7.1.1 角的推广-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

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一条射线绕其端点按　顺时针　方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作　任何　旋转形成的角 1.当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？ 提示：不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)并没有确定，所以角也就不能确定． 2．你能说出角的三要素吗？ 提示：角的三要素是顶点、始边、终边． 3．正角、负角、零角是根据什么区分的？ 提示：根据组成角的射线的旋转方向． 4．如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？ 提示：不一定，零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的角不一定是零角，如360°，－360°等，角的大小不是根据始边、终边的位置，而是根据射线的旋转． [知识点二]　平面直角坐标系中的任意角　 1．象限角 在平面直角坐标系中，若角的顶点与　原点　重合，角的始边与　x　轴的非负半轴重合，那么，角的　终边　在第几象限，就说这个角是第几　象限角　；如果角的终边在　坐标轴上　，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．各象限角的集合 象限角 象限角α的集合表示 第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z} 第二象限角 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z} 第三象限角 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z} 第四象限角 {α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z} 3.终边落在坐标轴上的角 终边落在x轴的非负半轴上的角的集合 {α|α＝k·360°，k∈Z} 终边落在x轴的非正半轴上的角的集合 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} 终边落在x轴上的角的集合 {α|α＝k·180°，k∈Z} 终边落在y轴的非负半轴上的角的集合 {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z} 终边落在y轴的非正半轴上的角的集合 {α|α＝k·360°＋270°.k∈Z} 终边落在y轴上的角的集合 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z} 终边落在坐标轴上的角的集合 {α|α＝k·90°，k∈Z} 4.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝　{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}　，即任一与角α终边相同的角都可以表示成角α与　整数个周角　的和． 5．对终边相同的角的理解 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成一个集合，它们彼此相差k·360°(k∈Z)，即S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． (1)终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合． (2)α是任意角且k为整数． (3)k·360°与α之间用“＋”号连接． (4)终边相同的角的表示形式不唯一，如{x|x＝k·360°－90°，k∈Z}与{x|x＝k·360°＋270°，k∈Z}均表示终边在y轴的非正半轴上的角的集合． 5.相等的角终边一定相同吗？不相等的角终边一定不同吗？ 提示：相等的角终边一定相同；不相等的角终边可能相同，也可能不同． 6．角β＝α＋k·720°，k∈Z，β与α终边相同吗？ 提示：β＝α＋2k·360°，故β与α 终边相同． 7．把一个角放在平面直角坐标系中时，这个角是否一定就是某一个象限的角？ 提示：不一定．因为象限角是指的当角的始边与x轴的非负半轴重合时，终边在哪个象限，我们就说这个角是第几象限角．如果一个角的终边在坐标轴上时，我们认为这个角不在任何象限内，又叫轴线角． 8．若角α，β满足S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z)时，角α，β是否是终边相同的角？ 提示：当角α，β满足S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}时，表示角α与β相隔整数个周角，即角α，β终边相同． [预习自测] 1．下列各命题正确的是(　　) A．终边相同的角一定相等 B．第一象限角都是锐角 C．锐角都是第一象限角 D．小于90°的角都是锐角 答案：C 2．－1 060°的角终边落在(　　) A．第一象限　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：A　[因为－1 060°＝－3×360°＋20°，所以－1 060°的角终边落在第一象限．] 3．在(－360°，0°)内与角1 250°终边相同的角是　________　. 解析：与1 250°角的终边相同的角α＝1 250°＋k·360°， ∵－360°<α<0°，∴－eq \f(161,36)<k<－eq \f(125,36)， ∵k∈Z，∴k＝－4，∴α＝－190°. 答案：－190° [思路点拨]　利用任意角的概念判断． 任意角的概念 [例1] (1)下列结论： ①三角形的内角必是第一、二象限角； ②始边相同而终边不同的角一定不相等； ③小于90°的角是第一象限角； ④钝角比第三象限角小； ⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角． 其中正确的结论为　________　(填序号)． [解析]　①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确； ②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确； ③小于90°的角可以是0°角，也可以是负角，故③不正确； ④钝角大于－100°，而－100°的角是第三象限角，故④不正确； ⑤0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤不正确． [答案]　② (2)若钟表的时针走过了2小时40分，则分针转过的角度为(　　) A．80°　　　　　　　　 B．－80° C．960° D．－960° 解析：D　[∵40÷60＝eq \f(2,3)，∴360°×eq \f(2,3)＝240°.∵分针是顺时针旋转，∴时针走过2小时40分，分针转过的角的度数为－2×360°－240°＝－960°，故选D.] 理解与角的概念有关问题的关键 关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需要举一个反例即可． [变式训练] 1．给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为(　　) A．1　 B．2　　 C．3　　 D．4 解析：D　[①－15°在第四象限； ②180°<185°<270°在第三象限； ③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°在第二象限； ④－350°＝－360°＋10°是第一象限角． 所以四个结论都是正确的．] 　 终边相同的角 [例2] 已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°. [思路点拨]　解答本题(1)用α除以360°，使余数为正，且使余数在[0°，360°)即可；(2)根据终边相同角的定义，用公式α＋k·360°列不等式求解． [解]　(1)∵－1 910°÷360°＝－6余250°， ∴－1 910°＝－6×360°＋250°， ∴β＝250°，从而α＝－6×360°＋250°是第三象限角． (2)令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)， ∵－720°≤θ<0°， ∴－720°≤250°＋k·360°<0°， 即－eq \f(97,36)≤k<－eq \f(25,36). ∵k∈Z，∴k＝－1或－2. 即250°＋(－1)·360°＝－110°， 250°＋(－2)·360°＝－470°. ∴θ＝－110°或θ＝－470°. 1．终边落在直线上的角的集合的步骤 (1)写出在0°～360°范围内相应的角． (2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合． (3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁． 2．终边相同角常用的三个结论 (1)终边相同的角之间相差360°的整数倍． (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍． (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍． [变式训练] 2．在与530°角终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)在区间[－720°，－360°)内的角． 解析：与530°角终边相同的角为k·360°＋530°，k∈Z. (1)由－360°<k·360°＋530°<0°且k∈Z，可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°. (2)由0°<k·360°＋530°<360°且k∈Z，可得k＝－1，故所求的最小正角为170°. (3)由－720°≤k·360°＋530°<－360°且k∈Z，可得k＝－3.故所求的角为－550°. 区间角 [例3] 设A＝{α|90°＋k·360°≤α≤180°＋k·360°，k∈Z}，B为终边在如图所示阴影部分中的角的集合，求A∩B. [思路点拨]　先写出集合B，再求A∩B. [解]　图中的阴影部分表示终边由－45°逆时针旋转到120°的所有角，故B＝{α|－45°＋k·360°<α<120°＋k·360°，k∈Z}(注意不含边界)， 又∵A＝{α|90°＋k·360°≤α≤180°＋k·360°，k∈Z}， ∴A∩B＝{α|90°＋k·360°≤α<120°＋k·360°，k∈Z}． 区间角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步： (1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； (2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，注意，若含边界，则不等式中应带“＝”； (3)起始、终止边界对应角α、β，再加上360°的整数倍，即得区间角集合． [变式训练] 3.如图，角α终边在图中阴影部分，试指出角α的范围． 解：与30°角的终边在一条直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，与180°－75°＝105°角的终边在一条直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，在图中阴影部分的角α的范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}． 　　　 象限角的判断 [例4] 已知α为第二象限角，问2α，eq \f(α,2)分别是第几象限角？ [思路点拨]　由角α为第二象限角，可以写出α的范围：90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，在此基础上可以写出2α，eq \f(α,2)的范围，进而可以判断出它们所在的象限． [解]　∵90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z ∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°.k∈Z ∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角． 同理45°＋eq \f(k,2)·360°<eq \f(α,2)<90°＋eq \f(k,2)·360°. 当k为偶数时，不妨令k＝2n，n∈Z，则45°＋n·360°<eq \f(α,2)<90°＋n·360°，此时，eq \f(α,2)为第一象限角； 当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z，则225°＋n·360°<eq \f(α,2)<270°＋n·360°，此时，eq \f(α,2)为第三象限角． ∴eq \f(α,2)为第一或第三象限角． (1)解决此类问题，要先确定α的范围，进一步确定出nα或eq \f(α,n)的范围，再根据k与n的关系进行讨论． (2)一般地，要确定eq \f(α,n)所在的象限，可以作出n等分各个象限的从原点出发的射线，它们与坐标轴把周角等分成4n个区域，从x轴的正半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上号码1、2、3、4，则标号是几的区域，就是α为第几象限角时，eq \f(α,n)终边可能落在的区域，eq \f(α,n)所在的象限就可直观地看出． 例如，已知角α所在的象限，可用如图求角eq \f(α,2)所在的象限，也可以用下表来表示： α所在的象限 一 二 三 四 eq \f(α,2)所在的象限 一、三 一、三 二、四 二、四 (3)这类问题也可采用特值法判断角的终边位置，如本例中eq \f(α,2)，45°＋k·180°<eq \f(α,2)<90°＋k·180°，k∈Z，令k＝1,2,3,4分别得eq \f(α,2)的终边位于第三、一、三、一象限，如此循环往复，从而可断定eq \f(α,2)是第一或第三象限角． [变式训练] 4．若α是第二象限角，则eq \f(α,3)是(　　) A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第四象限的角 D．第一象限或第二象限或第四象限角 解析：D　[∵90°＋k·360°＜α＜180°＋360°·k　k∈Z ∴30°＋120°·k＜eq \f(α,3)＜60°＋120°·k　k∈Z 当k＝0时，30°＜eq \f(α,3)＜60°，eq \f(α,3)是第一象限角． 当k＝1时，150°＜eq \f(α,3)＜180°，eq \f(α,3)是第二象限角． 当k＝2时，270°＜eq \f(α,3)＜300°，eq \f(α,3)是第四象限角．] 1．下列命题中正确的是(　　) A．终边在y轴的非负半轴上的角一定是直角 B．第二象限角一定是钝角 C．第四象限角一定是负角 D．始边相同而终边不同的角一定不相等 解析：D　[A中的角应与直角终边相同，B中如480°不是钝角，C中如300°不是负角，只有D正确．] 2．与600°终边相同的角表示为(k∈Z)(　　) A．k·360°＋220°　　　　 B．k·360°＋240° C．k·360°＋60° D．k·360°＋260° 解析：B　[600°＝240°＋360°， ∴600°与240°终边相同． ∴与600°终边相同的角即为与240°终边相同． ∴选B.] 3．已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝　________　. 解析：因为α与120°角终边相同， 故有α＝k·360°＋120°，k∈Z. 又因为－990°<α<－630°， 所以－990°<k·360°＋120°<－630°， 即－1 110°<k·360°<－750°. 当k＝－3时，α＝(－3)×360°＋120°＝－960°. 答案：－960° 4.集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}中角表示的范围(用阴影表示)是图中的　________　(填序号)． 解析：集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，x∈Z}中，当k为偶数时，此集合与{α|0°≤α≤45°}表示终边相同的角，位于第一象限；当k为奇数时，此集合与{α|180°≤α≤225°}表示终边相同的角，位于第三象限．所以集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}中角表示的范围为图②所示． 答案：② 5．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题： (1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？ (2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式． 解：(1)令－360°<30°＋k·90°<360°，得－eq \f(13,3)<k<eq \f(11,3)，又∵k∈Z，∴k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，∴集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°. (2)∵集合M中的第二象限角与120°角的终边相同， ∴β＝120°＋k·360°，k∈Z. $