7.1.2 弧度制及其与角度制的换算-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

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(3)角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝　eq \f(l,r)　. 1.1弧度的定义中，1弧度的角的大小与圆的半径是否有关系？ 提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的．所以1弧度的角的大小与圆的半径无关． [知识点二]　角度与弧度的换算　 1．角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝　2π　 rad 2π rad＝　360°　 180°＝π rad π rad＝　180°　 1°＝　eq \f(π,180)　 rad≈ 　0.017 45　 rad 1 rad＝　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°　 ≈　57.30°　 2.常用特殊角在两种制度下的对应关系 度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150° 弧 度 0 eq \f(π,12) eq \f(π,6) eq \f(π,4) eq \f(π,3) eq \f(5π,12) eq \f(π,2) eq \f(2π,3) eq \f(3π,4) eq \f(5π,6) 度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧 度 π eq \f(7π,6) eq \f(5π,4) eq \f(4π,3) eq \f(3π,2) eq \f(5π,3) eq \f(7π,4) eq \f(11π,6) 2π 2.角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们之间换算的关键是什么？ 提示：计算时，我们要特别注意π rad＝180°，用这个公式进行互化即可． 3．－30°转化为弧度是多少弧度？eq \f(2π,3)转化为角度是多少度？ 提示：－eq \f(π,6)　120°. [知识点三]　扇形的弧长及面积公式　 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α(n°)，则 　　　度量单位 类别　　　 n为角度制 (0°<n°<360°) α为弧度制 (0<α<2π) 扇形的弧长 l＝　eq \f(nπR,180)　 l＝　αR　 扇形的面积 S＝　eq \f(nπR2,360)　 S＝　eq \f(1,2)lR　＝　eq \f(1,2)αR2　 4.在弧度制下，扇形的弧长公式与面积公式中有四个量α、R、l、S，根据公式已知几个量可以求其他量呢？ 提示：知二求二． 5．你认为式子|α|＝eq \f(l,r)中，比值eq \f(l,r)与所取的圆的半径大小是否有关？ 提示：与半径大小无关，一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的． [预习自测] 1．下列语句正确的是(　　) A．一弧度是一度的圆心角所对的弧 B．一弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆周角 C．一弧度的圆心角所对的弧长为1 D．一弧度的圆心角所夹弧长等于半径 答案：D 2．下列各式正确的是(　　) A．π＝180　　　　　　　 B．π＝3.14 C．90°＝eq \f(π,2) rad D．1 rad＝π 答案：C 3．已知扇形的圆心角为60°，半径为2，则扇形的弧长为　________　，扇形的面积为　________　. 解析：扇形的圆心角为α＝60°＝eq \f(π,3)，故弧长为l＝eq \f(2π,3)，面积为S＝eq \f(1,2)×eq \f(π,3)×22＝eq \f(2π,3). 答案：eq \f(2π,3)　eq \f(2π,3) 角度制与弧度制的换算 [例1] (1)把202°30′化成弧度； (2)把－eq \f(5,12)π化成角度； (3)已知α＝15°，β＝eq \f(π,10)，γ＝1rad，θ＝105°，φ＝eq \f(7π,12)，试比较α、β、γ、θ、φ的大小． [思路点拨]　第(1)(2)小题可直接利用1°＝eq \f(π,180) rad，1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°进行转化，第(3)小题可先统一单位，由于用弧度表示的角较多，可统一为弧度，再根据实数大小进行比较． [解]　(1)202°30′＝202.5°＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(405,2)))°×eq \f(π,180)＝eq \f(9,8)π. (2)－eq \f(5,12)π＝－eq \f(5,12)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝－75°. (3)方法一(化为弧度)：α＝15°＝15×eq \f(π,180)＝eq \f(π,12)， θ＝105°＝105×eq \f(π,180)＝eq \f(7π,12). 显然eq \f(π,12)<eq \f(π,10)<1<eq \f(7π,12).故α<β<γ<θ＝φ. 方法二(化为角度)： β＝eq \f(π,10)＝eq \f(π,10)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝18°，γ＝1≈57.30°， φ＝eq \f(7π,12)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝105°. 显然，15°<18°<57.30°<105°.故α<β<γ<θ＝φ. 1．角度与弧度的理解 (1)引入弧度制后，角的集合与实数集建立了一一对应关系． (2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任意非零角，单位不同，数量也不同． (3)牢记180°＝π rad，充分利用其进行角度制与弧度制互化． (4)角度的单位“∘”不可省略，而弧度的单位“rad”可以省略． (5)在同一个式子中，角度、弧度不能混合使用． 2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于抓住“π＝180°”这一关系，由它可以得：度数×eq \f(π,180)＝弧度数，弧度数×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度数，同时还要牢记一些特殊角的度数与弧度数的对应关系． 3．将角度化为弧度，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一化为“度”表示，再利用“1°＝eq \f(π,180) rad”化为弧度即可． [变式训练] 1．将下列角度与弧度进行互化： (1)eq \f(511,6)π；(2)－eq \f(7π,12)；(3)10°；(4)－855°. 解：(1)eq \f(511,6)π＝eq \f(511π,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝15 330°. (2)－eq \f(7π,12)＝－eq \f(7π,12)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝－105°. (3)10°＝10×eq \f(π,180)＝eq \f(π,18). (4)－855°＝－855×eq \f(π,180)＝－eq \f(19π,4). 　 用弧度制表示任意角 [例2] 用弧度制表示终边在坐标轴上的角的集合． [思路点拨]　先表示出终边在x轴、y轴上的角的集合，再求它们的并集． [解]　角的终边在x轴上的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝kπ，k∈Z))，角的终边在y轴上的角的集合为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))， ∴角的终边在坐标轴上的角的集合为 {α|α＝kπ，k∈Z}∪eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝2k·\f(π,2)，k∈Z))))∪eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(α＝2k＋1·\f(π,2)，k∈Z)))) ＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝\f(nπ,2)，n∈Z)))). 1．弧度制下角的集合表示 可联想角度制下的角的集合表示，再转化为弧度制，求象限角、区域角．难点是区间合并时，要作到准确无误．如本题中，前一集合是以eq \f(π,2)的偶数倍表示，后一集合是以eq \f(π,2)的奇数倍表示，两者合并，即用eq \f(π,2)的整数倍表示． 2．用弧度制表示终边相同角的两个关注点 (1)用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍． (2)还要注意角度制与弧度制不能混用． [变式训练] 2．已知α1＝－570°，α2＝750°，β1＝eq \f(3π,5)，β2＝－eq \f(π,3). (1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限． (2)将β1，β2用角度制表示出来，并在[－720°，－180°]内找出与它们终边相同的所有角． 解析：(1)α1＝－570°＝－eq \f(570π,180)＝－eq \f(19π,6)＝－2×2π＋eq \f(5π,6)，α2＝750°＝eq \f(750π,180)＝eq \f(25π,6)＝2×2π＋eq \f(π,6). 故α1＝－eq \f(19π,6)，α2＝eq \f(25π,6)，α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限． (2)β1＝eq \f(3π,5)＝eq \f(3,5)×180°＝108°， β2＝－eq \f(π,3)＝－eq \f(1,3)×180°＝－60°. 设θ1＝108°＋k1·360°(k1∈Z)， θ2＝－60°＋k2·360°(k2∈Z)， 令－720°≤θ1≤－180°，－720°≤θ2≤－180°， 即－720°≤108°＋k1·360°≤－180°(k1∈Z) －720°≤－60°＋k2·360°≤－180°(k2∈Z) 得k1＝－2或k1＝－1，k2＝－1. 故在[－720°，－180°]内，与β1终边相同的角是－612°和－252°，与β2终边相同的角是－420°. 　 扇形的弧长公式及面积公式 [例3] 已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为eq \f(2π,3).求： (1)这个圆心角所对的弧长； (2)这个扇形的面积． [思路点拨]　利用弧长公式和面积公式直接求解． [解]　(1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为eq \f(2π,3)，所以半径r＝eq \f(1,sin\f(π,3))＝eq \f(2\r(3),3)， 所以这个圆心角所对的弧长l＝eq \f(2\r(3),3)×eq \f(2π,3)＝eq \f(4\r(3)π,9). (2)由(1)得扇形的面积S＝eq \f(1,2)×eq \f(2\r(3),3)×eq \f(4\r(3)π,9)＝eq \f(4π,9). 关于弧度制下扇形问题的解决方法 (1)三个公式：|α|＝eq \f(l,r)，S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)αr2，要恰当选择公式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方程(组)求值． (2)弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长(面积)，利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值求解． [变式训练] 3．(1)弧长为3π.圆心角为135°的扇形的半径为　________　，面积为　________　. 解析：因为135°＝eq \f(135π,180)＝eq \f(3π,4)，所以扇形的半径为eq \f(3π,\f(3π,4))＝4，面积为eq \f(1,2)×3π×4＝6π. 答案：4　6π (2)已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，所以l＝40－2r， 所以S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×(40－2r)r＝－(r－10)2＋100. 所以当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，这时θ＝eq \f(l,r)＝eq \f(40－2×10,10)＝2 rad. 1．已知α＝－3 rad.则α是(　　) A．第一象限角　　　　 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：C　[∵－π<－3 rad<－eq \f(π,2)，∴－3 rad是第三象限角．] 2．将－300°化为弧度数为(　　) A．－eq \f(4,3)π B．－eq \f(5,3)π C．－eq \f(7,6)π D．－eq \f(7π,4) 解析： B　[－300°＝－300×eq \f(π,180)＝－eq \f(5π,3).] 3．角eq \f(25π,6)是第　________　象限角． 解析：∵eq \f(25π,6)＝eq \f(π,6)＋4π，∴eq \f(25π,6)与eq \f(π,6)终边相同， ∴eq \f(25π,6)是第一象限角． 答案：一 4.如图，扇形AOB的面积是1，它的弧长是2，则扇形的圆心角α的弧度数为　____________　；弦AB的长为　________　. 解析：设扇形半径为r，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,2)αr2＝1，,αr＝2，)) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(α＝2，,r＝1.)) ∴AB的长为2rsineq \f(α,2)＝2sin 1. 答案：2　2sin 1 5．已知α＝－800°. (1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))． 解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝eq \f(14,9)π， ∴α＝－800°＝eq \f(14π,9)＋(－3)×2π. ∵α与角eq \f(14π,9)终边相同，∴α是第四象限角． (2)∵与α终边相同的角可写为2kπ＋eq \f(14π,9)，k∈Z的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2kπ＋eq \f(14π,9)，k∈Z. 又γ∈(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))，∴－eq \f(π,2)<2kπ＋eq \f(14π,9)<eq \f(π,2)，k∈Z， 解得k＝－1，∴γ＝－2π＋eq \f(14π,9)＝－eq \f(4π,9). $