7.2.3 同角三角函数的基本关系式-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

7．2.3　同角三角函数的基本关系式 课程标准 素养解读 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式 2．理解同角三角函数的基本关系式 3．能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明 1.通过同角三角函数基本关系式的推导提升学生数学抽象和逻辑推理素养 2．通过同角三角函数的基本关系式的应用，培养学生数学运算素养 对应学生用书P14 [情境引入] 1．角的三角函数的定义是什么？ 提示：sin α＝，cos α＝，tan α＝. 2．设角α的终边与单位圆位于点P(x，y)，根据三角函数的定义知y＝sin α，x＝cos α，－tan α. (1)能否根据x，y的关系得到sin α，cos α，tan α的关系？ 提示：sin2α＋cos2α＝1，tan α＝. (2)公式sin2α＋cos2α＝1与tan α＝对任意角都成立吗？ 提示：sin2α＋cos2α＝1对任意角α均成立，当α≠kπ＋，k∈Z时，tan α＝成立． [知识梳理] [知识点]　同角三角函数的基本关系　 1．同角三角函数的基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 商数关系 ＝tan α，α≠kπ＋(k∈Z) 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切. 1.“同角”一词的含义是什么？ 提示：注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立． 2．两个公式成立的条件分别是什么？ 提示：公式sin2α＋cos2α＝1对α∈R成立， 公式＝tan α适用的条件为{α|α≠＋kπ，k∈Z}． 3．对任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？ 提示：成立． 2．基本关系式的变形公式 sin2 α＋cos2α＝1⇒ tan α＝⇒ [预习自测] 1．若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　) A.　　　　 B．－ C. D．－ 解析：D　[∵sin α＝－，且α为第四象限角， ∴cos α＝＝，∴tan α＝＝－，故选D.] 2．已知sin φ＝－，且|φ|<，则tan φ＝(　　) A．－　 B.　　C．－　　D. 解析：C　[∵sin φ＝－， ∴cos2φ＝1－sin2φ＝1－(－)2＝， 又|φ|<，即－<φ<， ∴cos φ＝， 从而tan φ＝＝＝－.] 3．若sin θ＝，tan θ<0，则cos θ＝　________　. 解析：由sin θ＝>0，tan θ<0得cos θ<0， 故cos θ＝－＝－. 答案：－ 对应学生用书P15 利用基本关系式求值 [例1] 已知cos α＝－，求sin α、tan α. [思路点拨]　先由平方关系求sin α，再由商数关系求tan α. [解]　由sin2α＋cos2α＝1 得sin2α＝1－2＝2. 又因为cos α＝－<0， 所以α是第二或第三象限角． 当α在第二象限时，sin α>0， sin α＝，tan α＝＝－； 当α在第三象限时，sin α<0， sin α＝－，tan α＝＝. 求三角函数值的方法 (1)已知sin θ(或cos θ)，求tan θ常用以下方式求解 (2)已知tan θ，求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论． [变式训练] 1．已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值． 解：由tan α＝＝，得sin α＝cos α，① 又sin2α＋cos2α＝1，② 由①②，得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝. 又α在第三象限， ∴cos α＝－，sin α＝cos α＝－. 正弦、余弦的齐次式化切求值 [例2] 已知tan α＝3，求下列各式的值． (1)； (2)2sin2α－3sin αcos α. [思路点拨]　化正弦、余弦为正切，再代入正切的值求式子的值． [解]　(1)原式＝＝ ＝＝－2. (2)原式＝＝ ＝＝＝. 己知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法 (1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值． (2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值． [变式训练] 2．已知tan α＝2，则 (1)＝　________　. (2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝　________　. 解析：(1)＝＝＝－1. (2)4sin2 α－3sin αcos α－5cos2α ＝ ＝＝＝1. 答案：(1)－1　(2)1 　 三角函数的化简 [例3] 化简：·. [思路点拨]　本题中需化简的式子既有正弦、余弦，也有正切且含有根号，故解答时，可先开方，后化简，为此先“切化弦”，再构造“完全平方”后利用“平方关系”开方化简． [解]　原式＝· ＝·＝· ＝·＝±1. 三角函数式化简的关键是公式的灵活运用，要分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有： (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． [变式训练] 3．化简下列各式： (1)cos4α＋sin2α(1＋cos2α)； (2)·(1＋)·. 解：(1)原式＝cos4α＋sin2αcos2α＋sin2α ＝cos2α(cos2α＋sin2α)＋sin2α ＝cos2α＋sin2α＝1. (2)原式＝··＝··＝＝tan α. 　 利用同角三角函数关系证明 [例4] 求证：＝. [思路点拨]　等式的左边相对复杂，因此可考虑从左边向右边证明． [证明]　左边＝ ＝ ＝＝＝右边． ∴原等式成立． 三角恒等式的证明实质是弄清楚等式两边的差异，有目的的化简． (1)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简． (2)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右两边同时证． (3)常用技巧：切化弦、整体代换、“1”的代换等． [变式训练] 4．求证：＝. 证明：左边＝＝ ＝＝ ＝＝右边， ∴原等式成立． sin α±cos α与sin αcos α关系的应用 [例5] 已知0<α<π，sin α－cos α＝，求tan α. [思路点拨]　先求sin α＋cos α的值，再联立方程组，求出sin α、cos α，再求tan α. [解]　方法一：∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝， ∴sin αcos α＝>0. 又由0<α<π知sin α>0， ∴cos α>0，∴sin α＋cos α>0. ∴sin α＋cos α＝ ＝ ＝. 由得 ∴tan α＝＝. 方法二：由题意得 解得或 ∵0<α<π，∴sin α>0， ∴ ∴tan α＝＝. (1)sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：①(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α；②(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α； ③(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； ④(sinα－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcosα. (2)求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意判断它们的符号． (3)由sin2α＋cos2α＝1联立方程组也可以解得，但要注意根据角的范围取舍解，这种方法计算量较大． [变式训练] 5．已知sin α＋cos α＝，求： (1)sin αcos α；(2)sin α－cos α. 解：(1)由sin α＋cos α＝， 平方得2sin αcos α＝－， ∴sin αcos α＝－. (2)∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝， ∴sin α－cos α＝±. 对应学生用书P17 1．(多选题)若tan α＝t(t≠0)，且sin α＝－，则α可能是(　　) A．第一象限角　　　　　　 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：BC　[由tan α＝得cos α＝，所以cos α＝－<0，故α是第二、三象限角．] 2．若tan α＝2，则sin2α－cos2α的值为(　　) A. B. C. D. 解析：C　[由tan α＝2，得sin α＝2cos α，且sin2α＋cos2a＝1，所以5cos2α＝1，得cos2α＝，所以sin2α－cos2α＝.] 3．已知sin α－cos α＝，则tan α＝(　　) A．－1 B．－ C. D．1 解析：A　[将等式sin α－cos α＝两边平方，得到2sinαcosα＝－1，整理得1＋2sin αcos α＝0，即sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝0，所以(sin α＋cos α)2＝0，所以sin α＋cos α＝0， 由sin α－cos α＝和sin α＋cos α＝0， 解得sin α＝，cos α＝－， 故tan α＝＝－1.] 4．已知0≤α≤，sin αcos α＝，则sin α＋cos α＝　________　. 解析：由题意得sin α＋cos α＝＝＝. 答案： 5．求证：＝. 证明：左边＝＝ ＝ ＝＝＝＝右边，所以原等式成立． 对应学生课时P9 1．α是第四象限角，tan α＝－，sin α＝(　　) A.　　　　　 B．－ C. D．－ 解析：D　[∵tan α＝＝－，sin2α＋cos2α＝1，∴sin α＝±.α是第四象限角，∴sin α＝－.] 2．化简 sin2α＋cos4α＋sin2 αcos2 α的结果是(　　) A. B. C．1 D. 解析：C　[sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α ＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α) ＝sin2α＋cos2α＝1.] 3．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：B　[sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)·(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝2×－1＝－.] 4．若3sin α＋cos α＝0，则的值为(　　) A. B. C. D．－2 解析：A　[由3sin α＋cos α＝0，得tan α＝－. ＝＝＝＝.] 5．若θ是△ABC的一个内角，且sin θcos θ＝－，则sin θ－cos θ的值为(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：D　[由题意知θ∈(0，π)． 因为sin θcos θ＝－，所以sin θ－cos θ＞0， 即sin θ－cos θ＝＝＝.故选D.] 6．(多选题)若tan α＝3，则sin α＋2cos α＝　________　. A. B．－ C. D．－ 解析：AB　[(sin α＋2cos α)2＝sin2α＋4sin αcos α＋4cos2 α ＝＝ ＝＝. 又tan α＝3＞0，所以sin α，cos α同号，故sin α＋2cos α＝或－.] 7．已知tan α＝m，则sin α＝　________　. 解析：因为tan α＝m，所以＝m2. 又因为sin2α＋cos2α＝1， 所以cos2α＝，sin2α＝. 又因为π＜α＜， 所以sin α＜0，tan α＞0，即m＞0. 因而sin α＝－. 答案：－ 8．已知sin＝，则cos＝　________　. 解析：cos＝± ＝± ＝±. 答案：± 9．(多空题)已知tan α＝3，则 (1)＝　________　； (2)sin2α－3sin αcos α＋1＝　________　. 解析：(1)＝＝＝1； (2)sin2α－3sin αcos α＋1 ＝ ＝＝ ＝＝1. 答案：(1)1　(2)1 10．化简：(1)； (2)； (3)cos2θsin θ. 解析：(1)原式＝ ＝＝ ＝＝1. (2)原式＝＝＝cos θ. (3)原式＝cos2θsin θ ＝·cos2θsinθ＝·sin θ＝cos θ. 11．求证：＝. 证明：左边＝ ＝ ＝＝ ＝＝＝右边． ∴＝. 12．已知＝2，计算下列各式的值： (1).(2)sin2α－2sin αcos α＋1. 解析：由＝2，化简得sin α＝3cos α，所以tan α＝3. (1)原式＝＝＝. (2)原式＝＋1 ＝＋1＝＋1＝. 13．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋2m＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求： (1)m的值； (2)＋的值； (3)方程的两根及此时θ的值． 解析：(1)由一元二次方程根与系数的关系可知， sin θ＋cos θ＝，①sin θcos θ＝m.② 将①式平方，得1＋2sin θcos θ＝，所以sin θcos θ＝，代入②得m＝. (2)＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ＝. (3)由(1)得m＝，所以原方程化为2x2－(＋1)x＋＝0，解得x1＝，x2＝. 所以或 又因为θ∈(0，π)，所以θ＝或. 学科网（北京）股份有限公司 $