精品解析：四川攀枝花市2025-2026学年上学期教学质量监测样卷高二数学

2025-2026学年度（上）教学质量监测样卷 高二数学 满分150分.考试时间120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线在轴上的截距为1，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 2. 已知平面的法向量分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 数列的第6项是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，两点，以线段AB为直径的圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在直三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 直线与圆交于两点，则的最小值为 （ ） A. B. 2 C. D. 4 7. 长度为1，3，7，9，的5条线段，它们长度的平均数与中位数相同.现从中任取3条线段，则这3条线段能构成一个三角形的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 8. 设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点，直线交双曲线于另一点，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 若事件A与事件B是互斥事件，则 B. 若事件A与事件B是对立事件，则 C. 某人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件 D. 把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件 10. 设等差数列的前项和为，，公差为，，，则（ ） A. B. 当时，取得最大值 C. D. 使得成立的最大自然数是9 11. 已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，点为抛物线上异于原点的两个动点，且，作交直线于点，则 （ ） A. 当直线的斜率为2时，线段的中点在直线上 B. 直线恒过定点 C. 存在一个定点，使得为定值 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15 分. 12. 假设，且相互独立，则___________________. 13. 如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则______. 14. 在平面直角坐标系中，和分别是与轴和轴方向相同的单位向量，向量满足，向量满足，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列中，，数列的前项和为，且. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知双曲线过点，渐近线方程为. （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线交于两点，且，求的值. 17. 某校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图： （1）估计该校高一期中数学考试成绩的平均分； （2）估计该校高一期中数学考试成绩的第百分位数； （3）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取．名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率． 18. 如图，在矩形中，，为的中点，将沿直线折起到，使得平面平面，连接. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）点均在球的球面上，求三棱锥的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（上）教学质量监测样卷 高二数学 满分150分.考试时间120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线在轴上的截距为1，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线截距的定义求解即可. 【详解】直线在轴上的截距为1，则直线过点， 所以，解得：; 故选：C 2. 已知平面的法向量分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量平行的坐标公式求解. 【详解】，平面的法向量分别为，， ，， ，， ，，，. 故选：B. 3. 数列的第6项是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察数列的分子为项数的平方、分母为项数的倍减，写出通项公式后代入即可求得第项. 【详解】第一项： 第二项： 第三项： 第四项： 所以通项公式为：，则第六项为：. 故选：A 4. 已知，两点，以线段AB为直径的圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由中点坐标公式求出的中点坐标即为圆心，再根据两点间的距离公式求出的长即直径，即可求得圆的标准方程. 【详解】由，，知的中点坐标为， 且， 则以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径， 所以圆的标准方程为， 故选：D 5. 如图，在直三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值. 【详解】因为三棱柱是直三棱柱，且， 所以以B为原点、AB所在直线为x轴、BC所在直线为y轴、所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 因为，所以， 故． 设为平面的一个法向量， 则， 令，得． 设直线与平面，所成的角为， 则， 故选：A． 6. 直线与圆交于两点，则的最小值为 （ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的定点，利用圆的性质即可求出的最小值. 【详解】直线，则, 令，解得：, 所以直线的定点为， 由于圆，则圆心，半径, 则 当时，取最小值，此时, 故选：C 7. 长度为1，3，7，9，的5条线段，它们长度的平均数与中位数相同.现从中任取3条线段，则这3条线段能构成一个三角形的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】B 【解析】 【分析】求出平均数为，它们长度的平均数与中位数相同，分别按照，，三种情况讨论得到，利用古典概型列出所有的可能取法，利用构成三角形的三边关系列出这3条线段能构成一个三角形的取法，从而得到这3条线段能构成一个三角形的概率. 【详解】长度为1，3，7，9，的平均数为， 它们长度的平均数与中位数相同， 当，中位数为，则，解得， ，不符合题意； 当，中位数为，则，解得， ，符合题意； 当，中位数为，则，解得， ，不符合题意； 综上可得，， 这条线段为， 现从中任取3条线段，所有的取法有， ，共种取法， 其中这3条线段能构成一个三角形的组合有，共种取法， 故这3条线段能构成一个三角形的概率为. 故选：B. 8. 设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点，直线交双曲线于另一点，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，设，，由双曲线的定义得，在中，由余弦定理得，最后由离心率的公式即可求解. 【详解】设双曲线的左焦点为，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 所以，， 设，， 所以， 又，即，所以， 又，所以， 在中，由余弦定理得：， 所以，所以， 所以， 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 若事件A与事件B是互斥事件，则 B. 若事件A与事件B是对立事件，则 C. 某人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件 D. 把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件的概念判断即可. 【详解】解：事件与事件互斥，则不可能同时发生，所以，故A正确； 事件与事件是对立事件，则事件即为事件，所以，故B正确； 事件“至少两次中靶”与“至多一次中靶”不可能同时发生，且二者必发生其一，所以为对立事件，故C正确； “甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生，即“丙分得的是红牌”，所以不是互斥事件，故D错误． 故选：ABC 10. 设等差数列的前项和为，，公差为，，，则（ ） A. B. 当时，取得最大值 C. D. 使得成立的最大自然数是9 【答案】AB 【解析】 【分析】根据等差数列等差中项的性质，求和公式及单调性分别判断. 【详解】因为，， 所以，则，故A正确; 当时,取得最大值，故B正确; ，故C不正确; 因为，， 所以使得成立的最大自然数是，故D错误. 故选：AB． 11. 已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，点为抛物线上异于原点的两个动点，且，作交直线于点，则 （ ） A. 当直线的斜率为2时，线段的中点在直线上 B. 直线恒过定点 C. 存在一个定点，使得为定值 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出椭圆的右焦点，由抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，得到抛物线的焦点，则此焦点的横坐标为，解出的值，从而得到抛物线的标准方程，由得到从而得到，对于选项A，设直线的方程，直线和抛物线联立方程组，利用根与系数的关系得到，由在直线上，求出用表示的式子，求出，代入，计算得到的值，从而得到，即为的中点的纵坐标，从而得到结论；对于选项B，按照直线的斜率不存在和存在两个情况讨论求解，当直线存在斜率时，设直线的方程为，直线和抛物线联立，利用根与系数的关系求出，，代入，经过计算得到，代入直线的方程为中得到直线恒过定点；对于选项C，由直线恒过定点，结合交直线于点，得到的轨迹是以为直径的圆上的点（除去原点），且圆心为，故存在一个定点为此圆的圆心，使得为定值；对于选项D，在抛物线上得到，求出，，由得到，计算出，利用二次函数的图像得到最小值，从而得到结论. 【详解】，，，右焦点为， 抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的焦点， ，，抛物线的标准方程为， ，， ，，， 对于选项A，直线的斜率为2， 设直线的方程为， 为抛物线上异于原点的两个动点，， 将代入中，得到， ，即， ， 在直线上， ， ， ， ， ，，， ，，， ，， ， ， ，的中点的纵坐标为， 当直线的斜率为2时， 线段的中点在直线上，故选项A正确； 对于选项B，当直线不存在斜率时， 直线的方程为，， ，，， 在抛物线上， ，，，或， 为抛物线上异于原点的点，，， ，直线过点， 当直线存在斜率时，设直线的方程为， 由解得，将代入， 得到，即，则， ，， ，，， ，，， 直线的方程为， 直线的方程为， 直线恒过定点， 综上可知，直线恒过定点，故选项B错误； 对于选项C，直线恒过定点， 交直线于点， 的轨迹是以为直径的圆上的点（除去原点），且圆心为， 存在一个定点，使得为定值，其定值为半径，故选项C正确； 对于选项D， 在抛物线上，， ， 同理， ，， ，，， ，，， ，， ， 对称轴为，开口向上，的最小值在对称轴处取得， 且最小值为，，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15 分. 12. 假设，且相互独立，则___________________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据条件，利用和事件及相互独立事件同时发生的概率公式即可求出结果. 【详解】因为，且相互独立，则 则， 故答案为： 13. 如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据式子，根据空间向量数量积的运算律即可求出的长. 【详解】由条件知，，， 又二面角的平面角为，则， 所以 ，所以. 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，和分别是与轴和轴方向相同的单位向量，向量满足，向量满足，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用向量的坐标运算求出两个轨迹方程，再根据向量线性运算及模的定义将的最大值转化为求的最大值，进而转化为圆上的点到椭圆上点的最远距离问题，设，则，结合正弦函数性质和二次函数性质求解最大值，即可得解. 【详解】因为和分别是与轴和轴方向相同的单位向量， 所以，， 设，由可得： ， 表示动点到两点的距离之和为， 则， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，， 则点的轨迹方程为：， 设，由可得：， 表示动点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 所以动点的轨迹方程为， ，的最大值表示圆上的点到椭圆上点的最远距离， 即为圆心A到椭圆上点的最大距离加上半径， ，设， 则 ， 设， 当时，取最大值，且最大值为， 所以的最大值为，的最大值为， 所以的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列中，，数列的前项和为，且. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的定义得到是等差数列，利用等差数列的通项公式求出，利用和的关系求出； （2）求出，利用等差数列的定义得到是等差数列，利用等差数列的求和公式求出. 【小问1详解】 ，是等差数列，公差， ，， ，当时，， 当时， 当时，，适合此等式， 综上可知，； 【小问2详解】 ，，， 即，， ， 是等差数列，， . . 16. 已知双曲线过点，渐近线方程为. （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线交于两点，且，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)依据渐近线方程和已知点得到和值，最后求得双曲线方程. (2)将直线代入双曲线方程得到关于的一元二次方程，利用韦达定理得到根与系数的关系，再用弦长公式求解. 【小问1详解】 以及点代入中，可得， 所以双曲线为. 【小问2详解】 将代入，可得， 设，，则：，，依据弦长公式可得： ， ， 令，则方程变为：，解得或，即或， 由此可得或；原一元二次方程的判别式： ，即， 所有解均满足条件，最终：或. 17. 某校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图： （1）估计该校高一期中数学考试成绩的平均分； （2）估计该校高一期中数学考试成绩的第百分位数； （3）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取．名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率． 【答案】（1）分； （2）分； （3）. 【解析】 【分析】先利用频率之和为，计算出，进而求出平均值即可； 利用百分位数的运算方法，求出成绩的第百分位数； 利用分层抽样取样方法，算出需在分数段内抽人，分别记为，，需在分数段内抽人，分别记为，，，写出样本空间和符合条件样本点数，即可求出相应概率. 【小问1详解】 解：由， 得. 数学成绩在： 频率， 频率， 频率， 频率， 频率， 频率， 样本平均值为：， 可以估计样本数据中数学成绩均值为分， 据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计分． 【小问2详解】 解：由知样本数据中数学考试成绩在分以下所占比例为， 在分以下所占比例为 因此，第百分位数一定位于内，由， 可以估计样本数据的第百分位数约为分， 据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第百分位数约为分. 【小问3详解】 解：由题意可知，分数段的人数为 (人)， 分数段的人数为 (人)． 用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，则需在分数段内抽人，分别记为，，需在分数段内抽人，分别记为，，， 设“从样本中任取人，至少有人在分数段内”为事件， 则样本空间共包含个样本点 而的对立事件包含个样本点 所以，所以，即抽取的这名学生至少有人在内的概率为． 18. 如图，在矩形中，，为的中点，将沿直线折起到，使得平面平面，连接. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）点均在球的球面上，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理可得，结合面面垂直性质可证平面即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，结合向量夹角的余弦公式求解即可； （3）利用外接球心的性质计算可得为的中点，利用，结合三棱锥的体积公式即可求解. 【小问1详解】 在矩形中，，为的中点， 则 所以，。 又，满足， 故， 已知平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 取的中点， 因为， 所以，且， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 由于平面， 所以以为原点，为轴，为轴，过作垂直于平面的直线为轴， 则轴， 所以，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则，， 所以 设平面的一个法向量为， ，则，令，则， 所以， 设平面与平面夹角为， 所以 平面与平面夹角的余弦值为 【小问3详解】 设球心，半径为， 由于 所以，解得：， 则， 所以为的中点， 故， 所以 所以三棱锥的体积为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $