7.1.2 弧度制及其与角度制的换算-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

7．1.2　弧度制及其与角度制的换算 课程标准 素养解读 1.理解弧度的角的定义，了解弧度制的概念，能进行角度与弧度之间的互化 2．体会引入弧度制的必要性 3．理解弧度制下弧长与面积公式 通过学习弧度制的有关概念及表示，重点培养学生的数学抽象、直观想象素养 对应学生用书P5 [情境引入] 1．在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？ 提示：周角的等于1度． 2．在我们度量长度时，有时用“米”作单位，有时用“尺”作单位，有不同的单位制，度量质量时，可以使用“千克”“磅”等不同的单位制，角的度量除了角度制之外，是否也有不同的单位制呢？ 提示：有不同的单位制，即弧度制． [知识梳理] [知识点一]　度量角的单位制　 1．角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制，规定周角的　　等于1度，记作1°. 2．弧度制 (1)弧度制的定义 长度等于　半径长　的弧所对的　圆心角　叫作1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度． 以弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制． (2)任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个　正数　；负角的弧度数是一个　负数　；零角的弧度数是　0　. (3)角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝　　. 1.1弧度的定义中，1弧度的角的大小与圆的半径是否有关系？ 提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的．所以1弧度的角的大小与圆的半径无关． [知识点二]　角度与弧度的换算　 1．角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝　2π　 rad 2π rad＝　360°　 180°＝π rad π rad＝　180°　 1°＝　　 rad≈ 　0.017_45　 rad 1 rad＝　°　 ≈　57.30°　 2.常用特殊角在两种制度下的对应关系 度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150° 弧 度 0 度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧 度 π 2π 2.角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们之间换算的关键是什么？ 提示：计算时，我们要特别注意π rad＝180°，用这个公式进行互化即可． 3．－30°转化为弧度是多少弧度？转化为角度是多少度？ 提示：－　120°. [知识点三]　扇形的弧长及面积公式　 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α(n°)，则 　　　度量单位 类别　　　 n为角度制 (0°<n°<360°) α为弧度制 (0<α<2π) 扇形的弧长 l＝　　 l＝　αR　 扇形的面积 S＝　　 S＝　lR　＝　αR2　 4.在弧度制下，扇形的弧长公式与面积公式中有四个量α、R、l、S，根据公式已知几个量可以求其他量呢？ 提示：知二求二． 5．你认为式子|α|＝中，比值与所取的圆的半径大小是否有关？ 提示：与半径大小无关，一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的． [预习自测] 1．下列语句正确的是(　　) A．一弧度是一度的圆心角所对的弧 B．一弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆周角 C．一弧度的圆心角所对的弧长为1 D．一弧度的圆心角所夹弧长等于半径 答案：D 2．下列各式正确的是(　　) A．π＝180　　　　　　　 B．π＝3.14 C．90°＝ rad D．1 rad＝π 答案：C 3．已知扇形的圆心角为60°，半径为2，则扇形的弧长为　________　，扇形的面积为　________　. 解析：扇形的圆心角为α＝60°＝，故弧长为l＝，面积为S＝××22＝. 答案：　 对应学生用书P6 角度制与弧度制的换算 [例1] (1)把202°30′化成弧度； (2)把－π化成角度； (3)已知α＝15°，β＝，γ＝1rad，θ＝105°，φ＝，试比较α、β、γ、θ、φ的大小． [思路点拨]　第(1)(2)小题可直接利用1°＝ rad，1 rad＝°进行转化，第(3)小题可先统一单位，由于用弧度表示的角较多，可统一为弧度，再根据实数大小进行比较． [解]　(1)202°30′＝202.5°＝°×＝π. (2)－π＝－π×°＝－75°. (3)方法一(化为弧度)：α＝15°＝15×＝， θ＝105°＝105×＝. 显然<<1<.故α<β<γ<θ＝φ. 方法二(化为角度)： β＝＝×°＝18°，γ＝1≈57.30°， φ＝×°＝105°. 显然，15°<18°<57.30°<105°.故α<β<γ<θ＝φ. 1．角度与弧度的理解 (1)引入弧度制后，角的集合与实数集建立了一一对应关系． (2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任意非零角，单位不同，数量也不同． (3)牢记180°＝π rad，充分利用其进行角度制与弧度制互化． (4)角度的单位“∘”不可省略，而弧度的单位“rad”可以省略． (5)在同一个式子中，角度、弧度不能混合使用． 2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于抓住“π＝180°”这一关系，由它可以得：度数×＝弧度数，弧度数×°＝度数，同时还要牢记一些特殊角的度数与弧度数的对应关系． 3．将角度化为弧度，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一化为“度”表示，再利用“1°＝ rad”化为弧度即可． [变式训练] 1．将下列角度与弧度进行互化： (1)π；(2)－；(3)10°；(4)－855°. 解：(1)π＝×°＝15 330°. (2)－＝－×°＝－105°. (3)10°＝10×＝. (4)－855°＝－855×＝－. 　 用弧度制表示任意角 [例2] 用弧度制表示终边在坐标轴上的角的集合． [思路点拨]　先表示出终边在x轴、y轴上的角的集合，再求它们的并集． [解]　角的终边在x轴上的角的集合为，角的终边在y轴上的角的集合为， ∴角的终边在坐标轴上的角的集合为 {α|α＝kπ，k∈Z}∪＝ ∪ ＝. 1．弧度制下角的集合表示 可联想角度制下的角的集合表示，再转化为弧度制，求象限角、区域角．难点是区间合并时，要作到准确无误．如本题中，前一集合是以的偶数倍表示，后一集合是以的奇数倍表示，两者合并，即用的整数倍表示． 2．用弧度制表示终边相同角的两个关注点 (1)用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍． (2)还要注意角度制与弧度制不能混用． [变式训练] 2．已知α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－. (1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限． (2)将β1，β2用角度制表示出来，并在[－720°，－180°]内找出与它们终边相同的所有角． 解析：(1)α1＝－570°＝－＝－＝－2×2π＋，α2＝750°＝＝＝2×2π＋. 故α1＝－，α2＝，α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限． (2)β1＝＝×180°＝108°， β2＝－＝－×180°＝－60°. 设θ1＝108°＋k1·360°(k1∈Z)， θ2＝－60°＋k2·360°(k2∈Z)， 令－720°≤θ1≤－180°，－720°≤θ2≤－180°， 即－720°≤108°＋k1·360°≤－180°(k1∈Z) －720°≤－60°＋k2·360°≤－180°(k2∈Z) 得k1＝－2或k1＝－1，k2＝－1. 故在[－720°，－180°]内，与β1终边相同的角是－612°和－252°，与β2终边相同的角是－420°. 　 扇形的弧长公式及面积公式 [例3] 已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为.求： (1)这个圆心角所对的弧长； (2)这个扇形的面积． [思路点拨]　利用弧长公式和面积公式直接求解． [解]　(1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为，所以半径r＝＝， 所以这个圆心角所对的弧长l＝×＝. (2)由(1)得扇形的面积S＝××＝. 关于弧度制下扇形问题的解决方法 (1)三个公式：|α|＝，S＝lr＝αr2，要恰当选择公式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方程(组)求值． (2)弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长(面积)，利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值求解． [变式训练] 3．(1)弧长为3π.圆心角为135°的扇形的半径为　________　，面积为　________　. 解析：因为135°＝＝，所以扇形的半径为＝4，面积为×3π×4＝6π. 答案：4　6π (2)已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，所以l＝40－2r， 所以S＝lr＝×(40－2r)r＝－(r－10)2＋100. 所以当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，这时θ＝＝＝2 rad. 对应学生用书P8 1．已知α＝－3 rad.则α是(　　) A．第一象限角　　　　 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：C　[∵－π<－3 rad<－，∴－3 rad是第三象限角．] 2．将－300°化为弧度数为(　　) A．－π B．－π C．－π D．－ 解析： B　[－300°＝－300×＝－.] 3．角是第　________　象限角． 解析：∵＝＋4π，∴与终边相同， ∴是第一象限角． 答案：一 4.如图，扇形AOB的面积是1，它的弧长是2，则扇形的圆心角α的弧度数为　____________　；弦AB的长为　________　. 解析：设扇形半径为r，则 ∴AB的长为2rsin＝2sin 1. 答案：2　2sin 1 5．已知α＝－800°. (1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈(－，)． 解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝π， ∴α＝－800°＝＋(－3)×2π. ∵α与角终边相同，∴α是第四象限角． (2)∵与α终边相同的角可写为2kπ＋，k∈Z的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2kπ＋，k∈Z. 又γ∈(－，)，∴－<2kπ＋<，k∈Z， 解得k＝－1，∴γ＝－2π＋＝－. 对应学生课时P3 1．把50°化为弧度为(　　) A．50　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：B　[50°＝50×＝.] 2．若α＝－10，则α为(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三角限角 D．第四角限角 解析：B　[∵－10＜－3π且－10＞－3π－， ∴α的终边在第二象限，故选B.] 3．扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是(　　) A．16π　 B．32π　　C．16　　D．32 解析：C　[弧长l＝2r，∴4r＝16，r＝4，得l＝8，即S＝lr＝16.] 4．终边与坐标轴重合的角α的集合是(　　) A．{α|α＝2kπ，k∈Z} B．{α|α＝kπ，k∈Z} C．{α|α＝，k∈Z} D．{α|α＝＋kπ，k∈Z} 解析：C　[特值法：令k＝0,1,2,3可知选C.] 5．如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为(　　) A. B．sin 0.5 C．2sin 0.5 D．tan 0.5 解析：A　[连接圆心与弦的中点(图略)，则弦心距．弦长的一半、半径构成一个直角三角形、弦长的一半为1，弦所对的圆心角也为1，所以圆的半径为，所以该圆心角所对的弧长为1×＝，故选A.] 6．(多选题)下列说法中错误的是　________　. A．弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一对应的关系； B．1弧度是长度为半径长的弧； C．1弧度是长度等于半径长的圆弧所对圆心角的大小； D．用弧度作角的单位仅能表示正角． 解析：BD　[由弧度制的定义知AC正确，B错误；用弧度作单位不仅可以表示正角，也可以表示负角与零角，D错误．] 7．把化为度为　________　. 解析：＝×°＝80°. 答案：80° 8．时钟从6时50分走到10时40分，这时分针旋转了　________　弧度． 解析：时钟共走了3小时50分钟，分钟旋转了－＝－. 答案：－ 9．(多空题)已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角分别为　________　，　________　. 解析：设这两个角为α，β弧度，不妨设α＞β， 则 答案：＋；－ 10．把下列角化为2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式： (1)；(2)－315°. 解析：(1)因为0≤＜2π，所以＝4π＋. (2)－315°＝－315×＝－＝－2π＋. 因为0≤＜2π，所以－315°＝－2π＋. 11．已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10. (1)求弦AB所对的圆心角α(0＜α＜π)的大小； (2)求圆心角α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S. 解：(1)因为圆O的半径为10，弦AB的长为10， 所以△AOB为等边三角形，所以α＝∠AOB＝. (2)α＝，所以l＝αr＝， S扇形＝lr＝××10＝. 又因为S△AOB＝×10×10×＝25， 所以S＝S扇形－S△AOB＝－25＝50 12．已知α＝1 690°， (1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式； (2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)． 解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋π. (2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋π(k∈Z)． 又θ∈(－4π，4π)，∴－4π＜2kπ＋π＜4π. 解得－＜k＜(k∈Z)，∴k＝－2，－1,0,1. ∴θ的值是－π，－π，π，π. 13．(1)已知扇形的周长为20 cm，面积为9 cm2，求扇形圆心角的弧度数． (2)一个扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积． 解：(1)设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，圆心角为θ，则l＋2r＝20，∴l＝20－2r. 又∵lr＝9，即(20－2r)r＝9，∴r2－10r＋9＝0， 即(r－1)(r－9)＝0，∴r1＝1，r2＝9. 当r＝1时，l＝18，则θ＝＝18＞2π(舍去)，当r＝9时，l＝2，则θ＝＝，即扇形圆心角的弧度数为. (2)设扇形的半径为r cm，则弧长为l＝(20－2r)cm. 由0＜l＜2πr，得0＜20－2r＜2πr，∴＜r＜10. 于是扇形的面积为S＝(20－2r)r＝－(r－5)2＋25. 当r＝5时，l＝10，α＝2，S取到最大值，此时最大值为25 cm2. 故当扇形的圆心角α等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是25 cm2. 学科网（北京）股份有限公司 $