x＝－＋(k∈Z)都是其对称轴；点(k∈Z)都是其对称中心． [知识点三]　由y＝Asin(ωx＋φ)的图像性质或部分图像确定解析式　 解决此类问题的关键在于确定参数A，ω，φ，其基本方法是在观察图像的基础上，利用待定系数法求解．若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察图像的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ. (1)A：一般可由图像上的最大值、最小值来确定|A|. (2)ω：因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T. (3)φ：从寻找“五点法”中的第一零点(也叫初始点)作为突破口，要从图像的升降情况找准第一零点的位置，从而确定φ. (4)A，ω，φ三个量中，初相φ的确定是一个难点，除使用初始点外，还可利用五点法中其他点确定初相φ，即在五点中找两个特殊点列方程组解出φ，如：，解出ω，φ等． 　求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的单调区间应注意什么？ 提示：对于y＝Asin(ωx＋φ)的单调性而言，A与ω的正负影响单调性，如果ω<0，可以利用诱导公式sin(－α)＝－sin α将负号转化到函数符号外，再求相应单调区间． [预习自测] 1．函数y＝sin(2x－)在区间上的简图是(　　) 解析：A　[当x＝0时，y＝sin＝－<0，排除B、D；当x＝时，y＝sin(2×－)＝sin 0＝0，排除C，故选A.] 2．已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数图像(　　) A．关于点(，0)对称　 B．关于直线x＝对称 C．关于点(，0)对称 D．关于直线x＝对称 解析：A　[由T＝＝π，解得ω＝2，则f(x)＝sin(2x＋)．该函数图像关于点(，0)对称．] 3．函数y＝2sin(2x－)的对称轴方程是　________　. 解析：对于函数y＝2sin(2x－)， 令2x－＝kπ＋(k∈Z)时，x＝＋(k∈Z)． 答案：x＝＋(k∈Z) 对应学生用书P37 由y＝Asin(ωx＋φ)的图像确定其解析式 [例1] 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一段图像如图所示，求f(x)的解析式． [思路点拨]　此类问题可由最值确定A，由周期确定ω，由图像上的点确定φ. [解]　方法一：由图像可知A＝3，T＝＝5π，∴ω＝＝＝，此时f(x)＝3sin.由于图像过点，得sin＝0，∴＋φ＝kπ，k∈Z，φ＝kπ－，k∈Z. ∵|φ|<，∴φ＝－. ∴f(x)＝3sin. 方法二：同方法一，求出f(x)＝3sin. ∵对应了五点法作图的第一个点， ∴×＋φ＝0， ∴φ＝－. ∴f(x)＝3sin. 由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值． (1)一般可由图像上的最大值、最小值来确定|A|. (2)因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点所对应的横坐标之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T. (3)求φ，常用方法有： ①代入法：把图像上的一个已知点代入转化求解． ②五点法：要确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点(－，0)作为突破口，具体如下： “第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0； “第二点”(即图像的“峰点”)为ωx＋φ＝； “第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π； “第四点”(即图像的“谷点”)为ωx＋φ＝； “第五点”为ωx＋φ＝2π. [变式训练] 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图，求其函数解析式． 解：方法一：由图像知A＝2，T＝－＝π. ∴ω＝＝2.又过点，令－×2＋φ＝0. 得φ＝，∴y＝2sin. 方法二：由图像知A＝2，且图像过点， . 根据五点法作图原理， 有，解得， ∴y＝2sin. 三角函数图像的对称性 [例2] (1)函数y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是(　　) A．0　　 B.　　　C.　　　D．π (2)函数y＝sin的图像的对称轴是　________　，对称中心是　________　. [思路点拨]　把“ωx＋φ”看作一个整体代入基本函数性质． [解析]　(1)因为y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以f()＝f(－)，代入整理得cos φ＝0，所以φ＝. (2)要使sin(2x＋)＝±1， 必有2x＋＝kπ＋(k∈Z)， ∴x＝＋(k∈Z)， 故函数y＝sin(2x＋)的图像的对称轴为x＝＋(k∈Z)． ∵函数y＝sin(2x＋)的图像与x轴的交点即为对称中心，令y＝0，即sin(2x＋)＝0， ∴2x＋＝kπ(k∈Z)，即x＝－(k∈Z)， 故函数y＝sin(2x＋)的图像的对称中心为(－，0)(k∈Z)． 答案：(1)C　(2)x＝＋(k∈Z)　(－，0)(k∈Z) 三角函数对称轴、对称中心的求法 对称轴 对称中心 y＝Asin(ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求对称中心横坐标 y＝Acos(ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求对称中心横坐标 y＝Atan(ωx＋φ) 无 令ωx＋φ＝(k∈Z)求对称中心横坐标 [变式训练] 2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)，其图像最低点的纵坐标是－，相邻的两个对称中心是(，0)和(，0)，则f(x)图像的对称轴方程为　________　. 解析：由题意，得A＝，T＝2(－)＝π，∴＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)．又∵点(，0)在f(x)的图像上，∴f()＝0，∴sin(＋φ)＝0，∴sin(＋φ)＝0.又∵－π<φ<0，∴φ＝－，∴f(x)＝sin(2x－)．令2x－＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)．∴f(x)图像的对称轴方程是x＝＋(k∈Z)． 答案：x＝＋(k∈Z) 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及其应用 [例3] 设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图像的一条对称轴是直线x＝. (1)求φ； (2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值． [思路点拨]　本题关键是对图像的一条对称轴为x＝，这一条件的利用，由图像的一条对称轴为x＝得：当x＝时，2x＋φ＝kπ＋(k∈Z)进而可求φ值． [解]　(1)由2x＋φ＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋－， 令＋－＝，解得φ＝kπ＋，k∈Z. ∵－π<φ<0，∴φ＝－. (2)由(1)知，f(x)＝sin. 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得 kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)． 故函数的单调递增区间是(k∈Z)． 同理可得函数的单调递减区间是 (k∈Z)． 当2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即 x＝kπ＋(k∈Z)时，函数有最大值1； 当2x－＝2kπ－(k∈Z)，即 x＝kπ＋(k∈Z)时，函数有最小值－1. 1．正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为奇函数． 2．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧 (1)结合正弦、余弦函数的图像，熟记它们的单调区间． (2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间． [变式训练] 3.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图像如图所示，则(　　) A．f(x)的一个对称中心为(，0) B．f(x)的图像关于直线x＝－对称 C．f(x)在上是增函数 D．f(x)的周期为 解析：A　[根据函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>o，|φ|<)的部分图像， 可得A＝3，＝＝－，所以ω＝2，再根据点是五点作图法中第五个点可得2×＋φ＝π，所以φ＝， 所以y＝3sin，显然，它的周期为＝π，故排除D； 当x＝时，函数y＝f(x)＝3sin(2x＋)＝0，故函数的图像关于点(，0)对称，故A正确； 当x＝－时，f(x)＝，不是最值，故f(x)的图像不关于直线x＝－对称，故排除B.在[－π，－]上，2x＋∈[，－]，y＝3sin(2x＋)不是增函数，故排除C.故选A.] 对应学生用书P39 1．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图所示，则(　　) A．ω＝，φ＝　　　　　 B．ω＝，φ＝ C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝ 解析：C　[因为T＝2×[3－(－1)]＝8， 所以ω＝＝＝， 又因为f(1)＝1，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)． 所以φ＝＋2kπ(k∈Z)， 又因为0≤φ<2π，所以φ＝.] 2．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期为2π B．函数f(x)在区间上是增函数 C．函数f(x)的图像关于直线x＝0对称 D．函数f(x)是奇函数 解析：D　[因为f(x)＝－cos x，故根据余弦函数的图像可知D是错误的．故选D.] 3．函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)图像的一条对称轴是直线x＝，则φ的值为　________　. 解析：由题意知2×＋φ＝＋kπ，k∈Z， 所以φ＝＋kπ＝2，k∈Z. 又－π<φ<0，所以φ＝－π. 答案：－π 4.若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，－π<φ<π)的部分图像如图所示，则函数f(x)的解析式为　________　. 解析：由题图可知：A＝2，＝＋＝， 所以T＝π，ω＝；f(x)＝2sin(2x＋φ)， 代入点(，0)得0＝2sin(2×＋φ)， 所以φ＋＝π＋2kπ，k∈Z， φ＝＋2kπ，k∈Z， 因为－π<φ<π，所以φ＝， 所以f(x)＝2sin(2x＋)． 答案：f(x)＝2sin(2x＋) 5．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像如图所示，根据图像求： (1)f(x)的最小正周期； (2)f(x)的对称轴和对称中心； (3)f(x)的单调区间． 解：(1)由图像知最小正周期 T＝4×＝2π. (2)f(x)的对称轴为x＝＋kπ(k∈Z)， 对称中心坐标为. (3)在一个周期上的单调减区间为， ∴整个定义域上的单调减区间为 (k∈Z)， 同理易知单调增区间为(k∈Z)． 对应学生课时P23 1．函数y＝－2sin的周期、振幅、初相分别是(　　) A．2π，－2，　　　　　 B．4π，－2， C．2π，2，－ D．4π，2，－ 解析：D　[y＝－2sin＝2sin， ∴周期T＝＝4π，振幅A＝2. 初相φ＝－.] 2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A＞0，|φ|＜)的图像(部分)如图所示，则f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝2sin(x∈R) B．f(x)＝2sin(x∈R) C．f(x)＝2sin(x∈R) D．f(x)＝2sin(x∈R) 解析：A　[由题图可知A＝2，＝－＝， 所以T＝＝2，则ω＝π. 由题图知是五点作图的第二个点， 所以ω＋φ＝，即＋φ＝， 解得φ＝.所以f(x)＝2sin.] 3．(2019·天津卷，7)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，将y＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期 为2π，且g＝，则f＝(　　) A．－2　　　　　　　 B．－ C. D．2 解析：C　[在x＝0处有定义的奇函数必有f(0)＝0，f(x)为奇函数，可知f(0)＝Asin φ＝0， 由|φ|＜π可得φ＝0； 把其图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得g(x)＝Asin ωx，由g(x)的最小正周期为2π可得ω＝2，由g＝，可得A＝2，所以f(x)＝2sin 2x，f＝2sin＝.故选C.] 4．当x＝时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0)取得最小值，则函数y＝f是(　　) A．奇函数且图像关于点对称 B．偶函数且图像关于点(π，0)对称 C．奇函数且图像关于直线x＝对称 D．偶函数且图像关于点对称 解析：C　[∵当x＝时函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0)取得最小值，∴－A＝Asin，可得sin＝－1， ∴＋φ＝2kπ－，k∈Z，解得φ＝2kπ－，k∈Z， ∴f(x)＝Asin， ∴y＝f＝Asin＝－Asin x， ∴该函数是奇函数且图像关于直线x＝对称．] 5．已知函数f(x)＝sin(ω＞0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：B　[依题意，令－＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ(k∈Z)， 解得≤x≤(k∈Z)， 故(k∈Z)， 解得(k∈Z)， 当k＝0时，可得0＜ω≤.故ω的取值范围是.] 6．(多选题)将函数f(x)＝2sin x的图像先向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g(x)的图像，下面四个结论正确的是(　　) A．函数g(x)在区间上为增函数 B．将函数g(x)的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于原点对称 C．点是函数g(x)图像的一个对称中心 D．函数g(x)在[π，2π]上的最大值为 解析：ACD　[将函数f(x)＝2sin x的图像先向左平移个单位长度，可得y＝2sin的图像；然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得g(x)＝2sin的图像．对于A选项，当x∈时，x＋∈，此时g(x)＝2sin是单调递增的，故A正确；对于B选项，将函数g(x)的图像向右平移个单位长度后得到函数y＝2sin，不是奇函数，其图像不满足关于原点对称，故B错误；对于C选项，将x＝－代入函数g(x)的解析式中，得到2sin＝2sin 0＝0，故点是函数g(x)图像的一个对称中心，故C正确；对于D选项，当x∈[π，2π]时，x＋∈，函数g(x)的最大值为，故D正确．] 7．将函数y＝sin x的图像向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位长度后，得到函数y＝sin的图像，则φ＝　________　. 解析：因为φ∈[0,2π)，所以把y＝sin x的图像向左平移φ个单位长度得到y＝sin(x＋φ)的图像．因为sin＝sin＝ sin，所以φ＝. 答案： 8．关于f(x)＝4sin(x∈R)，有下列命题： ①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍； ②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos； ③y＝f(x)图像关于对称； ④y＝f(x)图像关于x＝－对称． 其中正确命题的序号为　________　. 解析：对于①，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ(k∈Z)， ∴x＝π－，∴x1－x2是的整数倍，∴①错； 对于②，f(x)＝4sin利用公式得： f(x)＝4cos＝4cos. ∴②对； 对于③，f(x)＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ，k∈Z，∴x＝π－，k∈Z. ∴是函数y＝f(x)的一个对称中心， ∴③对； 对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ，k∈Z，∴x＝＋，k∈Z.∴④错． 答案：②③ 9．(多空题)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图像如图所示，则f(x)＝　________　，f(0)＝　________　. 解析：由图可知，A＝， ∵＝－＝，∴T＝π. 又∵T＝＝π，∴ω＝2. 又图像过点，∴sin＝0. 由图可知π＋φ＝2kπ＋π，k∈Z. ∴φ＝2kπ＋，k∈Z. ∵0＜φ＜π，∴φ＝. ∴f(x)＝sin. 故f(0)＝sin ＝. 答案：sin　 10．如图为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图像的一段． (1)求其解析式； (2)若将y＝Asin(ωx＋φ)的图像向左平移个单位长度后得到y＝f(x)的图像，求f(x)图像的对称轴方程． 解析：(1)由图像可知：A＝， 又T＝2＝π，∴ω＝2. 由2×＋φ＝2kπ，k∈Z，得φ＝－＋2kπ，k∈Z， 又∵|φ|＜π，∴φ＝－. ∴所求解析式为y＝sin. (2)f(x)＝sin＝sin， 令2x－＝＋kπ，k∈Z，则x＝＋，k∈Z， ∴f(x)对称轴方程为x＝＋，k∈Z. 11．如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的一个周期内的图像． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若g(x)的图像与f(x)的图像关于直线x＝2对称，求函数g(x)的解析式； (3)求函数g(x)的最小正周期、频率、振幅、初相． 解析：(1)由图，知A＝2，T＝7－(－1)＝8， ∴ω＝＝＝， ∴f(x)＝2sin. 将点(－1,0)代入，得0＝2sin. ∵|φ|＜， ∴φ＝， ∴f(x)＝2sin. (2)做出与f(x)的图像关于直线x＝2对称的图像(图略)，可以看出g(x)的图像相当于将f(x)的图像向右平移2个单位长度得到的， ∴g(x)＝2sin＝2sin. (3)由(2)，知g(x)的最小正周期为＝8， ∴频率为，振幅为2，初相为－. 12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像关于直线x＝对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值； (2)若f＝，求cos 的值． 解析：(1)因f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2. 又因为f(x)的图像关于直线x＝对称， 所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z， 因为－≤φ＜，得k＝0，φ＝－＝－. (2)由(1)得f(x)＝sin，所以f＝sin＝， 所以sin＝.由＜α＜，得0＜α－＜， 所以cos＝＝＝.因此cos＝sin α＝sin＝sincos＋cos·sin＝×＋×＝. 13．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ－)＋1(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为. (1)求f()的值； (2)将函数f(x)的图像向右平移个单位长度后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)的单调递减区间． 解析：(1)∵f(x)为偶函数， ∴φ－＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ＋(k∈Z)． 又0＜φ＜π， ∴φ＝， ∴f(x)＝2sin (ωx＋)＋1＝2cos ωx＋1. 又函数f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为， ∴T＝＝2×， ∴ω＝2， ∴f(x)＝2cos 2x＋1， ∴f＝2cos＋1＝＋1. (2)将f(x)的图像向右平移个单位长度后，得到函数f(x－)的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f的图像， 所以g(x)＝f(－) ＝2cos2＋1 ＝2cos(－)＋1. 当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)， 即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减． ∴函数g(x)的单调递减区间是 [4kπ＋，4kπ＋](k∈Z)． 学科网（北京）股份有限公司 $