精品解析：广东省肇庆市端州中学2025-2026学年高一上学期期中检测数学试题

2025-2026学年第一学期高一级数学科期中检测 （考试时间：120分钟：满分：150分) 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题)和第I卷（非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第I卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷 一、单项选择题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数有意义，列出不等式组即可. 【详解】由题可得且，则且， 故函数的定义域为. 故选：B. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，根据并集的概念求解. 【详解】由已知，所以. 故选：C. 3. 定义在区间上的函数的图象如图所示.若只有唯一的p值对应，则r的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图像，即可判断r的取值范围． 【详解】由图像可知，若满足唯一的p与r对应， 则. 故选：A. 4. 已知命题，.则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解绝对值不等式和二次不等式，然后由充分必要条件的定义即可得到结果. 【详解】，，即 ，即，，则，即， ∴是的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法求出，进而求出. 【详解】令，则，， 所以. 故选：C 6. 已知，是关于的方程的两个实根，那么的最大值是（ ） A. 19 B. 17 C. D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】结合韦达定理求得关于的表达式，结合判别式以及二次函数的性质即可求得的最大值，从而得解. 【详解】因为，是关于的方程的两个实根， 由韦达定理知，， ， 因为方程有两实根， 所以，解得， 因此当时，有最大值. 故选：D. 7. 已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】变换得到，计算得到答案. 【详解】不等式恒成，即， ， 当且仅当，即时等号成立，故. 故选：. 8. 如图，点在边长为1的正方形上运动，设点为的中点，当点沿运动时，点经过的路程设为，面积设为，则函数的图象只可能是下图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分点在上时，点在上时，点在上时求得函数，再利用函数的性质来判断. 【详解】当点在上时：； 当点在上时： ； 当点在上时：， 所以， 由函数解析式可知，有三段线段，又当点在上时是减函数，故符合题意的为A. 故选：A 二、多项选择题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若， ，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】举例说明判断A、C、D；作差比较大小判断B. 【详解】对于A，取，得，A错误； 对于B，由，得，B正确； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：ACD 10. 下列命题中假命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用存在量词命题和全称量词的概念结合相关内容对选项逐个分析并做出判断，可得出答案． 【详解】对于A，当时，成立，即A正确； 对于B，由，可得，显然不是有理数，即B错误； 对于C，取，可知，即C错误； 对于D，因为中，，所以一元二次不等式有解，不是恒成立， 比如取时，不等式不成立，即D错误； 故选：BCD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 和表示同一个函数 B. 函数的值域为 C. 定义在上的函数满足，则 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】CD 【解析】 【分析】A选项，两函数定义域不同，A错误；B选项，变形得到，求出值域；C选项，方程思想得到，与条件中的方程联立求出答案；D选项，由抽象函数定义域求解方法得到答案. 【详解】A选项，的定义域为， 的定义域为R，故两函数定义域不同，不表示同一函数，A错误； B选项，，解得，B错误； C选项，定义在上的函数满足①， 则②， 式子①②联立，解得，C正确； D选项，由题意得，故，则的定义域为，D正确. 故选：CD 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用函数解析式求函数值. 【详解】因为，，所以. 故答案为：4 13. 若关于的不等式的解集为，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解集与对应一元二次方程关系求参数值，即可得. 【详解】由题设，方程两根为1和4，则，得， 所以. 故答案为： 14. 若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】先将原不等式变形，然后分和两种情况进行讨论，当时直接判断不等式是否恒成立，当时，根据二次函数的性质列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围. 【详解】原不等式等价于， 当时，对，不等式恒成立； 当时，则有，解得： 综上所述，实数的取值范围是 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合 （1）若，写出的所有子集 （2）若集合中只含有一个元素，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先将代入，求解一元二次方程得到集合的元素，再根据子集的定义列出所有子集. （2）分类讨论，当时，方程为一元一次方程，求解得到集合的元素； 当时，方程为一元二次方程，利用判别式时方程有且仅有一个实数根，求出的值，再验证集合的元素个数. 【小问1详解】 当时，集合，解方程得或， 则集合，其子集有. 【小问2详解】 当时，集合，解方程得， 则集合，满足要求； 当时，方程有两个相同的解，即，解得， 代入得方程，解得，则集合，满足要求. 综上，的值为或. 16. 设全集，集合，集合． （1）若，求，. （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据并集与交集，补集的概念直接计算． （2）分与两种情况讨论，根据集合间的包含关系，列不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以或，所以． 【小问2详解】 因为，，， ①当时，满足，此时，解得； ②当时，要满足，则，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 17. 如图所示，某学校要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高. （1）试将垃圾池的总造价（元）表示为的函数，并指出的取值范围； （2）垃圾池的高为何值时，能使总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】（1），； （2）高为m，垃圾池总造价最低为9600元. 【解析】 【分析】（1）（2）利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，进而结合池壁、池底面积，得出总造价，再利用均值不等式求出最值. 【小问1详解】 无盖长方体垃圾池的容积为，长为，高为m，则宽m， ，即，. 【小问2详解】 由（1）知，， 当且仅当，即时取等号，而， 所以当垃圾池的高为m，宽为3m时，垃圾池总造价最低为9600元. 18. 给定函数，，． （1）在同一直角坐标系中画出函数，的图象； （2），用表示，中的较大者，记为．请分别用图象法和解析法表示函数． 【答案】（1） （2） . 【解析】 【分析】（1）根据一次函数和二次函数的图象特征画图即可； （2）根据题意可得的图象，再结合图象求解即可. 【小问1详解】 同一直角坐标系中函数，的图象如下： 【小问2详解】 结合的定义，可得函数的图象： 由，得，解得，或． 由图易知的解析式为. 19. 若定义域为的函数满足对任意的和，都有，我们就称这个函数是“优美的”． （1）若函数是优美的，求； （2）写出一个优美的函数，使得，并说明为什么是优美的； （3）对于任意优美的函数，证明：对任意的有理数，都有． 【答案】（1） （2），理由如下： 设，此时，满足. 下面证明是“优美的”： 对于任意的和，，而. 所以，故是“优美的”. （3）证明如下： 证明对任意有理数，都有. 有理数包括整数和分数，分类讨论. 当为0时，显然. 当为正整数时： 设（为正整数），由可得： . 同理，以此类推可得.  当为负整数时： 设（为正整数），因为，由前面已证得，所以，则，即.  当为分数时： 设（为整数，），因为， 又由前面已证得当为整数时，所以， 则，即. 综上，对任意的有理数，都有. 【解析】 【分析】（1）通过对给定等式合理赋值来求解； （2）先根据条件确定一个满足的函数，再验证其是否满足“优美的”函数定义； （3）需要分情况讨论有理数为正整数、负整数、分数时，证明成立. 【小问1详解】 已知函数是“优美的”，即对任意的和，都有. 令，则，即. 即，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题属于函数新定义题，关键是读懂题意，将其联想到熟悉的知识点，解题即可.第三问关键是对有理数进行分类，然后按照分类讨论，证明即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高一级数学科期中检测 （考试时间：120分钟：满分：150分) 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题)和第I卷（非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第I卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷 一、单项选择题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 定义在区间上的函数的图象如图所示.若只有唯一的p值对应，则r的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知命题，.则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是关于的方程的两个实根，那么的最大值是（ ） A. 19 B. 17 C. D. 18 7. 已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点在边长为1的正方形上运动，设点为的中点，当点沿运动时，点经过的路程设为，面积设为，则函数的图象只可能是下图中的（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若， ，则 C. 若，，则 D. 若，则 10. 下列命题中假命题的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 和表示同一个函数 B. 函数的值域为 C. 定义在上的函数满足，则 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 13. 若关于的不等式的解集为，则的值为__________． 14. 若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合 （1）若，写出的所有子集 （2）若集合中只含有一个元素，求的值． 16. 设全集，集合，集合． （1）若，求，. （2）若，求实数的取值范围． 17. 如图所示，某学校要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高. （1）试将垃圾池的总造价（元）表示为的函数，并指出的取值范围； （2）垃圾池的高为何值时，能使总造价最低？最低总造价是多少？ 18. 给定函数，，． （1）在同一直角坐标系中画出函数，的图象； （2），用表示，中的较大者，记为．请分别用图象法和解析法表示函数． 19. 若定义域为的函数满足对任意的和，都有，我们就称这个函数是“优美的”． （1）若函数是优美的，求； （2）写出一个优美的函数，使得，并说明为什么是优美的； （3）对于任意优美的函数，证明：对任意的有理数，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $