7.3.1 第2课时 正弦函数的性质与图像(二)-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

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[预习自测] 1．函数y＝2sin(x＋2)的最大值是(　　) A．－2　　　　　　　　　 B．2 C．2sin 2 D．－2sin 2 答案：B 2．下列函数，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上是增函数的是(　　) A．y＝sin x B．y＝sin eq \f(1,2)x C．y＝sin 2x D．y＝－sin x 答案：D 3．y＝asin x＋b(a>0)的最大值为3，最小值为－1，则ab＝　________　. 解析：∵sin x∈[－1,1]，且a>0， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－a＋b＝－1，,a＋b＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝1，,a＝2.))∴ab＝2. 答案：2 正弦函数的值域 [例1]　求下列函数的值域： (1)y＝2sin x－1；(2)y＝eq \f(sin x－2,sin x＋1)； (3)求函数y＝2sin2x＋2sin x－1的值域． [思路点拨]　依正弦函数的定义域、值域求解． [解]　(1)由－1≤sin x≤1知，y＝2sin x－1的值域为[－3,1]． (2)法一　y＝eq \f(sin x－2,sin x＋1)＝eq \f(sin x＋1－3,sin x＋1) ＝1－eq \f(3,sin x＋1). ∵sin x＋1∈(0,2]， ∴eq \f(3,sin x＋1)∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)). 当sin x＝1时，ymax＝－eq \f(1,2)，故该函数的值域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))). 法二　由y＝eq \f(sin x－2,sin x＋1)，得(sin x＋1)y＝sin x－2，即(1－y)sin x＝y＋2， 显然y≠1，∴sin x＝eq \f(y＋2,1－y). ∵－1<sin x≤1， ∴－1<eq \f(y＋2,1－y)≤1， 解得y≤－eq \f(1,2)，即函数的值域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))). (3)将函数配方得y＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin x＋\f(1,2)))2－eq \f(3,2). ∵－1≤sin x≤1，当sin x＝－eq \f(1,2)时，ymin＝－eq \f(3,2)；当sin x＝1时，ymax＝3. ∴函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3)). 1．求解形如y＝asin x＋b的函数的最值或值域问题，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sin x≤1)求解，此时有－|a|＋b≤y≤|a|＋b. 2．求形如y＝asin2x＋bsin x＋c，a≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t＝sin x，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值．求解过程中要注意正弦函数的有界性． 3．求形如y＝eq \f(asin x＋b,csin x＋d)，ac≠0的函数的值域，可以用分离常量法求解，也可以反解出y，利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式求解． [变式训练] 1．(1)函数y＝1＋2sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,6)))的值域为(　　) A．[－1,1]　　　　　　 B．[0,1] C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))) D．[0,2] (2)设a>0，对于函数f(x)＝eq \f(sinx＋a,sin x)(0<x<π)，下列结论正确的是(　　) A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值 C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值 解析：(1)∵－eq \f(π,6)≤x≤eq \f(π,6)， ∴－eq \f(1,2)≤sin x≤eq \f(1,2)，∴0≤1＋2sin x≤2，故函数的值域为[0,2]． (2)因为0<x<π，所以0<sin x≤1，eq \f(1,sin x)≥1，又因为a>0，所以函数f(x)＝eq \f(sin x＋a,sin x)＝1＋eq \f(a,sin x)有最小值而无最大值，故选B. 答案：(1)D　(2)B 　　　 比较三角函数值的大小 [例2]　下列不等式中成立的是(　　) A．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)))>sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,10))) B．sin 3>sin 2 C．sin eq \f(7,5)π>sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)π)) D．sin 2>cos 1 [思路点拨]　把角化到同一单调区间，利用正弦函数的单调性比较． [解析]　D　[∵sin 2＝sin (π－2)，cos 1＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－1))，且(π－2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－1))＝eq \f(π,2)－1>0，∴eq \f(π,2)>π－2>eq \f(π,2)－1>0， ∴sin(π－2)>sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－1))，即sin 2>cos 1.] 比较三角函数值大小的方法 (1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较． (2)比较两个不同名的三角函数值的大小，先应利用诱导公式五、六将名称化为一致．然后再利用正、余弦函数的单调性进行比较，当角不在同一个单调区间时，再利用诱导公式一～四将角转化为同一单调区间内．对于正弦函数，一般将两个角转化到[－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)]或[eq \f(π,2)，eq \f(3π,2)]内，对于余弦函数，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内． [变式训练] 2．比较下列各组数的大小． sin(－320°)与sin 700°. 解：∵sin(－320°)＝sin(－360°＋40°)＝sin 40°， sin 700°＝sin(720°－20°)＝sin(－20°) 又函数y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函数， ∴sin40°>sin(－20°)， ∴sin(－320°)>sin 700°. 正弦函数的单调性及应用 [例3]　函数y＝asin x＋1的最大值为1－a，最小值为－3. (1)求实数a的值； (2)求该函数的单调递增区间； (3)若x∈[－π，π]，求该函数的递增区间． [思路点拨]　依题意区分a>0还是a<0，利用正弦函数的单调性求解． [解]　(1)∵ymax＝1－a， ∴a<0， 故ymin＝1＋a＝－3，∴a＝－4， ∴y＝－4sin x＋1. (2)当eq \f(π,2)＋2kπ≤x≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z时， 函数y＝－4sin x＋1递增， ∴y＝－4sin x＋1的递增区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)． (3)∵x∈[－π，π]，∴eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)∩[－π，π]＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)). 即当x∈[－π，π]时，y＝－4sin x＋1的递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) 1．求形如y＝asin x＋b的三角函数的单调区间． 当a>0时，其单调区间与y＝sin x的单调区间相同，当a<0时，其单调区间与y＝sin x的单调区间相反． 2．求复合函数单调区间的方法是“同增异减”原则，但要注意函数的定义域． [变式训练] 3．求y＝log2sin x的单调递增区间． 解：令t＝sin x，则原函数由y＝log2t，t＝sin x复合而成，由复合函数的单调性可知，y＝log2sin x的单调递增区间为(2kπ，2kπ＋eq \f(π,2)](k∈Z)． 1．已知sin2x＋2a－1＝0，则a的取值范围是(　　) A．[0,1]　　　　　　 B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D．(0,1) 解析：B　[1－2a＝sin2x， ∵sin x∈[－1,1]， ∴sin2x∈[0,1]， ∴0≤1－2a≤1， 即0≤a≤eq \f(1,2).] 2．y＝2sin x－3，x∈R的减区间为(　　) A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\f(π,2)＋2kπ≤x≤\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z)) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)＋2kπ≤x≤\f(π,2)＋2kπ，k∈Z)) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))，k∈Z 答案：D 3．下列关系式中正确的是(　　) A．sin 11°<cos 10°<sin 168° B．sin 168°<sin 11°<cos 10° C．sin 11°<sin 168°<cos 10° D．sin 168°<cos 10°<sin 11° 解析：C　[∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°. ∴由正弦函数的单调性，得sin 11°<sin 12°<sin 80°， 即sin 11°<sin 168°<cos 10°.] 4．已知函数y＝－3sin x＋2，当x＝　________　时，y有最大值等于　________　. 解析：当x＝－eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，(sin x)min＝－1，此时ymax＝5. 答案：－eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z　5 5．求函数f(x)＝sin2x－4sin x＋5的值域． 解：设t＝sin x，则|t|≤1， f(x)＝g(t)＝t2－4t＋5(－1≤t≤1)， g(t)＝t2－4t＋5的对称轴为t＝2. 因为g(t)的图像开口向上， 对称轴t＝2在区间[－1,1]右侧． 所以g(t)在[－1,1]上是单调递减的， 所以g(t)max＝g(－1)＝(－1)2－4×(－1)＋5＝10， g(t)min＝g(1)＝12－4×1＋5＝2， 即g(t)∈[2,10]． 所以函数f(x)的值域为[2,10]． $