10.2.2 复数的乘法和除法-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦复数的乘法与除法运算，涵盖运算法则、运算律及虚数单位i的性质，通过“实数与复数运算对比”“多项式乘法类比”等情境问题导入，衔接实数运算与多项式知识，搭建新旧知识桥梁。 其亮点在于以问题链引导探究，结合高考真题与分层训练，突出数学运算和数学抽象素养。如通过分母实数化步骤解析、综合运算例题及变式训练，帮助学生掌握法则，培养逻辑思维。学生能提升运算能力，教师可借助系统学案与练习提高教学效率。

10.2.2　复数的乘法和除法 第十章 复数 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 课程标准 素养解读 掌握复数代数形式的乘法和除法运算，理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 通过学习复数代数形式的乘法和除法运算，提升数学运算素养．通过学习复数乘法的交换律、结合律及乘法对加法的分配律，培养数学抽象素养. [情境引入] 　两个实数的积、商是一个实数．那么两个复数的积、商是怎样的？怎样规定两个复数的乘除运算．才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定相容？复数的加减运算把i看作一个字母．相当于多项式的合并同类项．那么复数乘法是否可以像多项式乘法那样进行呢？ 问题　多项式(a＋b)(c＋d)的运算结果是什么？ 提示　(a＋b)(c＋d)＝ca＋ad＋bc＋bd. [知识梳理] [知识点一]　复数的乘法法则　 　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝　(ac－bd)＋(ad＋bc)i　. z1·eq \o(z,\s\up6(－))1＝|z1|2＝|eq \o(z,\s\up6(－))1|2＝　a2＋b2　. [知识点二]　复数乘法的运算律　 　对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律：z1z2＝　z2z1　， 结合律：(z1z2)z3＝　z1(z2z3)　， 乘法对加法的分配律：z1(z2＋z3)＝　z1z2＋z1z3　. [知识点三]　复数的除法　 　复数除法的实质就是分母实数化的过程．这与实数的除法有所不同． 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)， 则eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i. 复数的除法的实质是　分母实数化　.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi. 　怎样进行复数的除法运算 [提示]　在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成eq \f(a＋bi,c＋di)的形式，再把分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，从而使分母实数化，化简得结果． [知识点四]　虚数单位i的运算性质　 (1)i4n＋1＝　i　，i4n＋2＝　－1　，i4n＋3＝　－i　，i4n＝　1　(n∈N*)． (2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝　0　(n∈N*)． [预习自测] 1．下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　) A．i(1＋i)2　　　　　 B．i2(1－i) C．(1＋i)2 D．i(1＋i) 解析：C　[(1＋i)2＝2i为纯虚数知选C.] 2．在复平面内，复数eq \f(5i,2－i)的对应点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：B　[eq \f(5i,2－i)＝eq \f(5i2＋i,2－i2＋i)＝eq \f(5i2＋i,5)＝－1＋2i, 对应的点的坐标为(－1,2)，位于第二象限．] 3．(2021·浙江卷)已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i为虚数单位)，则a＝(　　) A．－1 B．1 C．－3 D．3 解析：C　[(1＋ai)i＝i－a＝3＋i⇒a＝－3.] 4．设复数z1＝2－i，z2＝1－3i，则复数eq \f(i,z1)＋eq \f(\o(z,\s\up6(－))2,5)的虚部等于　________　. 解析：∵eq \f(i,z1)＋eq \f(\o(z,\s\up6(－))2,5)＝eq \f(i,2－i)＋eq \f(1＋3i,5)＝eq \f(i2＋i,5)＋eq \f(1,5)＋eq \f(3,5)i＝－eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)i＋eq \f(1,5)＋eq \f(3,5)i＝i， ∴虚部为1. 答案：1 5．计算：i(2＋3i)＝　________　. 解析：i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i. 答案：－3＋2i 复数代数形式的乘法运算 [例1]　计算下列各题： (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i. [思路点拨]　复数的乘法可以类比多项式乘法，遇到i2要换成－1. [解]　(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i ＝53＋21i＋2i＝53＋23i. 复数的乘法(乘方)按多项式的乘法展开，再将in化简． 注意应用公式(1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)． (2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)． (3)(1±i)2＝±2i. [变式训练] 1．(1)(1＋i)(2－i)＝(　　) A．－3－i　　　　　 B．－3＋i C．3－i D．3＋i (2)若复数(1＋ai)(2＋i)是纯虚数，则实数a＝　________　. (3)(1＋i)4·i7＝　________　. 解析：(1)(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i. (2)(1＋ai)(2＋i)＝2－a＋(1＋2a)i，要使复数为纯虚数，所以有2－a＝0,1＋2a≠0，解得a＝2. (3)(1＋i)4·i7＝(2i)2·(－i)＝4i2(－i)＝4i. 答案：(1)D　(2)2　(3)4i 复数的除法运算 [例2]　(1)eq \f(1＋2i,1－2i)＝(　　) A．－eq \f(4,5)－eq \f(3,5)i B．－eq \f(4,5)＋eq \f(3,5)i C．－eq \f(3,5)－eq \f(4,5)i D．－eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)i (2)(2021·北京卷)在复平面内，复数z满足(1－i)z＝2，则z＝(　　) A．2＋i B．－2－i C．1－i D．1＋i (3)在复平面内，复数eq \f(1,1－i)的共轭复数对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (4)设复数z满足eq \f(1＋z,1－z)＝i，则|z|＝(　　) A．1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D．2 [思路点拨]　遇到复数的除法，分子、分母要同乘分母的共轭复数，把除法转化成乘法处理． [解析]　(1)∵eq \f(1＋2i,1－2i)＝eq \f(1＋2i2,5)＝eq \f(－3＋4i,5)， ∴选D. (2)z＝eq \f(2,1－i)＝eq \f(2·1＋i,1－i·1＋i)＝1＋i.故选D. (3)∵eq \f(1,1－i)＝eq \f(1＋i,1－i1＋i)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)i， ∴其共轭复数为eq \f(1,2)－eq \f(1,2)i， 又eq \f(1,2)－eq \f(1,2)i在复平面内对应的点(eq \f(1,2)，－eq \f(1,2))在第四象限，故选D. (4)由题意知1＋z＝i－zi，所以z＝eq \f(i－1,i＋1)＝eq \f(i－12,i＋1i－1)＝i，所以|z|＝1. [答案]　(1)D　(2)D　(3)D　(4)A 两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式； (2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； (3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． [变式训练] 2．(1)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z为(　　) A．3＋5i B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i (2)计算eq \f(1＋i4＋3i,2－i1－i)＝　________　. 解析：(1)∵z(2－i)＝11＋7i， ∴z＝eq \f(11＋7i,2－i)＝eq \f(11＋7i2＋i,2－i2＋i)＝eq \f(15＋25i,5)＝3＋5i. (2)法一：eq \f(1＋i4＋3i,2－i1－i)＝eq \f(1＋7i,1－3i) ＝eq \f(1＋7i1＋3i,10) ＝－2＋i. 法二：eq \f(1＋i4＋3i,2－i1－i)＝(eq \f(1＋i,1－i))(eq \f(4＋3i,2－i)) ＝eq \f(i4＋3i2＋i,5) ＝eq \f(－3＋4i2＋i,5)＝eq \f(－10＋5i,5)＝－2＋i. 答案：(1)A　(2)－2＋i 复数的综合运算 [例3]　(1)设z＝eq \f(1－i,1＋i)＋2i，则|z|＝(　　) A．0 B.eq \f(1,2) C．1 D.eq \r(2) (2)设i是虚数单位，(eq \f(\r(2),1－i))2020＋(eq \f(1＋i,1－i))7＝　________　. (3)设i是虚数单位，eq \o(z,\s\up6(－))是复数z的共轭复数．若z·eq \o(z,\s\up6(－))i＋2＝2z，则z＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i [思路点拨]　审清题意，利用复数i的运算性质求解． [解析]　(1)因为z＝eq \f(1－i,1＋i)＋2i＝eq \f(1－i2,1＋i1－i)＋2i＝eq \f(－2i,2)＋2i＝i，所以|z|＝eq \r(0＋12)＝1，故选C. (2)原式＝(eq \f(2,－2i))1010＋i7＝i252×4＋2＋i4＋3＝i2＋i3＝－1－i. (3)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·eq \o(z,\s\up6(－))i＋2＝(a＋bi)·(a－bi)·i＋2＝2＋(a2＋b2)i，故2＝2a，a2＋b2＝2b，解得a＝1，b＝1.即z＝1＋i. [答案]　(1)C　(2)－1－i　(3)A 1．复数的混合运算，一般先算乘方，再算除乘，最后算加减，有括号先运算括号． 2．对于不能直接求解的，设z＝a＋bi，利用复数相等求a，b. 3．注意整体结果的运用． [变式训练] 3．(1)已知i是虚数单位，满足z－2eq \o(z,\s\up6(－))＝－1＋3i，则z＝(　　) A．1＋i B．1－i C．1＋2i D．1－2i (2)已知复数z＝eq \f(5a,2＋i)＋eq \f(1＋i,1－i)，a∈R，若复数z对应的点在复平面内位于第四象限，则实数a的取值范围是(　　) A．a>1 B．a<0 C．0<a<1 D．a<1 解析：(1)设z＝x＋yi(x，y∈R), 则eq \o(z,\s\up6(－))＝x－yi，所以z－2eq \o(z,\s\up6(－))＝x＋yi－2(x－yi)＝－x＋3yi，即－x＋3yi＝－1＋3i，由复数相等得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x＝－1，,3y＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))所以z＝1＋i，故选A. (2)z＝eq \f(5a2－i,2＋i2－i)＋eq \f(1＋i1＋i,1－i1＋i)＝2a＋(1－a)i，若复数z对应的点在复平面内位于第四象限， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a>0，,1－a<0，))解得a>1，故选A. 答案：(1)A　(2)A. 复数范围内解方程 [例4]　已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)． (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否是方程的根． [思路点拨]　1＋i是方程的根，则代入方程成立，可通过复数相等求出b，c，然后再验证1－i是否为方程的根． [解]　(1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根， ∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0. ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＋c＝0，,2＋b＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝－2，,c＝2.))∴b＝－2，c＝2. (2)方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立．∴1－i也是方程的一个根． 解决复数方程问题的方法 与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解．根与系数的关系仍适用．但判别式“Δ”不再适用． [变式训练] 4．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根及实数k的值． 解：设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得 (xeq \o\al(2,0)＋kx＋2)＋(2x0＋k)i＝0. 由复数相等的条件得xeq \o\al(2,0)＋kx0＋2＝2x0＋k＝0， 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝\r(2)，,k＝－2\r(2)，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝－\r(2)，,k＝2\r(2)，)) ∴方程的实根为x＝eq \r(2)或x＝－eq \r(2)， 相应的k的值为k＝－2eq \r(2)或k＝2eq \r(2). 1.eq \f(1＋2i,1－2i)＝(　　) A．－eq \f(4,5)－eq \f(3,5)i　　　　　 B．－eq \f(4,5)＋eq \f(3,5)i C．－eq \f(3,5)－eq \f(4,5)i D．－eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)i 解析：D　[eq \f(1＋2i,1－2i)＝eq \f(1＋2i1＋2i,1－2i1＋2i)＝－eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)i，故选D.] 2．(2021·全国乙卷)设iz＝4＋3i，则z＝(　　) A．－3－4i B．－3＋4i C．3－4i D．3＋4i 解析：C　[在等式iz＝4＋3i两边同时乘i得，－z＝4i－3，所以z＝3－4i，故选C.] 3．z＝i3·(1＋i)2＝　________　. 解析：z＝i3·(1＋i)2＝－i×(2i)＝2. 答案：2 4．复数z满足z(1＋i)＝2i，则|z|＝　________　. 解析：z＝eq \f(2i,1＋i)＝1＋i，∴|z|＝eq \r(2). 答案：eq \r(2) 5．计算： (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)＋\f(1,2)i))(1＋i)； (3)(－2＋3i)÷(1＋2i)； (4)eq \f(3＋2i,2－3i)－eq \f(3－2i,2＋3i). 解：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)＝1－i2＋(－1＋i)＝1＋1－1＋i＝1＋i. (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)＋\f(1,2)i))(1＋i)＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),4)－\f(\r(3),4)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)－\f(1,4)))i))(1＋i)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)＋\f(1,2)i))(1＋i)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(\r(3),2)))i＝－eq \f(1＋\r(3),2)＋eq \f(1－\r(3),2)i. (3)(－2＋3i)÷(1＋2i)＝eq \f(－2＋3i,1＋2i)＝eq \f(－2＋3i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq \f(－2＋6＋3＋4i,12＋22)＝eq \f(4,5)＋eq \f(7,5)i. (4)法一　eq \f(3＋2i,2－3i)－eq \f(3－2i,2＋3i)＝eq \f(3＋2i2＋3i－3－2i2－3i,2－3i2＋3i)＝ eq \f(6＋13i－6－6＋13i＋6,4＋9)＝eq \f(26i,13)＝2i. 法二　eq \f(3＋2i,2－3i)－eq \f(3－2i,2＋3i)＝eq \f(i2－3i,2－3i)－eq \f(－i2＋3i,2＋3i)＝i＋i＝2i. $