7.2.2 单位圆与三角函数线-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

7．2.2　单位圆 与三角函数线 课程标准 素养解读 1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切 2．能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题 通过学习三角函数线的意义及应用三角函数线解决问题，提升直观想象与数学抽象素养 对应学生用书P10 [情境引入] 江南水乡，水车在清清的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的大地，流向美丽的大自然，在水车转动的瞬间，同学们能想到些什么呢？ [问题]　将图中的水车抽象出一个数学模型，建立平面直角坐标系(如图所示)，设水车的轮廓为单位圆．在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点A(1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α与MP，OM，AT的关系吗？ 提示　sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT. [知识梳理] [知识点一]　单位圆　 1．在平面直角坐标系中，坐标满足　x2＋y2＝1　的点组成的集合称为单位圆． 2．角α的终边与单位圆的交点为P，则P的坐标为(cos α，sin α)，即角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的　横坐标　和　纵坐标　. [知识点二]　三角函数线　 1．角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，M为垂足，点A(1,0)，直线x＝1与角α终边所在直线交于点T，如图． 则角α的正弦线为　　，余弦线为　　，正切线为　　. 2．正弦线、余弦线和正切线都称为　三角函数线　. 1.三角函数线的方向是如何规定的？ 提示：方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值． 2．三角函数线的长度和方向各表示什么？ 提示：长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负． [预习自测] 1．下列四个命题中： ①当α一定时，单位圆中的正弦线一定； ②在单位圆中，有相同正弦线的角相等； ③α和α＋π有相同的正切线； ④具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上． 则错误命题的个数是(　　) A．0　 B．1　　C．2　　D．3 解析：B　[由三角函数线的定义知①③④正确，②错误．] 2．角α的终边与单位圆交于点P，则sin α－cos α等于(　　) A．－　 B．－　　C.　　D. 解析：C　[依题意cos α＝－，sin α＝， 所以sin α－cos α＝.] 3．若θ∈，则sin θ的取值范围是　________　. 解析：如图所示，作出和的正弦线，可得sin θ∈. 答案： 对应学生用书P11 三角函数线 [例1]　作出－的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求出－的正弦、余弦和正切． [思路点拨]　 作出单位圆，再作出－角． [解]　如图，作－的终边与单位圆交于点P，作PM⊥x轴，M为垂足． 直线x＝1过点A(1,0)且与－终边所在直线交于点T. 所以－的正弦线为，余弦线为，正切线为. 依题意∠POM＝， 所以MP＝，OM＝，AT＝， 所以点P坐标为(－，－)， 故sin＝－， cos＝－，tan＝. (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线． (2)作正切线时，应从点A(1,0)引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线. [变式训练] 1．在单位圆中，画出满足sin α＝的角α的终边，并求角α的取值集合． 解：已知角α的正弦值，可知MP＝，则P点纵坐标为.所以在y轴上取点(0，)，过该点作x轴的平行线，交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因而角α的取值集合为. 　　 利用三角函数比较大小 [例2]　利用三角函数线比较sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小． [思路点拨]　先作出三角函数线，再比较大小． [解]　如图，sin＝||，cos＝－||，tan＝－||，sin＝||， cos＝－||，tan＝－||. 显然||>||，符号皆正， ∴sin>sin； ||<||，符号皆负， ∴cos>cos； ||>||，符号皆负， ∴tan<tan. 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”．(2)比较三角函数线的长度．(3)确定有向线段的正负． [变式训练] 2．利用三角函数线比较：a＝sin，b＝cos，c＝tan的大小． 解：如图，在单位圆O中分别作出角的正弦线和的余弦线、正切线. 由＝π－知，＝， 又<<， 易知cosπ<sin<tan，故b<a<c. 利用三角函数线解不等式(组) [例3]　在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合． (1)sin α≥； (2)cos α≤－. [思路点拨]　在单位圆中画出角的三角函数线，观察图形即可求解． [解]　(1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围． 故满足要求的角α的集合为 . (2)作直线x＝－交单位圆于C，D两点．连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(如图(2)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围． 故满足条件的角α的集合为 . 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角函数不等式，应注意以下两点 (1)先找到“正值”区间，即0～2π内满足条件的角θ的范围，然后再加上周角的整数倍． (2)注意区间是开区间还是闭区间． [变式训练] 3．已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，若α∈[0,2π)，求α的取值范围． 解析：∵点P在第一象限内， ∴ ∴ 结合单位圆(如图所示)中三角函数线及0≤α<2π. 可知<α<或π<α<. 　　 利用三角函数线求函数的定义域 [例4]　求函数f(x)＝＋ln的定义域． [思路点拨]　在单位圆中画出三角函数线，构造不等式组求解． [解]　由题意，自变量x应满足不等式组 则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示， ∴. 求三角函数定义域时，一般应转化为求不等式(组)的解的问题．利用数轴或三角函数线是解三角不等式常用的方法．解多个三角不等式时，先在单位圆中作出使每个不等式成立的角的范围，再取公共部分． [变式训练] 4．已知函数f(α)＝＋lg(2cos α－1)，求函数f(α)的定义域． 解：依题意 即 在直角坐标系中作单位圆，如图所示， 由三角函数线可得 解集为图中阴影重叠的部分，故原不等式组的解集为. 对应学生用书P13 1．已知角α的正弦线是单位的有向线段，那么角α的终边(　　) A．在x轴上 B．在y轴上 C．在直线y＝x上 D．在直线y＝x或y＝－x上 解析：B　[依题意sin α＝1或sin α＝－1， ∴角α的终边在y轴上．] 2．有三个命题：①和的正弦线长度相等；②和的正切线相同；③和的余弦线长度相等．其中正确说法的个数为(　　) A．1　 B．2　　C．3　　D．0 解析：C　[和的正弦线关于y轴对称，长度相等； 和两角的正切线相同； 和的余弦线长度相等． 故①②③都正确，故选C.] 3．使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是(　　) A.　　　 B. C. D．[0，π] 解析： A　[如图所示，当x＝和x＝－时，sin x＝cos x，故使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是.] 4．不等式tan α＋>0的解集是　________　. 解析：不等式的解集如图所示(阴影部分)， ∴. 答案： 5．求函数y＝的定义域． 解：由题意知，自变量x应满足1－2cos x≥0， 即cos x≤， 则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示， ∴函数的定义域为 . 对应学生课时P7 1．对于三角函数线，下列说法正确的是(　　) A．对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在 C．任意角的正弦线、正切线总是存在的，但余弦线不一定存在 D．任意角的正弦线、余弦线总是存在的，但正切线不一定存在 解析：D　[终边在y轴上的角的正切线不存在，故A、C不正确；对任意角都能作出正弦线、余弦线，故B不正确；D显然正确．] 2．如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于P(x，y)，则(　　) A．sin α＝y　　　　　 B．cos α＝－x C．tan α＝(x≠0) D．sin α＝－y 解析：AC 3．已知MP，OM，AT分别是60°角的正弦线、余弦线和正切线，则(　　) A．MP＜OM＜AT B．OM＜MP＜AT C．AT＜OM＜MP D．OM＜AT＜MP 解析：B　[当α＝60°时， 因为0°＜α＜90°时，sin α＜α＜tan α， 所以tan 60°＞sin 60°. 又因为α＞45°时，sin α＞cos α，所以sin 60°＞cos 60°， 所以OM＜MP＜AT.所以应选B.] 4．在[0,2π]上满足cos x≥的x的取值范围是(　　) A.∪ B.∪ C. D. 解析：A　[如图所示， 在x轴正半轴上取OM＝，过点M作x轴的垂线交单位圆于A，B两点，由图可知满足cos x≥的角x的范围如图所示中阴影部分所示．因为x∈[0,2π]，所以x的取值范围是∪.] 5．cos 1，sin 1，tan 1的大小关系是(　　) A．sin 1＜cos 1＜tan 1 B．tan 1＜sin 1＜cos 1 C．cos 1＜tan 1＜sin 1 D．cos 1＜sin 1＜tan 1 解析：D　[分析1弧度角的范围，作出单位圆及三角函数线，如图所示， 设1弧度角的终边与单位圆交于点P(x，y)，x轴正半轴与单位圆交于点A(1,0)，过P作PM⊥Ox，垂足为M，过A作单位圆的切线与OP的延长线交于点T，则有OM＜MP＜AT，即cos 1＜sin 1＜tan 1.] 6．(多选题)如图，α，β的终边关于y轴对称，则下面关系式正确的是　________　. A．sin α＝sin β B．sin α＝－sin β C．cos α＝cos β D．cos α＝－cos β 解析：AD　[可以从三角函数线看，α，β的正弦线分别为M1P1，M2P2，它们是相等的；α，β的余弦线分别为OM1，OM2，它们是相反的．] 7．若－＜α＜－，则sin α，cos α，tan α的大小关系是　________　. 解析：如图所示，在单位圆中，作出－＜α＜－内的一个角及其余弦线、正弦线、正切线，，. 由图知，＜＜， ∴－＜－＜，即sin α＜cos α＜tan α. 答案：sin α＜cos α＜tan α 8．不等式tan α＋＞0的解集是　________　. 解析：不等式的解集如图所示(阴影部分)， ∴. 答案： 9．(多空题)利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“＞”或“＜”连接)： (1)sin 　________　sin； (2)cos　________　cos； (3)tan　________　tan. 解析：作出和的三角函数线，如图所示． 根据三角函数线得： sin＝MP＞sin＝M′P′； cos＝OM＞cos＝OM′； tan＝AT＜tan＝AT′. 答案：(1)＞　(2)＞　(3)＜ 10．利用三角函数线比较a＝sin ，b＝cos ，c＝tan 的大小． 解：如图，在单位圆O中分别作出角的正弦线M1P1和的余弦线OM2、正切线AT.由＝π－知M1P1＝M2P2， 又＜＜，易知AT＞M2P2＞OM2， ∴cos π＜sin ＜tan ，故b＜a＜c. 11．求函数y＝logsin x(2cos x＋1)的定义域． 解：由题意得，要使函数有意义，则须 如图所示， 阴影部分(不含边界与y轴)即为所求． 所以所求函数的定义域为 . 12．利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合． (1)tan α＝－1；(2)sin α＜－；(3)cos α≥. 解：(1)如图(1)所示，过点(1，－1)和原点作直线，交单位圆于点P和P′，则角α的终边在直线PP′上，所以满足条件的角α的集合是. (2)如图(2)所示，过点作x轴的平行线，交单位圆于点P和P′，连接OP，OP′，则sin ∠xOP＝sin ∠xOP′＝－，所以∠xOP＝π，∠xOP′＝π， 所以满足条件的角α的集合是 . (3)如图(3)所示，过点作x轴的垂线，与单位圆交于点P和P′，则∠xOP＝，∠xOP′＝－. 所以满足条件的角α的集合是 . 13．利用三角函数线证明：若0＜α＜β＜，则β－α＞sin β－sin α. 证明：如图所示，单位圆O与x轴正半轴交于点A， 与角β，α的终边分别交于点P，Q，过点P，Q分别作OA的垂线，垂足分别是M，N，则sin α＝||，sin β＝||.过点Q作QH⊥MP于H，则||＝|－||＝sin β－sin α.连接PQ，由图可知||＜＝－＝β－α，即β－α＞sin β－sin α. 学科网（北京）股份有限公司 $