7.3.1 第3课时 正弦函数的性质与图像(三)-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

第3课时　正弦函数的性质与图像(三) 课程标准 素养解读 1.了解利用单位圆作正弦函数图像的方法，会用“五点法”画正弦函数的图像 2．会用正弦函数的图像解简单问题 1.通过“五点法”作函数图像培养学生数学直观素养 2．根据正弦函数的图像的简单应用提升逻辑推理和数学抽象素养 对应学生用书P29 [情境引入] 如图所示，装满细沙的漏斗在做单摆运动时，沙子落在与单摆运动方向垂直的运动木板上的曲线轨迹． [问题]　图中细沙形成的曲线是什么曲线类型？ 提示　细沙在木板上形成的曲线是正弦型函数的曲线． [知识梳理] [知识点]　正弦曲线　 (1)正弦曲线 正弦函数y＝sin x，x∈R的图像叫正弦曲线． (2)正弦函数图像的画法． ①几何法： (ⅰ)利用正弦线画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图像； (ⅱ)将图像向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)． ②“五点法”： (ⅰ)画出正弦曲线在[0,2π]上的图像的五个关键点(0,0)，　(，1)　，(π，0)　(，－1)　，(2π，0)，用光滑的曲线连接； (ⅱ)将所得图像向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)． (3)定义域：R；值域：[－1,1]． (4)本质：正弦曲线是正弦函数的图形表示，是正弦函数的一种直观表示． (5)应用：根据正弦曲线，能帮助学生更直观地认识正弦函数，进而根据正弦曲线，推导正弦函数的一些常用性质． 1.按照在y＝sin x的图像上的位置不同，“五点法”作图中的五个点可分为哪两类？ 提示：(1)图像与x轴的交点：(0,0)，(π，0)，(2π，0)； (2)图像上的最高点和最低点. 2．按照在y＝sin x的图像上的位置不同，“五点法”作图中的五个点可分为哪两类？ 提示：(1)图像与x轴的交点：(0,0)，(π，0)，(2π，0)； (2)图像上的最高点和最低点. 3．在作y＝2＋sin x的图像时，应抓住哪些关键点？ 提示：作正弦函数y＝2＋sin x，x∈[0,2π]的图像时，起关键作用的点有以下五个： (0,2)，(，3)，(π，2)，(，1)，(2π，2)． [预习自测] 1．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图像(　　) A．重合　　　　 B．形状相同，位置不同 C．关于y轴对称 D．形状不同，位置不同 解析：B　[根据正弦曲线的作法可知函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图像只是位置不同，形状相同．] 2．用“五点法”作y＝2sin 2x的图像时，首先描出的五个点的横坐标是(　　) A．0，，π，π，2π　　　 B．0，，，π，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 答案：B 3．作函数y＝sin x，x∈[0,2π]图像的五个关键点　________　，　________　，　________　，　________　，　________　. 答案：(0,0)　(，1)　(π，0)　(，－1)　(2π，0) 对应学生用书P30 “五点法”作正、余弦函数的图像 [例1] 用“五点法”作出下列函数的简图： y＝sin x－1，x∈[0,2π]． [思路点拨]　在作形如y＝asin x＋b，x∈[0,2π]的图像时，可由五点法作出，注意正确写出五个关键点的坐标． [解析]　按五个关键点列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 sin x－1 －1 0 －1 －2 －1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示． 作形如y＝asin x＋b，x∈[0,2π]的图像的三个步骤 [变式训练] 1．用“五点法”作出函数y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]的图像． 解：找五个关键点列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1＋2sin x 1 3 1 －1 1 在直角坐标系中描出五点(0,1)，，(π，1)，，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]的图像． 　　　 利用正弦函数图像解不等式 [例2] 求下列函数的定义域： (1) y＝； (2)y＝＋. [思路点拨]　先画出图像，根据图像解不等式． [解析]　(1)由2sin 2x≥1得sin 2x≥.把2x当作整体t，画y＝sin t的图像． 在[0,2π]内，满足sin t≥有≤t≤， 所以≤2x≤. 故在实数集R上2x满足 ＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z， 即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以定义域为{x|＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z}． (2)根据函数表达式可得 ⇒ 在数轴上表示如图所示． 由图示可得，函数定义域[－5，－π]∪[0，π]． 利用三角函数图像解sin x>a(或cos x>a)的三个步骤 (1)作出直线y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图像． (2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值． (3)确定sin x>a(或cos x>a)的解集． 注意：解三角不等式sin x>a，如是不限定范围时，一般先用图像求出[0,2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的同一三角函数值相等，写出原不等式的解集． [变式训练] 2．利用正弦函数和余弦函数的图像，求满足下列条件的x的集合． sin x≥. 解：作出正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像，如图所示，由图像可以得到满足条件的x的集合为[＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z. 　 正弦函数图像的简单应用 [例3] 画出函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图像． (1)试写出y>1及y<1的自变量的取值范围； (2)判断其函数图像与直线y＝的交点个数． [思路点拨]　先用五点法作出函数的图像，结合图像分析不等式的解集；再画出直线y＝的图像，利用图像分析交点个数． [解]　用五点法画出函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图像，如图所示． (1)由图像可知，当x∈(0，π)时，y>1；当x∈(π，2π)时，0<y<1. (2)在平面直角坐标系中作出直线y＝，如图所示，可知此直线与函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图像有两个交点． 方程根(或个数)的两种判断方法 (1)代数法：直接求出方程的根，得到根的个数． (2)几何法：①方程两边直接作差构造一个函数，作出函数的图像，利用对应函数的图像，观察与x轴的交点个数，有几个交点原方程就有几个根； ②转化为两个函数，分别作这两个函数的图像，观察交点个数，有几个交点原方程就有几个根． [变式训练] 3．已知直线y＝a，函数y＝sin x，x∈[0,2π]，试探求以下问题． (1)当a为何值时，直线y＝a与函数y＝sin x的图像只有一个交点？ (2)当a为何值时，直线与函数图像有两个交点？ 解：由图像易知(1)当a＝±1时，y＝a与函数图像只有一个交点． (2)当a∈(0,1)∪(－1,0)时，y＝a与函数图像有两个交点． 对应学生用书P32 1．对于正弦函数的图像，有以下四个说法： ①关于原点对称；②关于x轴对称； ③关于y轴对称；④有无数条对称轴． 其中正确的是(　　) A．①②　 B．①③　　C．①④　　D．②③ 解析：C　[由正弦曲线知，①④正确．] 2．函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是(　　) 解析：B　[y＝sin(－x)＝－sin x，y＝－sin x与y＝sin x的图像关于x轴对称，故选B.] 3．用“五点法”画函数y＝2－3sin x的图像时，首先应描出五点的横坐标是(　　) A．0，，，，π B．0，，π，，2π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 解析：B　[所描出的五点的横坐标与函数y＝sin x的五点的横坐标相同，即0，，π，，2π，故选B.] 4．若方程sin x＝4m＋1在x∈[0,2π]上有解，则实数m的取值范围是　________　. 解析：由正弦函数的图像，知当x∈[0,2π]时，sin x∈[－1,1]，要使得方程sin x＝4m＋1在x∈[0,2π]上有解，则－1≤4m＋1≤1，故－≤m≤0. 答案： 5．利用正弦曲线，求满足<sin x≤的x的集合． 解：首先作出y＝sin x在[0,2π]上的图像，如图所示，作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和. 作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和. 观察图像可知，在[0,2π]上，当<x≤或≤x<时，不等式<sin x≤成立． 所以<sin x≤的解集为 或. 对应学生课时P19 1．函数y＝|sin x|的一个单调增区间是(　　) A.　　　　　 B. C. D. 解析：C　[由y＝|sin x|图像易得函数单调递增区间[kπ，kπ＋]，k∈Z，当k＝1时，得为y＝|sin x|的单调递增区间．] 2．函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性是(　　) A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数 B．在上是增函数，在和上都是减函数 C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数． D．在与上是增函数，在是减函数 解析：B　[由函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的图像可知，该函数在上是增函数，在和上是减函数．] 3．函数y＝2sin x的单调增区间是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C．[2kπ－π，2kπ](k∈Z) D．[2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 解析：A　[函数y＝2x为增函数，因此求函数y＝2sin x的单调增区间即求函数y＝sin x的单调增区间．] 4．点M在函数y＝sin x的图像上，则m等于(　　) A．0　　 B．1　　　C．－1　　　D．2 解析：C　[由题意－m＝sin ，所以－m＝1，所以m＝－1.] 5．函数y＝－3sin的单调递增区间是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 解析：A　[令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.故选A.] 6．(多选题)已知函数f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在区间上的最小值是－2，则ω的值可以等于(　　) A.　 B.　　C．2　　D．3 解析：BCD　[由题意知解得ω≥.] 7．函数y＝－3sin2x＋9sin x＋的最大值为　________　. 解析：令t＝sin x，则t∈[－1,1]． 故y＝－3t2＋9t＋＝－32＋8在t∈[－1,1]上递增． 故当t＝1，即sin x＝1时函数取得最大值，即ymax＝ －3×2＋8＝. 答案： 8．将sin 1，sin 2，sin 3，sin 4按由大到小的顺序排列为　________　. 解析：∵sin 2＝sin (π－2)，sin 3＝sin (π－3)，且0＜π－3＜1＜π－2＜， 函数y＝sin x在上单调递增，且sin 4＜0， ∴sin (π－2)＞sin 1＞sin (π－3)＞0， 即sin 2＞sin 1＞sin 3＞sin 4. 答案：sin 2＞sin 1＞sin 3＞sin 4 9．(多空题)函数y＝的定义域是　________　，单调递减区间是　________　. 解析：由－2sin x≥0，得sin x≤0， ∴2kπ－π≤x≤2kπ(k∈Z)， 即函数的定义域是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)． ∵y＝与y＝sin x的单调性相反， ∴函数的单调递减区间为(k∈Z)． 答案：[2kπ－π，2kπ](k∈Z)　(k∈Z) 10．求使下列函数取得最大值和最小值时的x值，并求出函数的最大值和最小值． (1)y＝2sin x－1；(2)y＝－sin2x＋ sin x＋. 解：(1)由－1≤sin x≤1知，当x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数y＝2sin x－1取得最大值，ymax＝1； 当x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数y＝2sin x－1取得最小值，ymin＝－3. (2)y＝－sin2x＋sin x＋＝－2＋. 因为－1≤sin x≤1， 所以当sin x＝，即x＝2kπ＋或x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值，ymax＝； 当sin x＝－1，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最小值，ymin＝－－. 11．利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小： (1)sin与sin； (2)sin 196°与cos 156°. 解：(1)∵－＜－＜－＜， ∴sin＞sin. (2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°＜16°＜66°＜90°，∴sin 16°＜sin 66°； 从而－sin 16°＞－sin 66°，即sin 196°＞cos 156°. 12．求下列函数的单调增区间： (1)y＝1－sin ； (2)y＝logsin . 解：(1)由2kπ＋≤≤2kπ＋π，k∈Z， 得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π，k∈Z. ∴y＝1－sin 的增区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π]，k∈Z. (2)要求函数y＝logsin的增区间，即求使y＝sin＞0且单调递减的区间．为此，x满足：2kπ＋≤－＜2kπ＋π，k∈Z. 整理得4kπ＋≤x＜4kπ＋，k∈Z. ∴函数y＝logsin的增区间为 ，k∈Z. 13．设函数f(x)＝sin，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值． 解析：(1)最小正周期T＝＝π， 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， ∴递增区间是(k∈Z)． (2)令t＝2x－，则由≤x≤可得0≤t≤， ∴当t＝，即x＝时，ymin＝·＝－1， ∴当t＝，即x＝时，ymax＝·1＝. 学科网（北京）股份有限公司 $