7.1.1 角的推广-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

7．1　任意角的概念与弧度制 7．1.1　角的推广 课程标准 素养解读 1.了解角的概念 2．掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义 3．熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角 1.根据角的概念培养数学直观和逻辑推理素养 2．通过学习终边相同的角，象限角提升数学建模素养 对应学生用书P1 [情境引入] 1．当钟表慢了(或快了)一点时，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确，在调整的过程中，分针转动的方向是否相同？ 提示：不同，当钟表慢了，要顺时针转动分针，当钟表快了，要逆时针转动分针． 2．在跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻转两周半”等动作，做上述动作时，运动员转体多少度？转过的度数还能用0°到360°的角表示吗？ 提示：因为运动员转体方向有顺时针、逆时针的不同，因此运动员“转体两周”的度数可以是顺时针旋转720°或逆时针旋转720°，“向前翻转两周半”可以是顺时针旋转900°或逆时针旋转900°.显然这些角都不在0°～360°，不能用0°到360°的角表示． [知识梳理] [知识点一]　任意角的概念　 1．角的概念 角可以看成平面内　一条射线　绕着它的　端点　旋转所成的图形． 2．角的表示 如图，①始边：射线的　起始　位置OA； ②终边：射线的　终止　位置OB； ③顶点：射线的端点O； ④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”． 3．角的分类 名称 定义 图形 正角 一条射线绕其端点按　逆时针　方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按　顺时针　方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作　任何　旋转形成的角 1.当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？ 提示：不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)并没有确定，所以角也就不能确定． 2．你能说出角的三要素吗？ 提示：角的三要素是顶点、始边、终边． 3．正角、负角、零角是根据什么区分的？ 提示：根据组成角的射线的旋转方向． 4．如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？ 提示：不一定，零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的角不一定是零角，如360°，－360°等，角的大小不是根据始边、终边的位置，而是根据射线的旋转． [知识点二]　平面直角坐标系中的任意角　 1．象限角 在平面直角坐标系中，若角的顶点与　原点　重合，角的始边与　x　轴的非负半轴重合，那么，角的　终边　在第几象限，就说这个角是第几　象限角　；如果角的终边在　坐标轴上　，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．各象限角的集合 象限角 象限角α的集合表示 第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z} 第二象限角 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z} 第三象限角 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z} 第四象限角 {α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z} 3.终边落在坐标轴上的角 终边落在x轴的非负半轴上的角的集合 {α|α＝k·360°，k∈Z} 终边落在x轴的非正半轴上的角的集合 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} 终边落在x轴上的角的集合 {α|α＝k·180°，k∈Z} 终边落在y轴的非负半轴上的角的集合 {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z} 终边落在y轴的非正半轴上的角的集合 {α|α＝k·360°＋270°.k∈Z} 终边落在y轴上的角的集合 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z} 终边落在坐标轴上的角的集合 {α|α＝k·90°，k∈Z} 4.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝　{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}　，即任一与角α终边相同的角都可以表示成角α与　整数个周角　的和． 5．对终边相同的角的理解 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成一个集合，它们彼此相差k·360°(k∈Z)，即S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． (1)终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合． (2)α是任意角且k为整数． (3)k·360°与α之间用“＋”号连接． (4)终边相同的角的表示形式不唯一，如{x|x＝k·360°－90°，k∈Z}与{x|x＝k·360°＋270°，k∈Z}均表示终边在y轴的非正半轴上的角的集合． 5.相等的角终边一定相同吗？不相等的角终边一定不同吗？ 提示：相等的角终边一定相同；不相等的角终边可能相同，也可能不同． 6．角β＝α＋k·720°，k∈Z，β与α终边相同吗？ 提示：β＝α＋2k·360°，故β与α 终边相同． 7．把一个角放在平面直角坐标系中时，这个角是否一定就是某一个象限的角？ 提示：不一定．因为象限角是指的当角的始边与x轴的非负半轴重合时，终边在哪个象限，我们就说这个角是第几象限角．如果一个角的终边在坐标轴上时，我们认为这个角不在任何象限内，又叫轴线角． 8．若角α，β满足S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z)时，角α，β是否是终边相同的角？ 提示：当角α，β满足S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}时，表示角α与β相隔整数个周角，即角α，β终边相同． [预习自测] 1．下列各命题正确的是(　　) A．终边相同的角一定相等 B．第一象限角都是锐角 C．锐角都是第一象限角 D．小于90°的角都是锐角 答案：C 2．－1 060°的角终边落在(　　) A．第一象限　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：A　[因为－1 060°＝－3×360°＋20°，所以－1 060°的角终边落在第一象限．] 3．在(－360°，0°)内与角1 250°终边相同的角是　________　. 解析：与1 250°角的终边相同的角α＝1 250°＋k·360°， ∵－360°<α<0°，∴－<k<－， ∵k∈Z，∴k＝－4，∴α＝－190°. 答案：－190° 对应学生用书P2 任意角的概念 [例1] (1)下列结论： ①三角形的内角必是第一、二象限角； ②始边相同而终边不同的角一定不相等； ③小于90°的角是第一象限角； ④钝角比第三象限角小； ⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角． 其中正确的结论为　________　(填序号)． [思路点拨]　利用任意角的概念判断． [解析]　①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确； ②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确； ③小于90°的角可以是0°角，也可以是负角，故③不正确； ④钝角大于－100°，而－100°的角是第三象限角，故④不正确； ⑤0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤不正确． [答案]　② (2)若钟表的时针走过了2小时40分，则分针转过的角度为(　　) A．80°　　　　　　　　 B．－80° C．960° D．－960° 解析：D　[∵40÷60＝，∴360°×＝240°.∵分针是顺时针旋转，∴时针走过2小时40分，分针转过的角的度数为－2×360°－240°＝－960°，故选D.] 理解与角的概念有关问题的关键 关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需要举一个反例即可． [变式训练] 1．给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为(　　) A．1　 B．2　　 C．3　　 D．4 解析：D　[①－15°在第四象限； ②180°<185°<270°在第三象限； ③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°在第二象限； ④－350°＝－360°＋10°是第一象限角． 所以四个结论都是正确的．] 　 终边相同的角 [例2] 已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°. [思路点拨]　解答本题(1)用α除以360°，使余数为正，且使余数在[0°，360°)即可；(2)根据终边相同角的定义，用公式α＋k·360°列不等式求解． [解]　(1)∵－1 910°÷360°＝－6余250°， ∴－1 910°＝－6×360°＋250°， ∴β＝250°，从而α＝－6×360°＋250°是第三象限角． (2)令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)， ∵－720°≤θ<0°， ∴－720°≤250°＋k·360°<0°， 即－≤k<－. ∵k∈Z，∴k＝－1或－2. 即250°＋(－1)·360°＝－110°， 250°＋(－2)·360°＝－470°. ∴θ＝－110°或θ＝－470°. 1．终边落在直线上的角的集合的步骤 (1)写出在0°～360°范围内相应的角． (2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合． (3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁． 2．终边相同角常用的三个结论 (1)终边相同的角之间相差360°的整数倍． (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍． (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍． [变式训练] 2．在与530°角终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)在区间[－720°，－360°)内的角． 解析：与530°角终边相同的角为k·360°＋530°，k∈Z. (1)由－360°<k·360°＋530°<0°且k∈Z，可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°. (2)由0°<k·360°＋530°<360°且k∈Z，可得k＝－1，故所求的最小正角为170°. (3)由－720°≤k·360°＋530°<－360°且k∈Z，可得k＝－3.故所求的角为－550°. 区间角 [例3] 设A＝{α|90°＋k·360°≤α≤180°＋k·360°，k∈Z}，B为终边在如图所示阴影部分中的角的集合，求A∩B. [思路点拨]　先写出集合B，再求A∩B. [解]　图中的阴影部分表示终边由－45°逆时针旋转到120°的所有角，故B＝{α|－45°＋k·360°<α<120°＋k·360°，k∈Z}(注意不含边界)， 又∵A＝{α|90°＋k·360°≤α≤180°＋k·360°，k∈Z}， ∴A∩B＝{α|90°＋k·360°≤α<120°＋k·360°，k∈Z}． 区间角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步： (1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； (2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，注意，若含边界，则不等式中应带“＝”； (3)起始、终止边界对应角α、β，再加上360°的整数倍，即得区间角集合． [变式训练] 3.如图，角α终边在图中阴影部分，试指出角α的范围． 解：与30°角的终边在一条直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，与180°－75°＝105°角的终边在一条直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，在图中阴影部分的角α的范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}． 　　　 象限角的判断 [例4] 已知α为第二象限角，问2α，分别是第几象限角？ [思路点拨]　由角α为第二象限角，可以写出α的范围：90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，在此基础上可以写出2α，的范围，进而可以判断出它们所在的象限． [解]　∵90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z ∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°.k∈Z ∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角． 同理45°＋·360°<<90°＋·360°. 当k为偶数时，不妨令k＝2n，n∈Z，则45°＋n·360°<<90°＋n·360°，此时，为第一象限角； 当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z，则225°＋n·360°<<270°＋n·360°，此时，为第三象限角． ∴为第一或第三象限角． (1)解决此类问题，要先确定α的范围，进一步确定出nα或的范围，再根据k与n的关系进行讨论． (2)一般地，要确定所在的象限，可以作出n等分各个象限的从原点出发的射线，它们与坐标轴把周角等分成4n个区域，从x轴的正半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上号码1、2、3、4，则标号是几的区域，就是α为第几象限角时，终边可能落在的区域，所在的象限就可直观地看出． 例如，已知角α所在的象限，可用如图求角所在的象限，也可以用下表来表示： α所在的象限 一 二 三 四 所在的象限 一、三 一、三 二、四 二、四 (3)这类问题也可采用特值法判断角的终边位置，如本例中，45°＋k·180°<<90°＋k·180°，k∈Z，令k＝1,2,3,4分别得的终边位于第三、一、三、一象限，如此循环往复，从而可断定是第一或第三象限角． [变式训练] 4．若α是第二象限角，则是(　　) A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第四象限的角 D．第一象限或第二象限或第四象限角 解析：D　[∵90°＋k·360°＜α＜180°＋360°·k　k∈Z ∴30°＋120°·k＜＜60°＋120°·k　k∈Z 当k＝0时，30°＜＜60°，是第一象限角． 当k＝1时，150°＜＜180°，是第二象限角． 当k＝2时，270°＜＜300°，是第四象限角．] 对应学生用书P4 1．下列命题中正确的是(　　) A．终边在y轴的非负半轴上的角一定是直角 B．第二象限角一定是钝角 C．第四象限角一定是负角 D．始边相同而终边不同的角一定不相等 解析：D　[A中的角应与直角终边相同，B中如480°不是钝角，C中如300°不是负角，只有D正确．] 2．与600°终边相同的角表示为(k∈Z)(　　) A．k·360°＋220°　　　　 B．k·360°＋240° C．k·360°＋60° D．k·360°＋260° 解析：B　[600°＝240°＋360°， ∴600°与240°终边相同． ∴与600°终边相同的角即为与240°终边相同． ∴选B.] 3．已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝　________　. 解析：因为α与120°角终边相同， 故有α＝k·360°＋120°，k∈Z. 又因为－990°<α<－630°， 所以－990°<k·360°＋120°<－630°， 即－1 110°<k·360°<－750°. 当k＝－3时，α＝(－3)×360°＋120°＝－960°. 答案：－960° 4.集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}中角表示的范围(用阴影表示)是图中的　________　(填序号)． 解析：集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，x∈Z}中，当k为偶数时，此集合与{α|0°≤α≤45°}表示终边相同的角，位于第一象限；当k为奇数时，此集合与{α|180°≤α≤225°}表示终边相同的角，位于第三象限．所以集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}中角表示的范围为图②所示． 答案：② 5．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题： (1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？ (2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式． 解：(1)令－360°<30°＋k·90°<360°，得－<k<，又∵k∈Z，∴k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，∴集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°. (2)∵集合M中的第二象限角与120°角的终边相同， ∴β＝120°＋k·360°，k∈Z. 对应学生课时P1 1．与600°角终边相同的角可表示为(　　) A．k·360°＋220°(k∈Z) B．k·360°＋240°(k∈Z) C．k·360°＋60°(k∈Z) D．k·300°＋260°(k∈Z) 解析：B　[∵600°＝360°＋240°，∴与600°角终边相同的角可表示为k·360°＋240°(k∈Z)．] 2．设集合A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是(　　) A．A＝B　　　　　 B．B＝C C．A＝C D．A＝D 解析：D　[集合A中锐角θ满足0°＜θ＜90°；而集合B中θ＜90°，可以为负角；集合C中θ满足k·360°＜θ＜k·360°＋90°，k∈Z；集合D中θ满足0°＜θ＜90°.故A＝D.] 3．给出下列四个结论：①－15°角是第四象限角；②185°角是第三角限角；③475°角是第二象限角；④－350°角是第一象限角．其中正确的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：D　[①－15°角是第四象限角；②因为180°＜185°＜270°，所以185°角是第三角限角；③因为475°＝360°＋115°，90°＜115°＜180°，所以475°角是第二象限角；④因为－350°＝－360°＋10°，所以－350°角是第一象限角．所以四个结论都是正确的．] 4．在－720°～0°范围内所有与30°角终边相同的角为(　　) A．－330° B．－690° C．－690°或－330° D．－300°或－330° 解析：C　[所有与30°角终边相同的角可表示为β＝30°＋k·360°(k∈Z)，则令－720°≤30°＋k·360°＜0°(k∈Z)，得－750°≤k·360°＜－30°(k∈Z)，解得≤k＜(k∈Z)，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－690°或β＝－330°.故选C.] 5．若α与β终边相同，则α－β的终边落在(　　) A．x轴的非负半轴上 B．x轴的非正半轴上 C．y轴的非负半轴上 D．y轴的非正半轴上 解析：A　[∵α＝β＋k·360°，k∈Z，∴α－β＝k·360°，k∈Z，∴其终边在x轴的非负半轴上．] 6．若α是第一象限角，则下列各角中不是第四象限角的是(　　) A．90°－α B．90°＋α C．360°－α D．180°＋α 解析：ABD　[α是第一象限角，则－α是第四象限角，所以360°－α为第四象限角，选ABD.] 7．－1 040°角在第　________　象限． 解析：与－1 040°角终边相同的角可表示为α＝k·360°＋(－1 040°)，当k＝3时，α＝40°，所以－1 040°角与40°角的终边相同，故－1 040°角的终边在第一象限． 答案：一 8．与2 020°角终边相同的最小正角是　________　角． 解析：因为与2 020°角终边相同的角是2 020°＋k·360°(k∈Z)，所以当k＝－5时，与2 020°角终边相同的最小正角是220°角． 答案：220° 9．(多空题)(2019·河南省实验中学高一检测)如图(1)(2)，从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度α＝　__________　，β＝　________　，γ＝　________　. 解析：题图(1)中的角是一个正角，α＝390°.题图(2)中的角一个是负角、一个是正角，β＝－150°，γ＝60°. 答案：390°　－150°　60° 10．在与530°终边相同的角中，求分别满足下列条件的角． (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)在－720°～－360°范围内的角． 解析：(1)与530°终边相同的角为k·360°＋530°，k∈Z.由－360°＜k·360°＋530°＜0°且k∈Z，可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°. (2)由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z，可得k＝－1， 故所求的最小正角为170°. (3)由－720°≤k·360°＋530°＜－360°且k∈Z，可得k＝－3，故所求的角为－550°. 11．写出终边在直线y＝x上的角的集合． 解析：终边在直线y＝x上的角的集合为： S＝S1∪S2＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z} ＝{α|α＝45°＋180°的整数倍} ＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}． 12．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角： (1)－120°. (2)640°. 解析：(1)与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}． 当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°， 所以在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角． (2)与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}．当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°， 所以在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角． 13．已知角β的终边在直线x－y＝0上． (1)写出角β的集合S. (2)写出集合S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素． 解析：(1)如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合分别为 S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}， S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}， 所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°， k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}． (2)由于－360°＜β＜720°，即－360°＜60°＋n·180°＜720°，n∈Z，解得－＜n＜，n∈Z，所以n＝－2，－1,0,1,2，3.所以集合S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素为60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°； 60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°； 60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°. 学科网（北京）股份有限公司 $