11.1.3 多面体与棱柱-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦“立体几何初步”核心内容，涵盖多面体与棱柱等知识点，通过课前预习学案奠定基础，课堂互动学案衔接前后知识，构建“预习-互动-练习-提升”的学习支架，帮助学生逐步建立空间观念。 其亮点在于分阶段学案设计，课前预习引导学生用数学眼光观察空间形式，课堂互动通过问题探究发展数学思维（推理能力），随堂与课后练习强化数学语言表达（符号与模型运用）。学生能深化空间观念和逻辑推理，教师可依托清晰流程提升教学效率。

11.1.3　多面体与棱柱 第十一章 立体几何初步 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 课程标准 素养解读 1.认识和了解多面体，可按不同标准对多面体分类． 2．认识和把握棱柱的几何结构特征，会求棱柱的表面积. 利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识棱柱的结构特征，培养学生的数学抽象素养，提升直观想象素养. [情境引入] 　在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分．如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫作空间几何体． [知识梳理] [知识点一]　多面体　 1．定义：由若干个平面多边形所围成的几何体叫做多面体． 2．多面体中涉及的概念(如图所示) (1)多面体的面、棱与顶点：围成多面体的各个多边形称为多面体的　面　，相邻两个面的公共边称为多面体的　棱　，棱与棱的公共点称为多面体的　顶点　. (2)多面体的面对角线与体对角线：一个多面体中，连接同一面上两个顶点的线段，如果不是多面体的棱，就称其为多面体的　面对角线　；连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的　体对角线　.如上图所示的多面体中，AC是一条面对角线，而BD′是一条体对角线． (3)多面体的截面与表面积：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)，称为这个几何体的一　个截面　，如上图中多面体的一个截面ACE. 多面体所有面的面积之和称为多面体的表面积(或全面积)． 3．凸多面体：把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则称这样的多面体为　凸多面体　. [知识点二]　棱柱　 1．棱柱的定义 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且　相邻两个四边形的公共边都互相平行　，由这些面所围成的多面体叫作　棱柱　. 2．棱柱的相关概念 (1)棱柱的底面：棱柱中，两个互相平行的面叫作棱柱的底面，它们是全等的多边形． (2)棱柱的侧面：除底面以外的其余各面叫作棱柱的侧面，它们都是平行四边形． (3)棱柱的棱：两个面的公共边叫作棱柱的棱． (4)棱柱的侧棱：相邻侧面的公共边叫作棱柱的侧棱． (5)棱柱的顶点：侧面与底面的公共顶点叫作棱柱的顶点． (6)棱柱的对角线：棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫作棱柱的对角线． (7)棱柱的对角面：过不相邻的两条侧棱的截面叫作棱柱的对角面． 3．棱柱的表示方法：棱柱可以用底面上的顶点来表示，也可用表示它的体对角线来表示，如上图所示的棱柱可表示为棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′，此棱柱也可表示为棱柱AC′. 4．棱柱的高与侧面积：过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱柱的高，棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的侧面积． 5．棱柱的分类： eq \a\vs4\al(棱柱) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(按侧棱与,底面关系)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱,斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱)),按底面的形状：三棱柱、四棱柱、五棱柱等)) 特别地，底面是正多边形的棱柱称为正棱柱． 6．平行六面体与直平行六面体：底面是平行四边形的棱柱也称为平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体． 按照特殊四棱柱的定义，四棱柱、平行六面体、长方体、直平行六面体、正四棱柱、正方体所构成的集合有怎样的关系？ [提示]　{正方体}⊆{正四棱柱}⊆{长方体}⊆{直平行六面体}⊆{平行六面体}⊆{四棱柱}． [预习自测] 1．(多选题)棱柱的侧面都是(　　) A．三角形　　　　　 B．四边形 C．平行四边形 D．矩形 解析：BC　[由棱柱的性质可知，棱柱的侧面都是四边形，且都是平行四边形．] 2．下列关于棱柱的说法中正确的是(　　) A．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 B．棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高 C．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 D．棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行 解析：D　[棱柱底面是平行四边形时为平行六面体，故A错；当侧棱与底面垂直时，侧棱长可以作为棱柱的高，故B错；长方体有3对互相平行的平面，故C错．] 3．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为　________　 cm. 解析：由已知，该棱柱为5棱柱，所以每条侧棱长为60÷5＝12(cm)． 答案：12 对多面体概念的理解和应用 [例1]　根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称： (1)由6个平行四边形围成的几何体； (2)由7个面围成，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形； (3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点． [思路点拨]　根据多面体的概念求解． [解]　(1)是一个上、下底面为平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱(也称平行六面体)． (2)是一个六棱锥，其中六边形是底面，其余的三角形面是侧面． (3)是一个三棱台，其中相似的两个三角形面为底面，其余三个梯形面是侧面． 紧扣多面体的定义，以形状，侧面及它们的位置关系判断． [变式训练] 1．如图所示为长方体ABCD－A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱． 解：截面BCFE上方部分是棱柱BB′E－CC′F，其中平面BB′E和平面CC′F是其底面，BC，B′C′，EF是其侧棱．截面BCFE下方部分是棱柱ABEA′－DCFD′，其中平面ABEA′和DCFD′是其底面，AD，BC，EF，A′D′是其侧棱 棱柱的结构特征 [例2]　(多选题)下列关于棱柱的说法正确的是(　　) A．所有的面都是平行四边形 B．每一个面都不会是三角形 C．两底面平行，并且各侧棱也平行 D．被平面截成的两部分可以都是棱柱 [思路点拨]　概念辨析题常用方法：①利用常见几何体举反例；②从底面多边形的形状、侧面形状及它们之间的位置关系，侧棱与底面的位置关系等角度紧扣定义判断． [解析]　A错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；B错误，棱柱的底面可以是三角形；C正确，由棱柱的定义易知；D正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的是C，D. [答案]　CD 棱柱结构的辨析方法 (1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义． ①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形． ②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行． (2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除． [变式训练] 2．(多选题)下列关于棱柱的说法正确的是(　　) A．所有的棱柱两个底面都平行 B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行 C．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 D．棱柱至少有五个面 解析：ABD　[对于A、B、D，显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的；有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体叫做棱柱，显然题中漏掉了“且该多面体的顶点都在这两个面上”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱，如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误．] 直棱柱的有关计算 [例3]　现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积． [思路点拨]　直棱柱侧面积S侧为各侧面矩形面积之和，S表＝S侧－2S底； [解]　如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O， 体对角线A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92， ∴a2＝200，b2＝56. ∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BD,2)))2＝eq \f(a2＋b2,4)＝eq \f(200＋56,4)＝64，∴AB＝8.∴直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160. S表＝S侧＋SABCD＋＝160＋2×eq \f(1,2)BD·AC＝160＋40eq \r(7). 棱柱侧面积、表面积求法技巧 多面体的侧面积是所有侧面的面积之和，表面积是各个面的面积之和，计算面积时，需要将几何体展开为平面图形求解． [变式训练] 3．(1)已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是(　　) A．30 eq \r(34)　　　　　　 B．60eq \r(34) C．30eq \r(34)＋135 D．135 (2)一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧面积为　________　 cm2. 解析：(1)由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,2)))2)＝eq \f(3,2) eq \r(34)，则这个直棱柱的侧面积为4×eq \f(3\r(34),2)×5＝30eq \r(34). (2)由题意知棱柱的侧面积S侧＝3×6×4＝72(cm2)． 答案：(1)A　(2)72 侧面展开计算表面最短距离 [例4]　如图，在所有棱长均为1的直三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A′，求爬行的最小距离． [思路点拨]　几何体表面距离最短问题，常通过展开侧面转化为计算平面内两点间的距离． [解]　将三棱柱沿AA′展开，如图所示． 则线段AD′的长即为最小距离，最小距离为AD′＝eq \r(AA′2＋AD2)＝eq \r(12＋32)＝eq \r(10). 求几何体表面上两点间的最小距离 (1)将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图． (2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题． (3)结合已知条件求得结果． [变式训练] 4．长方体AC1的长、宽、高分别为3,2,1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为　________　. 解析：结合长方体的三种展开图，如图，不难求得AC1的长分别是eq \r(22＋42)＝eq \r(20)，eq \r(32＋32)＝eq \r(18)＝3eq \r(2)，eq \r(52＋12)＝eq \r(26)，显然最小值为3eq \r(2). 答案：3eq \r(2) 1．下面没有体对角线的一种几何体是(　　) A．三棱柱 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 解析：A　[三棱柱只有面对角线，没有体对角线．] 2．设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，这些集合间的关系是(　　) A．Q⊇N⊇M⊇P B．Q⊇M⊇N⊇P C．P⊇M⊇N⊇Q D．P⊇N⊇M⊇Q 解析：D　[正方体是侧棱长等于底面边长的正四棱柱，正四棱柱的上、下两个底面都是正方形，其余各面都是矩形，因此正四棱柱一定是长方体，长方体的侧棱和上、下两底面垂直，因此长方体一定是直四棱柱，故P⊇N⊇M⊇Q.] 3．在如图所示的7个几何体中，有　________　个是棱柱． 解析：①③⑤是棱柱． 答案：3 4．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是正方形ABCD、正方形BB1C1C和正方形ABB1A1的中心，则用过点M，N，P的平面截正方体所得的截面面积为　________　. 解析：依题意，M，N，P分别是正方形ABCD、正方形BB1C1C和正方形ABB1A1的中心，即M，N，P分别为AC，B1C，AB1的中点，所以用过点M、N、P的平面截正方体所得的截面为△AB1C，如图所示，因为正方体的棱长为a，所以△AB1C的边长为eq \r(2)a，所以△AB1C的面积S＝eq \f(\r(3),4)(eq \r(2)a)2＝eq \f(\r(3),2)a2. 答案：eq \f(\r(3),2)a2 5．在一个长方体的容器中，里面装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中． (1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？ (2)水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？ (3)如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，上面的第(1)题和第(2)题对不对？ 解：(1)不对；水面的形状是矩形，不可能是其他非矩形的平行四边形． (2)不对；此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱，或五棱柱；但不可能是棱台和棱锥． (3)用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形，因而水面的形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形；水的形状可以是棱锥，棱柱，但不可能是棱台． $