7.3.1 第1课时 正弦函数的性质与图像(一)-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

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[思路点拨]　(1)可用定义法或公式法求周期，(2)可用图像法或定义法求解． [解]　(1)方法一： ∵2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)－\f(π,6)＋2π))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)－\f(π,6)))， 即2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋6π－\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)－\f(π,6)))， ∴y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)－\f(π,6)))的周期是6π. 方法二： ∵eq \f(2π,\f(1,3))＝6π，∴函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)－\f(π,6)))的周期是6π. (2)方法一： ∵|sin(π＋x)|＝|－sin x|＝|sin x|. ∴函数y＝|sin x|的周期是π. 方法二： y＝|sin x|的图像如图所示． ∴y＝|sin x|的周期是π. 求三角函数的周期的方法 (1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数． (2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的函数，可利用T＝eq \f(2π,ω)来求． (3)图像法：可画出函数的图像，借助于图像判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法． 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角三角函数． [变式训练] 1．判断等式sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)＋\f(5π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))是否成立？如果成立，能否说明eq \f(5π,3)是函数y＝sin x的周期？ 解：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)＋\f(5π,3)))＝sineq \f(4π,3)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3))) ＝－sineq \f(π,3)， 而sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－sineq \f(π,3). ∴上述等式成立． 但不能说明eq \f(5π,3)是y＝sin x的周期． 理由如下：若eq \f(5π,3)为y＝sin x的周期， 则对任意实数x都有sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5π,3)))＝sin x， 但当x＝0时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5π,3)))≠sin x， 所以eq \f(5π,3)不是y＝sin x的周期． 　 正弦函数的奇偶性 [例2] 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝eq \r(2)sin 2x； (2)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,4)＋\f(3π,2))). [思路点拨]　首先求出函数的定义域，在定义域关于原点对称的前提下，根据f(－x)与f(x)及－f(x)的关系来判断． [解]　(1)显然x∈R， f(－x)＝eq \r(2)sin(－2x)＝－eq \r(2)sin 2x＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． (2)∵x∈R，f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))＝－coseq \f(3x,4)， ∴f(－x)＝－coseq \f(3－x,4)＝－coseq \f(3x,4)＝f(x)， ∴函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))是偶函数． (1)判断函数奇偶性的方法步骤为：先求函数的定义域，看定义域是否关于原点对称，再根据解析式判断f(x)与f(－x)的关系，并根据奇偶性的定义作出判断，对于三角函数，要特别注意诱导公式的应用． (2)若已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或Acos(ωx＋φ))为偶函数，则x＝0是其对称轴，则f(0)＝±A；若已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或Acos(ωx＋φ))为奇函数，则(0,0)是其对称中心，则f(0)＝0. [变式训练] 2．判断下列函数的奇偶性． (1) y＝sin x．x∈(－π，2π)； (2)y＝sin x＋1； (3)y＝sin 3x. 解：(1)y＝sin x，x∈(－π，2π)， 定义域不关于原点对称， ∴y＝sin x，x∈(－π，2π)为非奇非偶函数． (2)y＝sin x＋1，x∈R， ∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝2，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝0， ∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))≠feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))≠－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2))). 所以y＝sin x＋1为非奇非偶函数． (3)y＝sin 3x，x∈R， f(－x)＝sin[3(－x)]＝sin(－3x)＝－sin 3x＝－f(x)， ∴y＝sin 3x为奇函数． 　 正弦函数的奇偶性与周期性的应用 [例3] 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，eq \f(π,2)]时，f(x)＝sin x，求f(eq \f(5π,3))的值． [思路点拨]　根据周期性，把要求角转化到已知角范围中求解． f(eq \f(5π,3))＝f(eq \f(5π,3)－2π)＝f(－eq \f(π,3))＝f(eq \f(π,3))． [解]∵f(x)的最小正周期是π， ∴f(eq \f(5π,3))＝f(eq \f(5π,3)－2π)＝f(－eq \f(π,3))． ∵f(x)是R上的偶函数， ∴f(－eq \f(π,3))＝f(eq \f(π,3))＝sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2). ∴f(eq \f(5π,3))＝eq \f(\r(3),2). 1．利用周期性和奇偶性解决求值问题的方法 利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而可解决求值问题． 2．判断y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是否具有奇偶性的关键 判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(Aω≠0)或y＝Acos ωx(Aω≠0)其中一个． [变式训练] 3．(1)已知函数f(x)＝eq \r(2)sin(x＋eq \f(π,4)＋φ)是奇函数，则φ的值可以是(　　) A．0　　　　　　　　　　 B．－eq \f(π,4) C.eq \f(π,2) D．π 解析：B　[法一：f(x)＝eq \r(2)sin(x＋eq \f(π,4)＋φ)为奇函数，则只需eq \f(π,4)＋φ＝kπ，k∈Z，从而φ＝kπ－eq \f(π,4)，k∈Z. 显然当k＝0时，φ＝－eq \f(π,4)满足题意． 法二：因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即eq \r(2)sin(eq \f(π,4)＋φ)＝0，所以φ＋eq \f(π,4)＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－eq \f(π,4)，k∈Z.令k＝0，则φ＝－eq \f(π,4).] (2)函数f(x)为偶函数且f(x＋eq \f(π,2))＝－f(x)，f(eq \f(π,3))＝1，则f(eq \f(5π,3))＝　________　. 解析：∵f(x＋eq \f(π,2))＝－f(x)，∴f(x＋π)＝f(x)，即T＝π，f(eq \f(5π,3))＝f(eq \f(5π,3)－2π)＝f(－eq \f(π,3))＝f(eq \f(π,3))＝1. 答案：1 1．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 解析：A　[由于x∈R， 且f(－x)＝sin x＝－sin(－x)＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数．] 2．(多选题)下列是定义在R上的四个函数图像的一部分，其中是周期函数的是(　　) 解析：ABC　[对于D，x∈(－1,1)时的图像与其他区间图像不同，不是周期函数．] 3．设函数f(x)＝sin(2x－eq \f(π,2))，则f(x)是(　　) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为eq \f(π,2)的奇函数 D．最小正周期为eq \f(π,2)的偶函数 解析：B　[因为f(x)＝sin(2x－eq \f(π,2))＝－sin(eq \f(π,2)－2x)＝－cos 2x，所以该函数的最小正周期为π，且为偶函数，故选B.] 4．函数f(x)＝sin(x＋θ)在[0，π]上为增函数，则θ的值可以是(　　) A．0　　　　　　　 B.eq \f(π,2) C．π D.eq \f(3π,2) 解析：D　[当θ＝0时，f(x)＝sin x在[0，π]上不单调，故A不正确；当θ＝eq \f(π,2)时，f(x)＝cos x在[0，π]上单调递减，故B不正确；当θ＝π时，f(x)＝－sin x在[0，π]上不单调，故C不正确；当θ＝eq \f(3π,2)时，f(x)＝－cos x在[0，π]上单调递增，故D正确．] 5．判断下列函数的奇偶性． (1)y＝|sin x|； (2)y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋x)). 解：(1)y＝|sin x|，定义域为R. ∴f(－x)＝|sin(－x)|＝|－sin x|＝|sin x|＝f(x)， ∴y＝|sin x|是偶函数． (2)y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋x))＝sin x，定义域为R， ∴y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋x))为奇函数． $