10.1.1 复数的概念-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦复数的概念及几何意义，通过课前预习学案衔接实数知识，课堂互动学案深化理解，随堂夯实与课后提升形成学习闭环，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于分阶段设计，以“数学眼光”抽象复数概念，“数学思维”探究几何意义，“数学语言”规范表达。如课前预习关联实数，课堂互动引导逻辑推理，助力学生构建知识体系，教师可高效推进教学。

10．1　复数及其几何意义 10．1.1　复数的概念 第十章 复数 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 课程标准 素养解读 通过方程的解，了解引进复数的必要性，认识复数，理解复数的基本概念及复数相等的充要条件. 通过学习复数的基本概念，提升数学抽象素养．通过利用复数相等解决有关问题，培养数学运算素养. [情境引入] 希望工程举行中学生夏令营，来到海滨城市青岛一天，张明与王华面对着广阔的大海，有一番耐人寻味的对话． 张明：海纳百川，心阔容海．海、心孰大？ 王华：夸张的手法，不可比较． 张明：那么数m，n可否比较大小？ 王华：未必． 问题　同学们，你能准确回答张明的问题吗？ 提示　若m，n为实数可以比较大小，若m，n是虚数则无法比较大小． [知识梳理] [知识点一]　复数的有关概念　 1．定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．　全体复数　所成的集合C＝{a＋bi|a∈R，b∈R}叫做复数集． 2．复数通常用字母　z　表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部． [知识点二]　复数相等　 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当　a＝c且b＝d　. 　复数能比较大小吗？ [提示]　两个复数，如果不全是实数，只有相等与不相等的关系，而不能比较它们的大小． [知识点三]　复数的分类　 1．对于复数a＋bi(a，b∈R)，当且仅当　b＝0　时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当　b≠0　时，叫做虚数；当　a＝0且b≠0　时，叫做纯虚数．这样，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以分类如下： 复数eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(实数b＝0，,虚数b≠0当a＝0时为纯虚数.)) 2．集合表示： [预习自测] 1．复数－2i的实部与虚部分别是(　　) A．0,2　　　　　 B．0,0 C．0 ，－2 D．－2,0 解析：C　[－2i的实部为0，虚部为－2.] 2．复数1－i的虚部为(　　) A．i　　B．－i　　　C．1　　　D．－1 解析：D　[由复数虚部定义可知，1－i的虚部为－1.故选D.] 3．下列命题正确的是(　　) A．复数a＋bi不是纯虚数 B．若x＝1，则复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i是纯虚数 C．若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2 D．若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数 解析：B　[对于A，当a＝0，b≠0，b∈R时， 复数a＋bi是纯虚数，命题错误； 对于B，当x＝1时，复数z＝2i是纯虚数，命题正确； 对于C，(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－4＝0，,x2＋3x＋2≠0，))即x＝2，命题错误； 对于D，复数z＝a＋bi，a，b未注明为实数，错误．] 4．若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝　________　. 解析：由a－2i＝bi＋1， 所以a＝1，b＝－2， 所以a2＋b2＝5. 答案：5 5．若(x＋y－2)＋(x－y－4)i＝0(x，y∈R)，则x＝　________　，y＝　________　. 解析：根据复数相等的充要条件有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0，,x－y－4＝0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1.)) 答案：3　－1 复数的概念 [例1]　写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． ①2＋3i；②－3＋eq \f(1,2)i；③eq \r(2)＋i；④π；⑤－eq \r(3)i；⑥0. [思路点拨]　复数z＝a＋bi(a，b∈R)其中a为实部，b为虚部． [解]　①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为eq \f(1,2)，是虚数；③的实部为eq \r(2)，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－eq \r(3)，是纯虚数：⑥的实部为0，虚部为0，是实数． 复数a＋bi(a，b∈R)中．实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部． [变式训练] 1．请分别在有理数集、实数集、复数集中分解因式x4－25. 解：在有理数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5)． 在实数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5)＝(x2＋5)·(x＋eq \r(5))(x－eq \r(5))． 在复数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5)＝(x2＋5)·(x＋eq \r(5))(x－eq \r(5))＝(x＋eq \r(5)i)(x－eq \r(5)i)(x＋eq \r(5))(x－eq \r(5))． 复数的分类 [例2]　当实数m为何值时，复数z＝(m2＋m－6)i＋eq \f(m2－7m＋12,m＋3)是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． [思路点拨]　因为m是实数，所以m2＋m－6，eq \f(m2－7m＋12,m＋3)都是实数．把它们分别看成一个整体，就是复数的虚部与实部，则复数z＝eq \f(m2－7m＋12,m＋3)＋(m2＋m－6)i就化成z＝a＋bi(a，b∈R)的形式．根据复数的分类即可确定m的取值． [解]　(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2＋m－6＝0，,m＋3≠0，))得m＝2.所以当m＝2时，z是实数． (2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2＋m－6≠0，,m＋3≠0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m≠2且m≠－3，,m≠－3，))即m≠2且m≠－3.所以当m≠2且m≠－3时，z是虚数． (3)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2＋m－6≠0，,m＋3≠0，,m2－7m＋12＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m≠2且m≠－3，,m≠－3，,m＝3或m＝4，))即 m＝3或m＝4.所以当m＝3或m＝4时，z是纯虚数． 复数的分类是由复数的实部与虚部的取值来决定的，在复数z＝a＋bi(a，b∈R)中：当b＝0时，z为实数；当b≠0时，z为虚数；特别地，当a＝0且b≠0时，z为纯虚数．在解题时，应先分清复数的实部与虚部，再根据复数的分类，列出关于参数的方程(组)或不等式(组)求解． [变式训练] 2．当m为何值时，复数z＝m2(1＋i)－m(3＋i)－6i，m∈R，是实数？是虚数？是纯虚数？ 解：∵z＝(m2－3m)＋(m2－m－6)i， ∴(1)当m满足m2－m－6＝0，即m＝－2或m＝3时，z为实数． (2)当m满足m2－m－6≠0，即m≠－2且m≠3时，z为虚数． (3)当m满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2－3m＝0，,m2－m－6≠0，))即m＝0时，z为纯虚数． 两个复数的相等 [例3]　(1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值． (2)已知a2＋(m＋2i)a＋2＋mi＝0(m∈R)成立，求实数a的值． (3)若关于x的方程3x2－eq \f(a,2)x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值． [思路点拨]　第(1)小题中出现复数的等式，应转化为两个复数相等的问题来解决；第(2)小题只需将0看作0＋0i即可转化为复数相等的问题；对于第(3)小题，先设出方程的实根，然后代入，最后转化为复数相等的问题． [解]　(1)由复数相等的充要条件，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,y＝x＋1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f(1,2).)) (2)因为a，m∈R，所以由a2＋am＋2＋(2a＋m)i＝0，可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＋am＋2＝0，,2a＋m＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\r(2)，,m＝－2\r(2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－\r(2)，,m＝2\r(2)，)) 所以a＝±eq \r(2). (3)设方程的实根为x＝m， 则原方程可变为3m2－eq \f(a,2)m－1＝(10－m－2m2)i， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3m2－\f(a,2)m－1＝0，,10－m－2m2＝0，))解得a＝11或a＝－eq \f(71,5). 求解复数相等问题 复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法．转化过程主要依据复数相等的充要条件．基本思路是： (1)等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式； (2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组； (3)解方程组，求出相应的参数． [变式训练] 3．已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值． 解：∵x2－y2＋2xyi＝2i， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－y2＝0，,2xy＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.)) 1．已知全集C＝{x|x是复数}，Q＝{x|x是有理数}，S＝{x|x是无理数}，R＝{x|x是实数}，P＝{x|x是虚数}，那么(∁CQ)∪(∁CP)为(　　) A．S　　B．C　　　C．R　　　D．Q 解析：B　[∵∁CQ＝S∪P，∁CP＝R，R∪P＝C， ∴(∁CQ)∪(∁CP)＝C.] 2．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为(　　) A.eq \f(1,2) B．2 C．0 D．1 解析：D　[由复数相等的充要条件知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,x－1＝0，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))∴x＋y＝0，∴2x＋y＝20＝1.] 3．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为　________　. 解析：由a2－3a＋2＝0且a－1≠0，得a＝2. 答案：2 4．以eq \r(2)＋2i的虚部为实部，以4i－1的实部为虚部的新复数是　________　. 解析：eq \r(2)＋2i的虚部为2,4i－1的实部为－1，故新复数为z＝2－i. 答案：2－i 5．已知z1＝m2－(m2－3m)i，z2＝(m2－4m＋3)i＋10(m∈R)．若z1＜z2，求实数m的取值范围． 解：∵z1＜z2，∴z1，z2均为实数，且z1的实部小于z2的实部， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2－3m＝0，,m2－4m＋3＝0，,m2＜10，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝0或m＝3，,m＝1或m＝3，,－\r(10)＜m＜\r(10)，)) ∴m＝3，故实数m的取值范围是{m|m＝3}． $