7.3.1 第3课时 正弦函数的性质与图像(三)-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

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[思路点拨]　先画出图像，根据图像解不等式． [解析]　(1)由2sin 2x≥1得sin 2x≥eq \f(1,2).把2x当作整体t，画y＝sin t的图像． 在[0,2π]内，满足sin t≥eq \f(1,2)有eq \f(π,6)≤t≤eq \f(5π,6)， 所以eq \f(π,6)≤2x≤eq \f(5π,6). 故在实数集R上2x满足 eq \f(π,6)＋2kπ≤2x≤eq \f(5π,6)＋2kπ，k∈Z， 即eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(5π,12)＋kπ，k∈Z， 所以定义域为{x|eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(5π,12)＋kπ，k∈Z}． (2)根据函数表达式可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin x≥0，,25－x2≥0，))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2kπ≤x≤2kπ＋πk∈Z，,－5≤x≤5.)) 在数轴上表示如图所示． 由图示可得，函数定义域[－5，－π]∪[0，π]． 利用三角函数图像解sin x>a(或cos x>a)的三个步骤 (1)作出直线y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图像． (2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值． (3)确定sin x>a(或cos x>a)的解集． 注意：解三角不等式sin x>a，如是不限定范围时，一般先用图像求出[0,2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的同一三角函数值相等，写出原不等式的解集． [变式训练] 2．利用正弦函数和余弦函数的图像，求满足下列条件的x的集合． sin x≥eq \f(1,2). 解：作出正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像，如图所示，由图像可以得到满足条件的x的集合为[eq \f(π,6)＋2kπ，eq \f(5π,6)＋2kπ]，k∈Z. 　 正弦函数图像的简单应用 [例3] 画出函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图像． (1)试写出y>1及y<1的自变量的取值范围； (2)判断其函数图像与直线y＝eq \f(3,2)的交点个数． [思路点拨]　先用五点法作出函数的图像，结合图像分析不等式的解集；再画出直线y＝eq \f(3,2)的图像，利用图像分析交点个数． [解]　用五点法画出函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图像，如图所示． (1)由图像可知，当x∈(0，π)时，y>1；当x∈(π，2π)时，0<y<1. (2)在平面直角坐标系中作出直线y＝eq \f(3,2)，如图所示，可知此直线与函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图像有两个交点． 方程根(或个数)的两种判断方法 (1)代数法：直接求出方程的根，得到根的个数． (2)几何法：①方程两边直接作差构造一个函数，作出函数的图像，利用对应函数的图像，观察与x轴的交点个数，有几个交点原方程就有几个根； ②转化为两个函数，分别作这两个函数的图像，观察交点个数，有几个交点原方程就有几个根． [变式训练] 3．已知直线y＝a，函数y＝sin x，x∈[0,2π]，试探求以下问题． (1)当a为何值时，直线y＝a与函数y＝sin x的图像只有一个交点？ (2)当a为何值时，直线与函数图像有两个交点？ 解：由图像易知(1)当a＝±1时，y＝a与函数图像只有一个交点． (2)当a∈(0,1)∪(－1,0)时，y＝a与函数图像有两个交点． 1．对于正弦函数的图像，有以下四个说法： ①关于原点对称；②关于x轴对称； ③关于y轴对称；④有无数条对称轴． 其中正确的是(　　) A．①②　 B．①③　　C．①④　　D．②③ 解析：C　[由正弦曲线知，①④正确．] 2．函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是(　　) 解析：B　[y＝sin(－x)＝－sin x，y＝－sin x与y＝sin x的图像关于x轴对称，故选B.] 3．用“五点法”画函数y＝2－3sin x的图像时，首先应描出五点的横坐标是(　　) A．0，eq \f(π,4)，eq \f(π,2)，eq \f(3π,4)，π B．0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π C．0，π，2π，3π，4π D．0，eq \f(π,6)，eq \f(π,3)，eq \f(π,2)，eq \f(2π,3) 解析：B　[所描出的五点的横坐标与函数y＝sin x的五点的横坐标相同，即0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π，故选B.] 4．若方程sin x＝4m＋1在x∈[0,2π]上有解，则实数m的取值范围是　________　. 解析：由正弦函数的图像，知当x∈[0,2π]时，sin x∈[－1,1]，要使得方程sin x＝4m＋1在x∈[0,2π]上有解，则－1≤4m＋1≤1，故－eq \f(1,2)≤m≤0. 答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) 5．利用正弦曲线，求满足eq \f(1,2)<sin x≤eq \f(\r(3),2)的x的集合． 解：首先作出y＝sin x在[0,2π]上的图像，如图所示，作直线y＝eq \f(1,2)，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为eq \f(π,6)和eq \f(5π,6). 作直线y＝eq \f(\r(3),2)，该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为eq \f(π,3)和eq \f(2π,3). 观察图像可知，在[0,2π]上，当eq \f(π,6)<x≤eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)≤x<eq \f(5π,6)时，不等式eq \f(1,2)<sin x≤eq \f(\r(3),2)成立． 所以eq \f(1,2)<sin x≤eq \f(\r(3),2)的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\f(π,6)＋2kπ<x≤\f(π,3)＋2kπ，k∈Z)) 或eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋2kπ≤x<\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z)). $