7.3.1 第1课时 正弦函数的性质与图像(一)-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

7．3　三角函数的性质与图像 7．3.1　正弦函数的性质与图像 第1课时　正弦函数的性质与图像(一) 课程标准 素养解读 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义 2．掌握函数y＝sin x的单调性、奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性 通过探索正余弦函数y＝sin x的周期性、奇偶性，重点提升直观想象、逻辑推理和数学抽象素养 对应学生用书P24 [情境引入] 如果现在是早上9点钟，问你：24小时以后是几点钟？你会毫不犹豫地回答：还是早上9点钟．因为你很清楚，0点、1点、2点、3点……23点，每隔24小时就重复出现一次，如果今天是星期一，问你：7天以后是星期几？你也会回答：还是星期一．因为你很清楚，星期一、星期二……星期天，每隔7天就重复出现一次．相同的间隔重复出现的现象称为周期现象，如“24小时1天”“7天1星期”“365天1年”就是我们所熟悉的周期现象．自然界中有很多周期现象，如日出日落、月圆月缺、四季交替等．正弦函数、余弦函数是否有这样的周期性呢？ 继续探究： 观察f(x)的部分图像，思考下列问题： (1)观察图形，函数图像每相隔多少个单位重复出现？ 提示：每相隔1个单位重复出现． (2)由诱导公式一：(k∈Z)结合正(余)弦曲线，可以看出正(余)弦函数怎样的特征？图像变化趋势是怎样的？ 提示：自变量x增加2π的整数倍时，函数值重复出现，图像发生“周而复始”的变化． [知识梳理] [知识点一]　正弦函数　 对于任意一个角x，都有　唯一　确定的　正弦sin_x　与之对应，因此y＝sin x是一个函数，一般称为正弦函数． [知识点二]　函数的周期性　 1．对于函数f(x)，如果存在一个　非零常数T　，使得当x取定义域内的　每一个　值时，都有　f(x＋T)＝f(x)　，那么函数f(x)就叫作周期函数，　非零常数T　叫作这个函数的周期． 2．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个　最小正数　，那么这个　最小正数　叫作f(x)的最小正周期． 3．正弦函数、余弦函数都是周期函数，　2kπ(k∈Z，且k≠0)　都是它们的周期，最小正周期为　2π　. 1.对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内无数个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么f(x)是周期函数吗？ 提示：f(x)不是周期函数，因为x应取定义域内每一个值． 2．是不是所有的函数都是周期函数？若一个函数是周期函数，它的周期是否唯一？ 提示：并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一． 3．周期函数都有最小正周期吗？ 提示：①最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小正数，这个正数是对x而言的，如y＝sin 2x的最小正周期是π，因为y＝sin(2x＋2π)＝sin 2(x＋π)，即π是使函数值重复出现的自变量x加上的最小正数，π是对x而言的，而非2x. ②并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f(x)＝C，任一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期． ③特别说明，周期一般都是指函数的最小正周期． 4．3π是正弦函数f(x)＝sin x的周期吗？为什么？ 提示：不是．∵f(x＋3π)＝sin(x＋3π)＝sin(x＋π＋2π)＝sin(x＋π)＝－sin x≠f(x)． ∴3π不是f(x)＝sin x的周期． [知识点三]　正弦函数y＝sin x的性质　 　　名称 性质　　 y＝sin x 定义域 　R　 值域 　[－1,1]　 最值 当且仅当　x＝＋2kπ，k∈Z　时， y＝sin x的最大值ymax＝　1　； 当且仅当　x＝＋2kπ，k∈Z　时， y＝sin x的最小值ymin＝　－1　 奇偶性 　奇函数　 周期性 最小正周期：2π 单调性 　(k∈Z)　上递增； 　(k∈Z)　上递减 零点 　kπ，k∈Z　 5.函数的奇偶性反映了函数的对称性，请写出正弦函数的对称中心与对称轴． 提示：正弦函数y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，(k∈Z)，对称轴为x＝＋kπ(k∈Z)． [预习自测] 1．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的周期为π，则ω＝　________　. 解析：由周期T＝，得＝π，解得ω＝2. 答案：2 2．函数f(x)＝1＋sin x的最小正周期是(　　) A.　　　 B．π　　　　C.　　　　D．2π 答案：D 3．函数y＝－sin x为　________　函数(填奇或偶)． 答案：奇 对应学生用书P25 正弦函数的周期性 [例1] 求下列函数的周期： (1)y＝2sin；(2)y＝|sin x|. [思路点拨]　(1)可用定义法或公式法求周期，(2)可用图像法或定义法求解． [解]　(1)方法一： ∵2sin＝2sin， 即2sin＝2sin， ∴y＝2sin的周期是6π. 方法二： ∵＝6π，∴函数y＝2sin的周期是6π. (2)方法一： ∵|sin(π＋x)|＝|－sin x|＝|sin x|. ∴函数y＝|sin x|的周期是π. 方法二： y＝|sin x|的图像如图所示． ∴y＝|sin x|的周期是π. 求三角函数的周期的方法 (1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数． (2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的函数，可利用T＝来求． (3)图像法：可画出函数的图像，借助于图像判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法． 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角三角函数． [变式训练] 1．判断等式sin＝sin是否成立？如果成立，能否说明是函数y＝sin x的周期？ 解：sin＝sin＝sin ＝－sin， 而sin＝－sin. ∴上述等式成立． 但不能说明是y＝sin x的周期． 理由如下：若为y＝sin x的周期， 则对任意实数x都有sin＝sin x， 但当x＝0时，sin≠sin x， 所以不是y＝sin x的周期． 　 正弦函数的奇偶性 [例2] 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin 2x； (2)f(x)＝sin. [思路点拨]　首先求出函数的定义域，在定义域关于原点对称的前提下，根据f(－x)与f(x)及－f(x)的关系来判断． [解]　(1)显然x∈R， f(－x)＝sin(－2x)＝－sin 2x＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． (2)∵x∈R，f(x)＝sin＝－cos， ∴f(－x)＝－cos＝－cos＝f(x)， ∴函数f(x)＝sin是偶函数． (1)判断函数奇偶性的方法步骤为：先求函数的定义域，看定义域是否关于原点对称，再根据解析式判断f(x)与f(－x)的关系，并根据奇偶性的定义作出判断，对于三角函数，要特别注意诱导公式的应用． (2)若已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或Acos(ωx＋φ))为偶函数，则x＝0是其对称轴，则f(0)＝±A；若已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或Acos(ωx＋φ))为奇函数，则(0,0)是其对称中心，则f(0)＝0. [变式训练] 2．判断下列函数的奇偶性． (1) y＝sin x．x∈(－π，2π)； (2)y＝sin x＋1； (3)y＝sin 3x. 解：(1)y＝sin x，x∈(－π，2π)， 定义域不关于原点对称， ∴y＝sin x，x∈(－π，2π)为非奇非偶函数． (2)y＝sin x＋1，x∈R， ∵f＝2，f＝0， ∴f≠f，f≠－f. 所以y＝sin x＋1为非奇非偶函数． (3)y＝sin 3x，x∈R， f(－x)＝sin[3(－x)]＝sin(－3x)＝－sin 3x＝－f(x)， ∴y＝sin 3x为奇函数． 　 正弦函数的奇偶性与周期性的应用 [例3] 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sin x，求f()的值． [思路点拨]　根据周期性，把要求角转化到已知角范围中求解． f()＝f(－2π)＝f(－)＝f()． [解]∵f(x)的最小正周期是π， ∴f()＝f(－2π)＝f(－)． ∵f(x)是R上的偶函数， ∴f(－)＝f()＝sin＝. ∴f()＝. 1．利用周期性和奇偶性解决求值问题的方法 利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而可解决求值问题． 2．判断y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是否具有奇偶性的关键 判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(Aω≠0)或y＝Acos ωx(Aω≠0)其中一个． [变式训练] 3．(1)已知函数f(x)＝sin(x＋＋φ)是奇函数，则φ的值可以是(　　) A．0　　　　　　　　　　 B．－ C. D．π 解析：B　[法一：f(x)＝sin(x＋＋φ)为奇函数，则只需＋φ＝kπ，k∈Z，从而φ＝kπ－，k∈Z. 显然当k＝0时，φ＝－满足题意． 法二：因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即sin(＋φ)＝0，所以φ＋＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z.令k＝0，则φ＝－.] (2)函数f(x)为偶函数且f(x＋)＝－f(x)，f()＝1，则f()＝　________　. 解析：∵f(x＋)＝－f(x)，∴f(x＋π)＝f(x)，即T＝π，f()＝f(－2π)＝f(－)＝f()＝1. 答案：1 对应学生用书P26 1．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 解析：A　[由于x∈R， 且f(－x)＝sin x＝－sin(－x)＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数．] 2．(多选题)下列是定义在R上的四个函数图像的一部分，其中是周期函数的是(　　) 解析：ABC　[对于D，x∈(－1,1)时的图像与其他区间图像不同，不是周期函数．] 3．设函数f(x)＝sin(2x－)，则f(x)是(　　) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 解析：B　[因为f(x)＝sin(2x－)＝－sin(－2x)＝－cos 2x，所以该函数的最小正周期为π，且为偶函数，故选B.] 4．函数f(x)＝sin(x＋θ)在[0，π]上为增函数，则θ的值可以是(　　) A．0　　　　　　　 B. C．π D. 解析：D　[当θ＝0时，f(x)＝sin x在[0，π]上不单调，故A不正确；当θ＝时，f(x)＝cos x在[0，π]上单调递减，故B不正确；当θ＝π时，f(x)＝－sin x在[0，π]上不单调，故C不正确；当θ＝时，f(x)＝－cos x在[0，π]上单调递增，故D正确．] 5．判断下列函数的奇偶性． (1)y＝|sin x|； (2)y＝cos. 解：(1)y＝|sin x|，定义域为R. ∴f(－x)＝|sin(－x)|＝|－sin x|＝|sin x|＝f(x)， ∴y＝|sin x|是偶函数． (2)y＝cos＝sin x，定义域为R， ∴y＝cos为奇函数． 对应学生课时P15 1．函数y＝sin的周期是(　　) A．2π　　　　　　　 B．π C. D. 解析：C　[T＝＝.] 2．下列函数中是奇函数的是(　　) A．y＝－|sin x| B．y＝sin(－|x|) C．y＝sin |x| D．y＝xsin |x| 解析：D　[利用定义，显然y＝xsin |x|是奇函数．] 3．已知定义在R上的奇函数f(x)是以π为最小正周期的周期函数，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f的值为(　　) A．－　 B.　　C．－　　D. 解析：C　[f＝f＝f＝ f＝f＝－f ＝－sin＝－，故选C.] 4．函数f(x)＝x＋sin x，x∈R(　　) A．是奇函数，但不是偶函数 B．是偶函数，但不是奇函数 C．既是奇函数，又是偶函数 D．既不是奇函数，又不是偶函数 解析：A　[f(x)的定义域为R，关于原点对称．又因为f(－x)＝－x＋sin (－x)＝－x－sin x＝－(x＋sin x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，但不是偶函数．] 5．(2022·黑龙江大庆实验中学高一期末)函数f(x)＝3|sin x|＋2sin x的最小正周期为(　　) A．π B. C．2π D．4π 解析：C　[由题意知f(x)＝ (k∈Z)． 画出函数图像如图所示，由图可知最小正周期为2π.] 6．(多选题)下列函数中，周期为的是(　　) A．y＝sin B．y＝sin 2x C．y＝sin 4x＋1 D．y＝sin (－4x) 解析：CD　[T＝＝.] 7．函数f(x)＝sin x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 013)＝　________　. 解析：∵f(x)＝sin x的周期T＝＝6. ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 013) ＝335[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＝ 335 ＋f(335×6＋1)＋f(335×6＋2)＋f(335×6＋3) ＝335×0＋f(1)＋f(2)＋f(3) ＝sin ＋sin π＋sin π＝. 答案： 8．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sin x，则f(x)的解析式是　________　. 解析：当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝sin(－x)＝－sin x．∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴当x＜0时，f(x)＝－sin x．∴f(x)＝sin |x|，x∈R. 答案：f(x)＝sin |x|，x∈R 9．(多空题)函数y＝2sin x＋1的图像的对称中心是　________　，对称轴方程为　________　. 解析：由正弦函数的对称性可知y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，对称轴为直线x＝＋kπ，k∈Z. y＝2sinx＋1的图像是由y＝sin x的图像向上平移一个单位，再纵坐标伸长到原来的2倍得到，故y＝2sin x＋1的对称中心为(kπ，1)，k∈Z，对称轴是直线x＝＋kπ，k∈Z. 答案：(kπ，1)，k∈Z　x＝＋kπ，k∈Z 10．求下列函数的周期： (1)y＝sin (x∈R)； (2)y＝|sin 2x|(x∈R)． 解：(1)方法一　令z＝2x＋，∵x∈R，∴z∈R. 函数f(x)＝sin z的最小正周期是2π， 就是说变量z只要且至少要增加到z＋2π， 函数f(x)＝sin z(z∈R)的值才能重复取得， 而z＋2π＝2x＋＋2π＝2(x＋π)＋，所以自变量x只要且至少要增加到x＋π，函数值才能重复取得，从而函数f(x)＝sin (x∈R)的周期是π. 方法二　f(x)＝sin的周期为＝π. (2)作出y＝|sin 2x|的图像． 所以该函数的最小正周期为. 11．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)； (2)f(x)＝. 解：(1)由得－1＜sin x＜1. 解得定义域为. ∴f(x)的定义域关于原点对称． 又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x) ∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)] ＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)． ∴f(x)为奇函数． (2)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1， ∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z. ∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数． 12．已知函数f(x)＝log|sin x|. (1)求其定义域和值域； (2)判断其奇偶性； (3)判断其周期性，若是周期函数，求其最小正周期． 解：(1)∵|sin x|＞0， ∴sin x≠0，∴x≠kπ，k∈Z. ∴函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}． ∵0＜|sin x|≤1，∴log|sin x|≥0， ∴函数的值域为{y|y≥0}． (2)函数的定义域关于原点对称， ∵f(－x)＝log|sin(－x)| ＝log|sin x|＝f(x)， ∴函数f(x)是偶函数． (3)∵f(x＋π)＝log|sin(x＋π)| ＝log|sin x|＝f(x)， ∴函数f(x)是周期函数，且最小正周期是π. 13．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－(f(x)≠0)． (1)求证：函数f(x)是周期函数． (2)若f(1)＝－5，求f(f(5))的值． 解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－， ∴f(x＋4)＝－＝－＝f(x)， ∴f(x)是周期函数，4就是它的一个周期． (2)∵4是f(x)的一个周期． ∴f(5)＝f(1)＝－5， ∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1) ＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $