10.1.2 复数的几何意义-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦复数的几何意义，涵盖复平面、复数与点及向量的对应关系、复数的模和共轭复数等核心知识点。通过高斯创立复平面的历史情境引入，类比实数与数轴的对应，搭建从实数到复数的认知支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于以情境引入和问题驱动培养数学眼光与思维，通过例题变式训练强化数学运算素养。如预习自测中复数对应点位置判断、课堂互动里复数模的几何意义应用等实例，助力学生深化理解，教师可借助完整教学流程提升教学效果。

10.1.2　复数的几何意义 第十章 复数 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 课程标准 素养解读 理解复数的代数形式及其几何意义，掌握用向量的模表示复数模的方法，理解共轭复数的概念. 通过复数代数形式及其几何意义的理解、复数模的运用，共轭复数的概念的理解．体会数学抽象及数学运算素养. [情境引入] 19世纪末20世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时，首次引进“复数”这个名词，他把复数与平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础． 复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础． 问题　实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？ 提示　任何一个复数z＝a＋bi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应． [知识梳理] [知识点一]　复平面　 　一个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做　复平面　，x轴叫做　实轴　，y轴叫做　虚轴　.显然，实轴上的点都表示　实数　；除了原点外，虚轴上的点都表示　纯虚数　. [知识点二]　复数的几何意义　 1．复数集C中的数与复平面内的点按如下方式建立了　一一　对应关系复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义． 2．复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了　一一　对应关系(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi平面向量　eq \o(OZ,\s\up6(→))　.相等的向量表示同一个复数． 1.复数的几何意义需注意哪些问题？ [提示]　复数的几何意义的理解中需注意的问题 (1)复数的实质是有序实数对． (2)复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i. (3)当a＝0时，对任何b≠0，a＋bi＝0＋bi＝bi是纯虚数，所以纵轴上的点(0，b)(b≠0)都表示纯虚数． (4)复数z＝a＋bi中的z，书写时应小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时应大写． [知识点三]　复数的模　 　向量eq \o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的　模　(modulus of a complex number)或　绝对值　，记作　|z|或|a＋bi|　，即|z|＝|a＋bi|＝　eq \r(a2＋b2)　，其中a，b∈R. 如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于　|a|　(a的绝对值)． [知识点四]　共轭复数　 　一般地，当两个复数　实部相等，虚部互为相反数　时，这两个复数叫做互为共轭复数(conjugate complex number)，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做　共轭虚数　.复数z的共轭复数用eq \o(z,\s\up6(－))表示，即如果z＝a＋bi，那么eq \o(z,\s\up6(－))＝　a－bi　. 2.共轭复数的特点是什么？ [提示]　根据共轭复数的定义，若z1，z2是共轭复数，则它们在复平面内所对应的点Z1，Z2关于实轴对称． [预习自测] 1．已知复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上，则(　　) A．a≠2或a≠1　　　　 B．a≠2，且a≠1 C．a＝0 D．a＝2或a＝0 解析：D　[由题意，得a2－2a＝0，得a＝0或a＝2.故选D.] 2．|eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i|＝(　　) A．1　　B．2　　　C．3　　　D．4 解析：A　[|eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i|＝eq \r(\f(1,2)2＋－\f(\r(3),2)2)＝1.] 3．如果复数z与3＋4i对应的有序实数对关于虚轴对称，那么z对应的向量eq \o(OA,\s\up6(→))的模是(　　) A．1　　B.eq \r(7)　　　C.eq \r(13)　　　D．5 解析：D　[复数z对应的向量eq \o(OA,\s\up6(→))的坐标为(－3,4)，其模为eq \r(－32＋42)＝5.故选D.] 4．(2021·上海卷)已知A＝{x|2x≤1}，B＝{－1,0,1}，求A∩B＝　________　. 解析：A＝eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))，B＝{－1,0,1}，∴A∩B＝{－1,0}， 答案：{－1,0} 5．当m<1且m∈R时，复数z＝2＋(m－1)i在复平面内对应的点位于第　________　象限． 解析：因为m<1，所以m－1<0.因为复数z＝2＋(m－1)i在复平面内对应的点的坐标为(2，m－1)，所以复数z＝2＋(m－1)i在复平面内对应的点位于第四象限． 答案：四 6．已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i，当实数m取什么值时，复数z是(1)零；(2)纯虚数；(3)z＝2＋5i. 解：(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(mm－1＝0，,m2＋2m－3＝0，))可得m＝1； (2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(mm－1＝0，,m2＋2m－3≠0，))可得m＝0； (3)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(mm－1＝2，,m2＋2m－3＝5，))可得m＝2； 综上：当m＝1时，复数z是0；当m＝0时，复数z是纯虚数；当m＝2时，复数z＝2＋5i. 复数与复平面内的点 [例1]　在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限； (3)在第二、四象限；(4)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围． [思路点拨]　解题的关键是理解复数的几何意义——复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)． [解]　复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10. (1)由题意得m2－2m－8＝0. 解得m＝－2或m＝4. (2)由题意，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2－2m－8<0，,m2＋3m－10>0，))∴2<m<4. (3)由题意，(m2－2m－8)(m2＋3m－10)<0， ∴2<m<4或－5<m<－2. (4)由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10， 故m＝eq \f(2,5). 利用复数与点的对应解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据． (2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解． [变式训练] 1．设复数z＝(a＋1)＋(2－a2)i，对应的点Z满足下列关系，求a的范围． (1)点Z在第二象限； (2)点Z在直线y＝2x上． 解：(1)如满足点Z在第二象限，则须有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋1<0，,2－a2>0，))解得－eq \r(2)<a<－1. (2)如点Z在y＝2x上，则有2－a2＝2(a＋1)，即a＝0或a＝－2. 复数与复平面内的向量的关系 [例2]　(1)向量eq \o(OZ1,\s\up6(→))对应的复数是5－4i，向量eq \o(OZ2,\s\up6(→))对应的复数是－5＋4i，则eq \o(OZ1,\s\up6(→))＋eq \o(OZ2,\s\up6(→))对应的复数是(　　) A．－10＋8i　　　　　　　 B．10－8i C．0 D．10＋8i (2)设O是原点，向量eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量eq \o(BA,\s\up6(→))对应的复数是(　　) A．－5＋5i B．－5－5i C．5＋5i D．5－5i [思路点拨]　解题的关键是理解复数与复平面内的点，向量的一一对应关系． [解析]　(1)由复数的几何意义，可得 eq \o(OZ1,\s\up6(→))＝(5，－4)，eq \o(OZ2,\s\up6(→))＝(－5,4)， 所以eq \o(OZ1,\s\up6(→))＋eq \o(OZ2,\s\up6(→))＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)， 所以eq \o(OZ1,\s\up6(→))＋eq \o(OZ2,\s\up6(→))对应的复数为0. (2)由复数的几何意义，得eq \o(OA,\s\up6(→))＝(2，－3)，eq \o(OB,\s\up6(→))＝(－3,2)，eq \o(BA,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，－5)． 所以eq \o(BA,\s\up6(→))对应的复数是5－5i. [答案]　(1)C　(2)D 1．以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变． 2．利用复数与向量的联系，可以用向量表示复数，使有些复数问题转化为向量问题去处理，借助向量去解决复数问题． [变式训练] 2．在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的共轭复数． z1＝1－i；z2＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i；z3＝－2；z4＝2＋2i. 解：在复平面内分别画出点Z1(1，－1)，Z2(－eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2))，Z3(－2,0)，Z4(2,2)，则向量eq \o(OZ1,\s\up6(→))，eq \o(OZ2,\s\up6(→))，eq \o(OZ3,\s\up6(→))，eq \o(OZ4,\s\up6(→))分别为复数z1，z2，z3，z4对应的向量，如图所示． eq \o(z,\s\up6(－))1＝1＋i；eq \o(z,\s\up6(－))2＝－eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i；eq \o(z,\s\up6(－))3＝－2；eq \o(z,\s\up6(－))4＝2－2i. 复数的模 [例3]　(1)若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝eq \r(5)，则复数z＝(　　) A．1＋2i B．－1－2i C．±1±2i D．1＋2i或－1－2i (2)设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－1,1) C．(1，＋∞) D．(0，＋∞) [思路点拨]　(1)利用|z|＝eq \r(a2＋b2)构造方程． (2)分别求出z1，z2的模，再比较大小． [解析]　(1)依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝eq \r(5)得eq \r(a2＋4a2)＝eq \r(5)， 解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i. (2)因为|z1|＝eq \r(a2＋4)，|z2|＝eq \r(4＋1)＝eq \r(5)，所以eq \r(a2＋4)<eq \r(5)，即a2＋4<5，所以a2<1，即－1<a<1. [答案]　(1)D　(2)B 复数模的计算 (1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算，虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． (2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解． [变式训练] 3．求复数z1＝6＋8i与z2＝－eq \f(1,2)－eq \r(2)i的模，并比较它们的模的大小． 解：∵z1＝6＋8i，z2＝－eq \f(1,2)－eq \r(2)i， ∴|z1|＝eq \r(62＋82)＝10， |z2|＝eq \r(－\f(1,2)2＋－\r(2)2)＝eq \f(3,2). ∵10>eq \f(3,2)，∴|z1|>|z2|. 复数的几何意义 [例4]　设z∈C，在复平面内对应点Z.试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形． (1)|z|＝2； (2)1≤|z|≤2. [思路点拨]　|z|＝|eq \o(OZ,\s\up6(→))|＝eq \r(a2＋b2)的几何意义是解题的关键． [解]　(1)方法一　|z|＝2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆． 方法二　设z＝a＋bi，由|z|＝2，得a2＋b2＝4.故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆． (2)不等式1≤|z|≤2可以转化为不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|z|≤2，,|z|≥1.,))不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2及该圆内部所有点的集合． 不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1及该圆外部所有点的集合． 这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合．如图中的阴影部分，所求点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界． 解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离．可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决． [变式训练] 4．若复数z满足|z－i|≤eq \r(2)(i为虚数单位)，则z在复平面所对应的图形的面积为　________　. 解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z－i＝x＋yi－i＝x＋(y－1)i，∴|z－i|＝eq \r(x2＋y－12)，由|z－i|≤eq \r(2)知eq \r(x2＋y－12)≤eq \r(2)，即x2＋(y－1)2≤2.∴复数z对应的点(x，y)构成以(0,1)为圆心，eq \r(2)为半径的圆面(含边界)，∴所求图形的面积为S＝2π. 答案：2π 1．已知复数z的共轭复数eq \x\to(z)＝1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：D　[由eq \x\to(z)＝1＋2i知z＝1－2i，故z在复平面内对应的点为(1，－2)，在第四象限．] 2．若z1＝3＋4i，z2＝－eq \f(1,2)－eq \r(2)i，则(　　) A．|z1|＝|z2| B．|z1|＞|z2| C．|z1|＜|z2| D．不能确定 解析：B　[|z1|＝eq \r(32＋42)＝5，|z2|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋－\r(2)2)＝eq \f(3,2).∵5＞eq \f(3,2)，∴|z1|＞|z2|.] 3．若复数z＝1＋ai(i是虚数单位)的模不大于2，则实数a的取值范围是　________　. 解析：复数z＝1＋ai(i是虚数单位)的模不大于2，即1＋a2≤4，即a2≤3，可得a∈[－eq \r(3)，eq \r(3)]． 答案：[－eq \r(3)，eq \r(3)] 4．若复数z1＝3＋ai，z2＝b＋4i(a，b∈R)，且z1与z2互为共轭复数，则z＝a＋bi的模为　________　. 解析：由共轭复数的定义得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝3.)) ∴|z|＝|－4＋3i|＝eq \r(－42＋32)＝5. 答案：5 5．实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i (1)对应的点在x轴上方； (2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上？ 解：(1)由题意知m2－2m－15＞0，得m＜－3，或m＞5，所以当m＜－3，或m＞5时，复数z对应的点在x轴上方．(2)由题意知(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，得m＝1，或m＝－eq \f(5,2)，所以当m＝1，或m＝－eq \f(5,2)时，复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上． $