安徽合肥市瑶海区2025-2026学年九年级上学期期末数学模拟练习卷

安徽省合肥市瑶海区2025-2026学年九上期末数学模拟练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在反比例函数的图象上，当时，y随x的减小而增大，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 3．如图，已知一坡面的坡度，则坡角的度数为（   ）． A． B． C． D． 4．在半径为的中，若的弧长为，则弦的长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，已知和相似，且的面积是的，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．已知二次函数的顶点，与轴的一个交点在和之间不含端点，如图所示，有以下结论：；；；方程有两个相等的实数根其中结论正确的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，点在外，且，交延长线于点，，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 10．如图，在平行四边形中，，点分别是边上的动点，连接，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（   ） A．2 B． C．1 D． 二、填空题 11． ． 12．如图，在中，，若弦，则 ．      13．已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，当﹣2≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围为 ． 14．如图，在菱形中，点P是上一点，将沿着折叠，得到，连接． （1）若，，则的度数为 ； （2）点Q是的中点，若，，则的最小值为 ． 三、解答题 15．已知抛物线过点，对称轴为直线，且与y轴交于点，求抛物线的表达式． 16．如图，在中，，将绕点逆时针旋转后得到，连接，． (1)求的长； (2)求的长． 17．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到；直接写出的坐标： ； (2)将绕原点顺时针方向旋转得到，直接写出的坐标： ； (3)过点B作的角平分线，交于D，画出线段．（保留作图痕迹） 18．如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象交于A（2，m），B（n，﹣2）两点．过点B作BC⊥x轴，垂足为C，且S△ABC＝5． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式k1x+b＞的解集； （3）若P（p，y1），Q（﹣2，y2）是函数y＝图象上的两点，且y1≥y2，求实数p的取值范围．    19．如图，在处有一灯塔，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔45海里的处，该轮船沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，求此时轮船与灯塔的距离．（参考数据：，，） 20．如图，是的直径，交于点D，点C为上方上一点，连接，，与交于点E，过点C作的切线交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 21．如图，①已知D、E分别为边上一点，，连接、相交于点F，连接并延长分别交于点H， (1)求证：G为中点； (2)如图②，只用一把无刻度的直尺画出矩形的一条对称轴. 22．如图，用长为的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为，窗户的透光面积为．（铝合金条的宽度不计） (1)求出与的函数关系式． (2)如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积． 23．如图，是的直径，点C为上一点，连接，点D在的延长线上，点E在上，过点E作的垂线分别交的延长线于点F，交于点G，且． (1)求证：是的切线； (2)求证：． (3)若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《安徽省合肥市瑶海区合肥市第三十八中学2023-2024学年九年级上学期期末数学猜想试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C B C B B D D D 1．C 【分析】本题主要考查了反比函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．反比例函数，当时，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小，据此即可求解． 【详解】解：∵当时，y随x的减小而增大， ∴， 解得：． 故选：C． 2．B 【分析】本题主要考查了勾股定理，余弦，相似三角形的性质和判定， 根据余弦求出，再根据勾股定理求出，然后说明，最后根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， . 故选：B． 3．C 【分析】本题主要考查坡度坡角，根据坡度即为坡角的正切值求解即可． 【详解】解：∵， ∴坡角． 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了弧长公式，勾股定理，圆周角定理，解题关键是利用勾股定理求出弦长． 先求出所对的圆心角的度数，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：设所对的圆心角为， 半径为的弧长为， ∴，解得：， 所对的圆心角为， ∴， ∴弦的长为． 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了相似多边形，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，由和相似，且的面积是的，则，所以，又，得，然后证明，得，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵和相似，且的面积是的， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6．B 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形的面积之比等于位似比的平方和位似图形的性质得到，，则，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选；B． 7．B 【分析】本题考查了解直角三角形，过点A作于点，由可求出，由勾股定理求出，由可求出，在中由勾股定理得． 【详解】解：过点A作于点，如图， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，． 故选：B． 8．D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的图象与性质进行排除选项． 【详解】解：由图象可知：开口向下，即，顶点，则该二次函数的对称轴为直线，即，抛物线与x轴有两个交点，则有，故①正确； ∵对称轴为直线，且与轴的一个交点在和之间不含端点， ∴根据二次函数的对称性可知：二次函数与x轴的另一个交点坐标在和之间不含端点， ∴由函数图象可知：当时，则，故②正确； 当时，则有，故③正确； 由方程可变形为，即可看作方程的解是直线与二次函数交点的横坐标，由题意可知：该方程的解有两个相等的实数根，故④正确； 故选D． 9．D 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，过点作于点，解直角三角形得出，结合勾股定理可得，从而得出，，证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴（负值舍去）， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 10．D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，中位线的定义和性质，勾股定理， 先根据中位线的定义和性质可得，再根据“垂线段最短”可知当时，最小时，即最小，然后根据平行四边形的性质和直角三角形的性质求出，最后根据勾股定理求出，则答案可得. 【详解】解：如图所示，连接， ∵点E是的中点，点F是的中点， ∴是的中位线， ∴， 可知最小时，最小， 根据“垂线段最短”可知当时，最小时，即最小，如图， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴的最小值为． 故选：D． 11．0 【分析】先算特殊角的三角函数值，再进行减法运算即可． 【详解】解：； 故答案为：0． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 12． 【分析】根据等边对等角得出，再求出，根据圆周角定理得出，根据平行线的性质得出，得出根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，平行线的性质，三角形内角和定理，正确理解题意是解题的关键． 13．-5≤y≤4 【详解】解：y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4． ∵x=﹣1时，y=4，x=2时，y=﹣4﹣4+3=﹣5， ∴当﹣2≤x≤2时，﹣5≤y≤4． 故答案为﹣5≤y≤4． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是得出二次函数顶点坐标． 14． 41 / 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠与轴对称等知识， （1）根据折叠可得，再根据三角形内角和定理可得结论； （2）延长至点F，使得，连接，，则是的中位线，证明是等边三角形，求出，，从而可得结论 【详解】解：（1）由折叠和菱形的定义可知，，， 则， ， 故答案为：41； （2）延长至点F，使得，连接，， 则是的中位线， ， 当取最小值时，有最小值． 连接， ∵四边形是菱形， ∴ 又， ∴是等边三角形， 则，， ∴ ∴垂足为， ∴， ∴ ∴ ∴． 由折叠可知， 又， ， 当点B，E，F共线时，有最小值， 此时的最小值为， 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，根据对称轴计算公式可得，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线过点，且与y轴交于点， ∴ ∴， ∴抛物线解析式为． 16．(1) (2) 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质和勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）根据旋转的性质可得，则为等边三角形，则； （2）由旋转得，由（1）得，最后通过勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由旋转得， 为等边三角形， ； （2）解：由旋转得， 由（1）可知， ， 在中， ． 17．(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，依次连接即可得出，再根据作图写出的坐标即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点，即可得出，再根据作图写出的坐标即可． （3）由图可知，，在轴上取点，可知，连接交轴于点，可知为中点，连接，根据等腰三角形“三线合一”，可知平分，即为所求线段． 【详解】（1）解：如图所示，为所求作的三角形，； （2）解：如图所示，为所求作的三角形，； （3）解：如图所示，即为所求线段． 【点睛】本题考查作图—平移变换，旋转变换，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握平移变换的性质，旋转变换． 18．（1），；（2）﹣3＜x＜0或x＞2；（3）或． 【分析】（1）把、的坐标代入反比例函数解析式求出，过作轴于，过作轴于，延长、交于，求出梯形的面积和的面积，即可得出关于的方程，求出的值，得出、的坐标，代入反比例函数和一次函数的解析式，即可求出答案； （2）根据、的横坐标，结合图象即可得出答案； （3）分为两种情况：当点在第三象限时和当点在第一象限时，根据坐标和图象即可得出答案． 【详解】解：（1）把，代入得：， 即，    则， 过作轴于，过作轴于，延长、交于， ，， ，，， ，解得：， 即，， 把代入得：， 即反比例函数的解析式是； 把，代入得：， 解得：，， 即一次函数的解析式是； （2），， 不等式的解集是或； （3）分为两种情况：当点在第三象限时，要使，实数的取值范围是， 当点在第一象限时，要使，实数的取值范围是， 即的取值范围是或． 【点睛】本题考查了一次函数的反比例函数的交点问题，用待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式，一次函数和反比例函数的图象和性质，不等式和三角形的面积等知识点，熟悉相关性质，利用数形结合和思想解决，是解题的关键． 19．此时轮船与灯塔的距离约为75海里 【分析】由题意可知，，，，可求，，在中应用正弦函数即可求解，本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：掌握锐角三角函数的定义． 【详解】解：如图所示标注字母， 根据题意得：，，，， ，， 在中， （海里）， 故答案为：此时轮船与灯塔的距离约为75海里． 20．(1)证明见详解 (2)3 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质及勾股定理等知识点． （1）连接，则，所以，由切线的性质得，而，则，所以，，则； （2）由，，，得，且，则，求得的值，进而求得的半径． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∴， ∴， ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴，且， ∴，解得， ∴． 21．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质： （1）根据得到，，，，列出比例式，再得到，故可求解； （2）①连接，两线交于点．②在矩形外任取一点E，连接，分别交于点G，H③连接，两线交于点．④作直线，交于点M．⑤作直线．直线就是矩形的一条对称轴． 【详解】（1）证明：∵ ∴，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴G为中点； （2）解：如图③，直线即为所求． 22．(1)； (2)窗框的长和宽分别为和时才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）先分析“日”字形窗框的边长组成：3条宽2条长，结合铝合金条总长度，用宽表示出长，再根据长方形面积公式列出与的函数关系式； （2）先判断二次函数的开口方向，再利用二次函数顶点坐标公式求出宽的取值，进而算出长，最后代入函数式求出最大面积． 【详解】（1）解：“日”字形窗框由条宽（均为）和条长组成，铝合金条总长为， 长，解得长为， 由宽和长，解得， 透光面积． 答：． （2）解：由（1）可知：和是二次函数关系，且， 故函数有最大值， 当时，长为， ． 答：窗框的长和宽分别为和时才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为． 23．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，可知，得，进而可证得，证明，进而可证得结论； （2）根据切线的性质得出，根据已知得出，又，则，证明，进而可证得结论； （3）由（1）得，勾股定理求得，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵点C在上， ∴是的切线； （2）证明：由题意知，， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∴， 由（1）得，， ∵，， ∴， ∴， 设， 由（2）可得， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定及性质，相似三角形的性质与判定，等角对等边，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $