11.3.1 平行直线与异面直线-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦立体几何初步中的空间平行关系，核心内容为平行直线与异面直线。通过课前预习学案奠定基础，课堂互动学案衔接前后知识，构建“预习-互动-巩固-提升”的学习支架，帮助学生逐步建立空间概念。 其亮点是采用分层学案设计，结合数学眼光的空间观念与数学思维的推理能力，如课堂互动引导抽象空间直线关系，随堂练习强化应用。助力学生发展空间想象与逻辑推理能力，也为教师提供结构化资源，提升教学效率。

11．3　空间中的平行关系 11．3.1　平行直线与异面直线 第十一章 立体几何初步 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 课程标准 素养解读 1.了解空间中两条直线的位置关系 2．理解空间平行线的传递性，会证等角定理 3．理解异面直线的概念、画法，了解空间四边形 借助实物理解异面直线的概念，进行两条直线平行的判断，培养学生的直观想象素养与逻辑推理素养 [情境引入] 1．如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？ 提示　不一定．这两条直线可能相交、平行或异面． 2．同一平面内，一个角的两条边与另一个角的两条边分别平行，那么这两个角相等或互补．空间中是否有类似规律？ 提示　有．观察图形有∠AOB＝∠A′O′B′. [知识梳理] [知识点一]　平行直线　 1．平行直线 (1)平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)平行线的传递性 文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质称为空间平行线的传递性． 符号表述：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a∥c))⇒b∥c. 2．等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等． [知识点二]　异面直线　 1．异面直线的定义：异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线．既不相交又不平行的直线．(画法如图所示) 2．异面直线的判定：与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面． 3．空间两条直线的位置关系 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(共面,直线)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点.,平行直线：同一平面内，没有公共点)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.)) [知识点三]　空间四边形　 1.平行公理有什么作用呢？ [提示]　可用于证明空间中两条直线平行，也可用于作空间中直线的平行线． 2．空间中两个角的两边分别对应平行，则这两个角在什么情况下相等，在什么情况下互补呢？ [提示]　观察两个角在空间中张口的相对方向，当方向相同时，两角相等；当方向相反时，两角互补． 3．两条相交直线与另两条相交直线对应平行，它们所成的锐角(或直角)相等吗？ [提示]　相等． [预习自测] 1．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为(　　) A．60° B．120° 　C．30°　 D．60°或120° 解析：D　[由等角定理可知，β为60°或120°.] 2．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，则这两个三角形(　　) A．全等　　　　　 B．相似 C．仅有一个角相等 D．无法判断 解析：B　[由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，所以这两个三角形相似．] 3．下列命题中，真命题有(　　) ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行． A．1个　B．2个　　C．3个　　D．4个 解析：B　[如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，所以①为假命题；如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的大小关系是不确定的，所以③为假命题；②④是真命题．] 4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是　________　. 解析：在△ABC中，∵AE∶EB＝AF∶FC， ∴EF∥BC.又∵BC∥B1C1，∴EF∥B1C1. 答案：平行 　　　平行线的传递性的应用 [例1]　如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点． (1)求证：四边形EFGH是平行四边形； (2)如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形． [思路点拨]　利用平行线的传递性转化． [证明]　(1)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点， 所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝eq \f(1,2)AC， 所以EF∥HG，EF＝HG， 所以四边形EFGH是平行四边形． (2)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点， 所以EH∥BD，EH＝eq \f(1,2)BD. 因为EF＝eq \f(1,2)AC，AC＝BD，所以EH＝EF. 又因为EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形． 证明两条直线平行的方法：(1)定义法，即在同一平面内没有公共点的两条直线是平行线；(2)利用三角形的中位线平行于第三边这一性质；(3)利用平行线的传递性；(4)利用平行四边形的对边互相平行这一性质． [变式训练] 1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．求证：BF綊ED1. 证明：如图．取BB1的中点G，连接GC1，GE. ∵F为CC1的中点，∴BGC1F，∴四边形BGC1F为平行四边形， ∴BFGC1.又∵EGA1B1，A1B1D1C1，∴EGD1C1， ∴四边形EGC1D1为平行四边形，∴ED1GC1.∴BFED1. 空间等角定理及其应用 [例2]　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点．求证：∠EA1F＝∠E1CF1. [思路点拨]　等角定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般再借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情形都有可能． [证明]　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取A1B1的中点M，则BF＝A1M＝eq \f(1,2)AB.连接MF1，MB，F1C.∵BF∥A1M， ∴四边形A1FBM为平行四边形，∴A1F∥BM. ∵F1，M分别为C1D1，A1B1的中点， ∴F1MC1B1. ∵C1B1CB，∴F1MCB， ∴四边形F1MBC为平行四边形， ∴BM∥F1C. 又∵BM∥A1F，∴A1F∥F1C. 取A1D1的中点N， 连接E1C，ND. 同理得A1E∥CE1. ∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且两边方向对应相反， ∴∠EA1F＝∠E1CF1. 1．证明角相等常用以下三种方法：(1)利用三角形相似；(2)利用三角形全等；(3)利用空间等角定理． 2．根据等角定理证明两角相等的步骤：(1)证明两个角的两条边分别对应平行；(2)证明两个角的两条边的方向相同或者相反． [变式训练] 2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，E1分别是棱AD，A1D1的中点．求证：∠BEC＝∠B1E1C1. 证明：如图，连接EE1. ∵E1，E分别为A1D1，AD的中点， ∴A1E1AE， ∴四边形A1E1EA为平行四边形， ∴A1AE1E. 又A1AB1B，∴E1EB1B， ∴四边形E1EBB1是平行四边形． ∴E1B1∥EB.同理E1C1∥EC. 又∠B1E1C1与∠BEC的两边分别对应平行，且方向相同， ∴∠B1E1C1＝∠BEC. 异面直线的判定或证明 [例3]　如图，若点P是△ABC所在平面外一点，PA≠PB，PN⊥AB，N为垂足，M为AB的中点．求证：PN与MC为异面直线． [思路点拨] [证明]　(法一：反证法) 假设PN与MC不是异面直线，则存在一个平面α，使得PN⊂α，MC⊂α，于是P∈α，C∈α，N∈α，M∈α. ∵PA≠PB，PN⊥AB，N为垂足，M是AB的中点，∴点M与点N不重合．∵M∈α，N∈α，∴直线MN⊂α. ∵A∈直线MN，B∈直线MN，∴A∈α，B∈α. 即A，B，C，P四点均在平面α内，这与点P在平面ABC外相矛盾． ∴假设不成立，即PN与MC为异面直线． (法二：判定定理法) ∵PA≠PB，∴点N与点M不重合． ∵N∈平面ABC，P∉平面ABC，CM⊂平面ABC，N∉CM， ∴根据异面直线判定定理可知，直线PN与MC为异面直线． 判定或证明异面直线的方法有两种：(1)定义法，由定义法判定两条直线不可能在同一平面内，常用反证法； (2)判定定理法，过平面外一点与平面内一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线． [变式训练] 3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1，证明直线A1B与B1C，AB与B1C为异面直线． 解：∵直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1内，且没有交点，∴两直线平行，∵直线D1D与直线D1C相交于D1点，点A1，B，B1在平面A1BB1内，而点C不在平面A1BB1内，∴直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面． 1．如果直线a与b没有公共点，那么直线a与b的位置关系是(　　) A．异面　　　　　 B．平行 C．相交 D．平行或异面 解析：D　[由空间中两条直线的位置关系可知，直线a与b的位置关系是平行或异面．] 2．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条(　　) A．相交 B．异面 C．相交或异面 D．平行 解析：C　[如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与BC异面．] 3．如图所示，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱有　________　条． 解析：与AA1异面的棱有BC、B1C1、CD、C1D1共4条． 答案：4 4．如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A1AB相等的角是　________　. 解析：因四棱柱ABCD－A1B1C1D1中AA1∥DD1.又AB∥CD，所以∠A1AB与∠D1DC相等．又由于侧面A1ABB1，D1DCC1为平行四边形，所以∠A1AB与∠A1B1B，∠D1C1C也相等． 答案：∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B 5．在棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别为棱CD，AD的中点．求证：四边形MNA′C′是梯形． 证明：如图，连接AC. ∵M，N分别为棱CD，AD的中点， ∴MNeq \f(1,2)AC. 由正方体的性质可知ACA′C′， ∴MNeq \f(1,2)A′C′，∴A′N与MC′相交， 即A′N不平行于MC′，MN平行于A′C′， ∴四边形MNA′C′是梯形． $