第1章 二次根式 单元测试卷 2025-2026学年浙教版八年级下册数学

浙教版2025-2026学年八年级下数学第1章 二次根式 尖子生测试卷 解析版 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的. 1． 计算 ， 结果是(　　) A． B．-1 C． D． 【答案】C 【解析】 故答案为：C. 2．若的值为（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【解析】 或 当时，，则原式； 当时，，则原式； 故答案为：D. 3．已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，，，如的整数部分为，小数部分为所以根据以上信息，下列说法正确的有(　　) ；的小数部分为；； ． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解析】∵的整数部分为2，小数部分为， 根据题意得，其整数部分为6，小数部分为； ，其整数部分为10，小数部分为； ，其整数部分为14，小数部分为； ，其整数部分为18，小数部分为； ，其整数部分为22，小数部分为； ，其整数部分为26，小数部分为； … ， ∴①，故①正确； ②a2025的小数部分为，故②正确； ③，故③错误； ④ = + = = = = = = 故④正确， 故答案为：C. 4． a，b为有理数，且满足等式 ，则a+b 的值为(　　). A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： B. 5．表示不大于x的最大整数，如，，，则的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【解析】∵，，，…， ∴ = = ， ∴= ； 故答案为：D. 6．已知两个二次根式：，（），将这两个二次根式进行如下操作： 第一次操作：将与的和记为，差记为；第二次操作：将与的和记为，差记为；第三次操作：将与的和记为，差记为；…；以此类推． 下列说法：①当时，；②；③（n为自然数）．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】由题意得： ，； ，； ，； ，； ，； ，； ，； ，； ，； ，； ，； ，， ∴当时， ， ∴①的说法正确； 由以上计算可知：， ∴②的说法正确； ∵； ； ； … ∵ ∴③的说法正确， 综上可知：正确的个数为3个， 故答案为：D． 7．记，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， ， ， ， ， ， 则 故答案为：D. 8．已知实数a满足条件 ，那么 的值为 　　 A．2010 B．2011 C．2012 D．2013 【答案】C 【解析】∵ 有意义， ∴a-2012≥0，∴a≥2012， ∴2011-a＜0，∴ ，∴ ∴a-2012=20112，∴a-20112=2012. 故答案为：C. 9．已知：m， n是两个连续自然数（m<n），且q=mn， 设，则p(　　)。 A．总是奇数 B．总是偶数 C．有时奇数，有时偶数 D．有时有理数，有时无理数 【答案】A 【解析】m、n是两个连续自然数（m＜n)，则n=m+1， ∵q=mn， ∴q=m（m+1)， ∴q+n=m（m+1)+m+1=（m+1)2，q-m=m（m+1)-m=m2， ∴ =m+1+m=2m+1， 即p的值总是奇数． 故选A． 10．如图，在中，，从点射出的光线经过、反射恰好回到点，根据光的反射性质，有，，连结．若，以下结论正确的是（　　） ①，②，③，④平分． A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【解析】设，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 整理得， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∴，， 假设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，此时与重合，不符合题意， 故②错误； 如图，作交延长线于，过作交于，交延长线于，则，， ∵，，， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴平分， 故④正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵中，， ∴，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③正确， 综上所述，正确的有①③④． 故选：B． 二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分） 要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案. 11．小明用图 R6-22①所示的一副七巧板在一个矩形中拼了一条龙的形状(如图②).若A，B，C三点共线且点D，A，E，F在矩形的边上，则矩形的长与宽之比为　 　. 【答案】 【解析】如图，线段MN的长度即为矩形的长，DP的长度即为矩形的宽， 设AB=a，可得 ∵ ∴， ∴矩形的长与宽之比为 故答案为： . 12．已知，，则　 　. 【答案】123 【解析】 ，， ，， . 同理， ， 观察发现规律：， ， ， ， ， ， . 故答案为：123. 13．如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为．例：，所以的“神奇区间”为．若某一无理数的“神奇区间”为，且满足，其中，是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，则　 　． 【答案】33或127 【解析】“神奇区间”为， 、为连续正整数， ，其中，是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解， 符合条件的，有，，；，，． ①当，，时， ∴，， 则=33， 当，，时， ∴，， 则=127， 故的值为或， 故答案为：或． 14．（1）已知a<0，化简 　 　. （2）当 1≤x≤2 时，经化简， 　 　. 【答案】（1）-2 （2）2 【解析】（1）原式， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为：-2； （2）原式， ∵， ∴原式， 故答案为：2. 15．小明在解方程时采用了下面的方法： 由，又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解，请你学习小明的方法，解方程，则　 　． 【答案】39 【解析】∵ ， 而， ∴， 两式相减得，即， 两边平方得到， ∴，经检验是原方程的解， 故答案为：． 16．如图，在四边形中，，且，，，．则边的长是　 　． 【答案】 【解析】如图所示， 将绕点逆时针旋转，得到，交于点，则 ∵， ∴点旋转后与点重合， 则 ∴，，， ∴是等腰直角三角形，则， 设 ∴， 在中， 在中，， 在中， ∴ 设，则 ∴ 解得： ∴ 在中， ∴ 在中，， 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，每题10分，共80分） 解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17． （1）设实数x，y 满足 求x+y的值. （2）已知实数x，y 满足 求 的值. 【答案】（1）解：∵，， ∴①， ∵，， ∴②， ∴①+②得：， 整理得：， ∴ （2）解：∵，， ∴①， ∵，， ∴②， ①＋②得：， 整理得：， ∴， ∴原式 18． （1）已知方程①+=，②++=3请判断这两个方程是否有解?并说明理由； （2）已知+=2023，求的值。 【答案】（1）解：理由是：①由x+2023≥0，x-2023≥0得x≥2023∵x≥2023，∴+的最小值为>，方程①无解 ②由 x-2023≥0，x-2023≥0，x-2022≥0得x≥2024当x≥2024时， ++的最小值为+1<3，：方程有解 （2）解：+=2023 (1) 设=y (2) 由(1)×(2)得到：(3x+2023)-（3x-2023）=2023y∴y=2 19．嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律：特例1：， 特例2：，特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． （2）观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． （3）证明你的猜想； （4）应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 【答案】（1）；（答案不唯一） （2） （3）解：， 等式左边等式右边； （4）①；②18 【解析】（1）解：根据材料提示可得，特例 4 为：， 故答案为：； （2）解：由上述计算可得，如果为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； （4）①解：． 故答案为： ②， ， ， ． 故答案为：18 20．【背景介绍】我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如： ，那么，那么如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数，（，），使得即，且使即，那么，双重二次根式得以化简； 例如：化简； 且， ， ， 由此对于任意一个双重二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： 【方法运用】 （1）填空：①__________；②__________； 【方法应用】 （2）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长； 【迁移运用】 （3）已知为常数（），满足，求的值． 【答案】解：（1）①；②； （2）由题可知，新正方形花圃面积为（平方米）， ， 则新正方形花圃的边长为米； （3）∵， ∴， ∴， ∴． ∴ ===， ∴的值为． 【解析】（1） ①； ②； 故答案为：；； 21．【阅读材料】当，时， ，， 【获得结论】 当，时，； 当且仅当时，等号成立，即； 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在最值问题中有着广泛的应用． 【应用举例】 例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 【解决问题】 （1）函数，y的最小值为　 　，此时，　 　． （2）当时，的最小值为　 　，此时，　 　． （3）如图，学校打算用篱笆围成一个面积为的长方形的生物园，其中生物园的一面靠墙墙足够长，其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边的长为米，当这个矩形花园的宽为　 　时，所用的篱笆的总长度最短，最短为　 　米． 【答案】（1）6；3 （2）； （3）10；40 【解析】（1）根据题意得：当时， ， ， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：6； （2）根据题意得：当时， ， ， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：； （3）如图， 设米，则米， 篱笆的总长度 ， ， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为 ∴当这个矩形花园的宽为米时，所用的篱笆的总长度最短，最短为米． 故答案为：； 22．在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法： 方法一：； 方法二：； （1）请用以上两种方法化简：； （2）计算：； （3）若，求的值. 【答案】（1）解：方法一： 方法二： （2）解：由题意可得： = = （3）解： 23．先阅读，再解答问题： 恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法.利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式. 例如：当时，求的值. 为解答这道题，若直接把代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答. 方法：将条件变形，因，得，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算. 由，可得，即，. 原式. 请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题： （1）若，求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）解：∵， ∴x＋1＝， ∴（x＋1）2＝2，即x2＋2x＋1＝2， ∴x2＋2x＝1， ∴原式＝2x（x2＋2x）−3x＋1＝2x−3x＋1＝−x＋1＝−（−1）＋1＝2−； （2）解：∵， ∴x−2＝， ∴（x−2）2＝3， 即x2−4x＋4＝3， ∴x2−4x＝−1或x2＝4x−1， ∴原式＝＝（16x2−8x＋1−4x2＋x−36x＋9−5x＋5） ＝ [12（4x−1）−48x＋15]＝（48x−12−48x＋15）＝×3＝. 24．（1）问题再现 学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是　　　； （2）应用 如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若，连接，则的最小值是　　　； （3）类比迁移 已知a，b均为正数，且，求的最大值． 【答案】（1）；（2）； （3）解：模仿（1）可知，构造图形如下： 矩形中，于C，，，，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ∴， 即的值最大，就是的值最大， ∵， ∴的最大值为， 过点D作于点G， 则，， 在中，由勾股定理，得， 故的最大值为． 【解析】（1）如图，，， 由勾股定理，得， ∴的最小值是 13， 故答案为：13； （2）如图， 设这4个全等直角三角形的短边为x，则，， 由勾股定理，得， 由勾股定理，得， 则， 构造图形如下： ∵，，， 设，则， 可得，， ∴， ∴的最小值为的长， 过点M作交延长线于Q，则，， ∴，， ∴， 由勾股定理， ∴的最小值为， 故答案为：； www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙教版2025-2026学年八年级下数学第1章 二次根式 尖子生测试卷 考试时间：150分钟 满分：150分 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的. 1． 计算 ， 结果是(　　) A． B．-1 C． D． 2．若的值为（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 3．已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，，，如的整数部分为，小数部分为所以根据以上信息，下列说法正确的有(　　) ； 的小数部分为； ； ． A．个 B．个 C．个 D．个 4． a，b为有理数，且满足等式 ，则a+b 的值为(　　). A．2 B．4 C．6 D．8 5．表示不大于x的最大整数，如，，，则的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 6．已知两个二次根式：，（），将这两个二次根式进行如下操作： 第一次操作：将与的和记为，差记为；第二次操作：将与的和记为，差记为；第三次操作：将与的和记为，差记为；…；以此类推．下列说法： ①当时，；②；③（n为自然数）．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 7．记，则（　　） A． B． C． D． 8．已知实数a满足条件 ，那么 的值为 　　 A．2010 B．2011 C．2012 D．2013 9．已知：m， n是两个连续自然数（m<n），且q=mn， 设，则p(　　)。 A．总是奇数 B．总是偶数 C．有时奇数，有时偶数 D．有时有理数，有时无理数 10．如图，在中，，从点射出的光线经过、反射恰好回到点，根据光的反射性质，有，，连结．若，以下结论正确的是（　　） ①，②，③，④平分． A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分） 要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案. 11．小明用图 R6-22①所示的一副七巧板在一个矩形中拼了一条龙的形状(如图②).若A，B，C三点共线且点D，A，E，F在矩形的边上，则矩形的长与宽之比为　 　. 12．已知，，则　 　. 13．如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为．例：，所以的“神奇区间”为．若某一无理数的“神奇区间”为，且满足，其中，是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，则　 　． 14． （1）已知a<0，化简 　 　. （2）当 1≤x≤2 时，经化简， 　 　. 15．小明在解方程时采用了下面的方法： 由，又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解，请你学习小明的方法，解方程，则　 　． 16．如图，在四边形中，，且，，，．则边的长是　 　． 三、解答题（本题有8小题，每题10分，共80分） 解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17．（1）设实数x，y 满足 求x+y的值. （2）已知实数x，y 满足 求 的值. 18．（1）已知方程①+=，②++=3请判断这两个方程是否有解?并说明理由； （2）已知+=2023，求的值。 19．嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． （2）观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． （3）证明你的猜想； （4）应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 20．【背景介绍】我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如： ，那么，那么如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数，（，），使得即，且使即，那么，双重二次根式得以化简； 例如：化简； 且， ， ， 由此对于任意一个双重二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： 【方法运用】 （1）填空：①__________；②__________； 【方法应用】 （2）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长； 【迁移运用】 （3）已知为常数（），满足，求的值． 21．【阅读材料】当，时， ，， 【获得结论】 当，时，； 当且仅当时，等号成立，即； 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在最值问题中有着广泛的应用． 【应用举例】 例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 【解决问题】 （1）函数，y的最小值为　 　，此时，　 　． （2）当时，的最小值为　 　，此时，　 　． （3）如图，学校打算用篱笆围成一个面积为的长方形的生物园，其中生物园的一面靠墙墙足够长，其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边的长为米，当这个矩形花园的宽为　 　时，所用的篱笆的总长度最短，最短为　 　米． 22．在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法： 方法一：； 方法二：； （1）请用以上两种方法化简：； （2）计算：； （3）若，求的值. 23．先阅读，再解答问题： 恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法.利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式. 例如：当时，求的值. 为解答这道题，若直接把代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答. 方法：将条件变形，因，得，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算. 由，可得，即，. 原式. 请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题： （1）若，求的值； （2）已知，求的值. 24．（1）问题再现 学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是　　　； （2）应用 如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若，连接，则的最小值是　　　； （3）类比迁移 已知a，b均为正数，且，求的最大值． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $