7.2.1 三角函数的定义-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

7．2　任意角的三角函数 7．2.1　三角函数的定义 课程标准 素养解读 1.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 2．掌握三角函数在各象限的符号 通过学习三角函数的定义培养学生直观想象和数学抽象素养 对应学生用书P8 [情境引入] 根据三角函数的定义，各个三角函数值是用单位圆上点的坐标表示的，当角在不同象限时，其与单位圆的交点坐标的符号就不同，因此其各个三角函数值的正负就不同，你能推导出sin α，cos α，tan α在不同象限内的符号吗？ 提示：当α在第一象限时，sin α>0，cos α>0，tan α>0；当α在第二象限时，sin α>0，cos α<0，tan α<0；当α在第三象限时，sin α<0，cos α<0，tan α>0；当α在第四象限时，sin α<0，cos α>0，tan α<0. [知识梳理] [知识点一]　利用角α终边上一点的坐标定义三角函数　 　如图所示，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r， 则sin α＝　　，cos α＝　　，tan α＝　　. 其中r＝ 1.终边在坐标轴的角α的三角函数值分别是什么？ 提示：α终边在x轴非负半轴时，sin α＝0， cos α＝1，tan α＝0； α终边在y轴非负半轴时，sin α＝1，cos α＝0，tan α不存在； α终边在x轴非正半轴时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0； α终边在y轴非正半轴时，sin α＝－1，cos α＝0，tan α不存在． 2．对于确定的角α，请问三角函数的结果会随点P在α终边上的位置的改变而改变吗？ 提示：不会．三角函数也是函数，是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定． [知识点二]　三角函数值的符号　 (1)图形表示： 正弦：　一二　象限正，　三四　象限负； 余弦：　一四　象限正，　二三　象限负； 正切：　一三　象限正，　二四　象限负． (2)记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (3)本质：三角函数值在各个象限内的符号，是根据单位圆与角的终边在各个象限内的交点坐标的符号决定的． (4)应用：根据三角函数值在各个象限内的符号，可以在不求三角函数值的情况下，判断三角函数的正负． 3.三角函数在各象限的符号由什么决定？ 提示：由三角函数定义可知，三角函数在各象限的符号由角α 终边上任意一点的坐标来确定． [预习自测] 1．已知角α的终边与单位圆的交点为P(，－)，则tan α＝(　　) A.　　　　　　 B．－ C. D．－ 答案：B 2．若sin α<0且tan α>0，则α在(　　) A．第一象限　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 3．角α的终边经过点P(－b,4)且cos α＝－，则b的值为(　　) A．3　　　　　　　 B．－3 C．±3 D．5 解析：A　[r＝，cos α＝＝ ＝－.所以b＝3.] 对应学生用书P9 用定义求三角函数值 [例1] 已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值． [思路点拨]　根据点P的坐标，求出点P到原点O的距离|OP|，再根据定义求出sin α，cos α的值，计算时要注意讨论a的正负． 解析：因为点P的坐标为(－3a,4a)(a≠0)，原点为O， 所以r＝|OP|＝＝5|a|. ⅰ.当a>0时，则r＝5a，角α在第二象限，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，所以2sin α＋cos α＝－＝1. ⅱ.当a<0时，则r＝－5a，角α在第四象限， sin α＝＝－，cos α＝＝， 所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1. 综上所述，2sin α＋cos α＝±1. 已知角α的终边上一点P(x，y)，求三角函数值时，先求r＝|OP|(O为原点)，再根据定义sin α＝，cos α＝，tan α＝确定三角函数值． 若条件中含有参数，要注意对参数进行分类讨论． [变式训练] 1．已知角α的终边上一点P(m，)，且cos α＝，则m＝　________　. 解析：由题意得x＝m，y＝，∴r＝|OP|＝， ∴cos α＝＝＝，很明显m>0， 解得m＝. 答案： 三角函数概念的综合应用 [例2] 已知角α的终边在直线y＝2x上，求sin α，cos α，tan α的值． [思路点拨]　注意讨论角的终边所在象限． 解析：在直线y＝2x上任取一点P(t,2t)(t≠0) 则r＝＝|t|. ①若t>0时，则r＝t，从而sin α＝＝， cos α＝＝，tan α＝＝2. ②若t<0，则r＝－t， 从而sin α＝＝－，cos α＝＝－，tan α＝＝2. 已知角α的终边在直线(或射线)上的问题时，常用的解题方法 第一步，取点，在角α的终边上任取一点P(x，y)，(P与原点不重合)， 第二步，计算r：r＝|OP|＝， 第三步，求值：由sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)求值． [变式训练] 2．若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，又P(m，n)是α终边上一点，且OP＝，则m－n＝　________　. 解析：因为y＝3x，sin α<0，所以点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图像上，且m<0，n<0，n＝3m. 所以OP＝＝|m|＝－m＝. 所以m＝－1，n＝－3，所以m－n＝2. 答案：2 三角函数的符号 [例3] 判定下列各式的符号： (1)tan 191°－cos 191°； (2)sin 2cos 3tan 4. [思路点拨]　角的大小确定了，所在的象限就确定了，三角函数值的符号也就确定了，因此只需确定角所在象限，即可进一步确定各式的符号． [解]　(1)∵191°是第三象限角， ∴tan 191°>0，cos191°<0， ∴tan 191°－cos 191°>0. (2)∵<2<π，<3<π，π<4<， ∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角． ∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0. ∴sin 2cos 3tan 4<0. 1．判断三角函数值正负的两个步骤 (1)定象限：确定角α所在的象限． (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正二正弦，三正切，四余弦”来判断． 提醒：若sin α>0，则α的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y轴的非负半轴上． 2．正弦、余弦函数值的正负规律 [变式训练] 3．判断下列各式的符号： (1)tan 120°sin 269°； (2)cos 4tan(－)． 解析：(1)因为120°角是第二象限角， 所以tan 120°<0. 因为269°角在第三象限内，所以sin 269°<0. 所以tan 120°sin 269°>0. (2)因为π<4<，所以4弧度角是第三象限角， 所以cos 4<0，因为－＝－6π＋， 所以－是第一象限角，所以tan(－)>0， 所以cos 4tan(－)<0. 对应学生用书P10 1．如果α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，那么sinα＝(　　) A.　　　　　　　 B．－ C. D．－ 解析：D　[依题意可知点(2sin 30°，－2cos 30°)，即(1，－)，则r＝＝2，因此sin α＝＝－.] 2．若sin θ<0，cos θ<0，则是(　　) A．第二象限角 B．第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角 解析：C　[由sin θ<0，cos θ<0知π＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z. ∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z. ∴是第二或第四象限角．] 3．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝　________　. 解析：因为sin θ＝＝－， 所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8. 答案：－8 4．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)且sin α>0， cos α≤0，则实数α的取值范围是　________　. 解析：因为点(3a－9，a＋2)在角α的终边上，sin α>0，cos α≤0，所以解得－2<a≤3. 答案：－2<a≤3 5．已知角α的终边过点P(5，a)，且tan α＝－，求sin α＋cos α的值． 解析：根据三角函数的定义，tan α＝＝－，所以a＝－12，所以P(5，－12)，r＝13，所以sin α＝－，cos α＝，从而sin α＋cos α＝－. 对应学生课时P5 1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝(　　) A.　　　　　　　　　 B. C．－ D．－ 解析：D　[直接利用任意角的三角函数的定义求解．因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x＝－4，y＝3，r＝5，所以cos α＝＝－.] 2．如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于(　　) A. B．－ C．－ D．－ 解析：C　[由题意得P(1，－)，它与原点的距离r＝＝2，∴sin α＝－.] 3．已知角α的终边过点P(－4,3)，则2sin α＋tan α的值是(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：B　[∵角α的终边经过点P(－4,3)，∴r＝|OP|＝5. ∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.∴2sin α＋tan α＝2×＋＝.故选B.] 4．当α为第二象限角时，－的值是(　　) A．1 B．0 C．2 D．－2 解析：C　[∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0. ∴－＝－＝2.] 5．使得lg(cos αtan α)有意义的角α是(　　) A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 解析：A　[要使原式有意义，必须cos αtan α＞0，即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角．] 6．(多选题)若角α的终边在直线y＝－2x上，则sin x等于(　　) A. B. C. D．－ 解析：CD　[在α的终边上任取一点P(－1,2)，则r＝＝，所以sin α＝＝＝.或者取P′(1，－2)，则r＝＝，所以sin α＝＝－＝－.] 7．若角α的终边经过点P，则sin αtan α的值是　________　. 解析：∵点P在角α的终边上，∴sin α＝－，tan α＝－，∴sin α·tan α＝. 答案： 8．已知角α的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cos α＝－，则实数a＝　________　. 解析：由余弦函数的定义知，＝－.化简并整理，得11a2＋20a－4＝0.解得a＝－2或a＝，又因为2a＋1＜0，所以a＝－2. 答案：－2 9．已知tan x＞0，且sin x＋cos x＞0，那么角x是第　________　象限角． 解析：∵tan x＞0，∴x是第一或第三象限角． 又∵sin x＋cos x＞0，∴x是第一象限角． 答案：一 10．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，角α的终边经过点P(4，－3)，求sin α，cos α，tan α. 解析：由x＝4，y＝－3，得 r＝|OP|＝＝5. 故sin α＝＝－，cos α＝，tan α＝＝－. 11．判断下列各式的符号： (1)sin 340°·cos 265°. (2)sin 4·tan. 解析：(1)因为340°是第四象限角，265°是第三象限角， 所以sin 340°＜0，cos 265°＜0， 所以sin 340°·cos 265°＞0. (2)因为π＜4＜，所以4是第三象限角， 因为－＝－6π＋， 所以－是第一象限角． 所以sin 4＜0，tan＞0， 所以sin 4·tan＜0. 12．已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值． 解：由题意知，cos α≠0. 设角α的终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则x＝k，y＝－3k，r＝＝|k|. (1)当k＞0时，r＝k，α是第四象限角， sin α＝＝＝－， ＝＝＝， ∴10sin α＋＝10×＋3 ＝－3＋3＝0. (2)当k＜0时，r＝－k，α为第二象限角， sin α＝＝＝， ＝＝－＝－， ∴10sin α＋＝10×＋3×(－) ＝3－3＝0. 综上所述，10sin α＋＝0. 13．已知点M是圆x2＋y2＝1上的点，以射线OM为终边的角α的正弦值为－，求cos α和tan α的值． 解析：设点M的坐标为(x1，y1)．由题意，可知sin α＝－，即y1＝－.因为点M在圆x2＋y2＝1上， 所以x＋y＝1， 即x＋2＝1， 解得x1＝或－. 所以cos α＝或cos α＝－， 所以tan α＝－1或tan α＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $