2025-2026学年上学期渭南市校联协作体期末学业水平质量评估试题高二数学

2025-2026（上)渭南市校联协作体期末学业水平质量评估试题 高二数学 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本题共小题，每小题4分，共28分。每小题只有一个选项符合题目要求） 1.已知直线L1:ax-2y+3=0,l2:3x+(a-5)y+a=0,则"a=-10"是"l11l2"的() A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 2.若直线l:(m+n)x+(m-n)y-2n=0与⊙C:x2+y-1)2=14交于A,B两点，则AB|的最小值为 () A.3 B.6 C.3√2 D.6√2 3.已知圆C1:(x-1)2+y2=1与圆C2:(x-3)2+y+n)2=4有且只有2条公切线，则实数n的取值范围 为() A.(-5,5) B.[-5,5] c.(-5,⑤ D.-5, 4.若点M(1,a)在圆C:x2+y2-x-y-6=0的内部，则实数a的取值范围是() A.(-2,3) B.(-3,2) C.(-∞，-2)U(3,+o) D.(-0∞，-3)U(2,+∞) 5。设双曲线C:-y2=1的右焦点为P,过F的直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为A,AF交另一条渐 近线于点B,则L=() IFAL A.自 B. C.2 D.3 6.已知(x-)展开式的二项式系数和为64，则其展开式的常数项为() A.-60 B.-15 C.15 D.60 7.从分别标有数字-2，-1,0,1,2的5张卡片中随机一次性抽取2张，则抽到的2张卡片中数字乘积 为非负数的概率为() A. B. c. D. 数学试卷第1页共4页 8.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=AC=BC=2,P为线段BC的中点，E,F分别为 线段A1P与线段CC1上的点，则线段EF长的最小值为() F B A.23 3 B.5 c.5 D.9 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题有多个选项符合题目要求，全 部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分) 9.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90,AB=BC=AA1=1,点P满足BP=BC+BB, 其中λ∈[0,1]，u∈[0,1]，则() B B A C A.当u=0时，AP+PC的最小值为V2 B.当1=1时，三棱锥A1一ABP的体积为定值 C.当u=时，存在两个点P使得平面AB1P与平面ABC的夹角为45 D.当1=1时，有且仅有一个点P,使得A1C1BP 10.已知过抛物线y2=4x焦点F的直线与抛物线交于A,B两点，则下列结论正确的是() A.以IAB为直径的圆与准线相切 B.若点M(4,3),则AF+IAM的最小值为5 C.若直线的倾斜角为30°，则S△40B=16 D.点N为线段AB中点，则点N的坐标可以是(3,2) 11.甲、乙两人开展乒乓球对抗赛，约定对抗赛最多进行3场，先累计获胜两场者赢得本次对抗赛.每场 数学试卷第2页共4页 比赛仅分胜负，无平局，甲每场获胜的概率为号，乙每场获胜的概率为，且各场比赛结果相互独立。下列说 法正确的是() A.本次对抗赛恰好进行2场就结束的概率为 B。甲最终赢得本次对抗赛的概率为会 C.若事件A为对抗赛恰好进行2场结束”，事件B为甲赢得对抗赛”，则事件A与事件B是相互独立事件 D.本次对抗赛恰好进行3场结束且甲赢得本次对抗赛的概率为 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.己知n=(m,2,1)是平面α的一个法向量，直线1的一个方向向量为v=(4,-5,2),且l/a,则 m= 13.已知抛物线x2=4y的焦点为F,则点F到准线的距离为一，过点F作倾斜角为锐角的直线l,直线l 与抛物线交于不同的两点P,Q,过点P作直线PQ的垂线交准线于点H,若PH川=2PF,则直线的倾斜角 为 14.已知椭圆C:三+景=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F2,上顶点为A,直线AF1与C的另一个交点 为B,若AB=|BF2l,则的值为 四、解答题：（本题共5小题，共77分；15题13分；16-17题15分；18-19题17分；解答应 写出数学语言说明、证明过程、演算步骤) 15.已知圆C:(x-1)2+0y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0. (1)求证：不论为何值时直线恒过定点，并求出定点坐标； (2)(i)求证：直线l与圆c相交： (i)求出截得弦长最短时直线的方程. 16.如图，在四棱锥C-ABB1A1中，底面ABB1A1是正方形，AB1AC,点M,N分别是棱A1B1,BC的中点. AM B 数学试卷第3页共4页 (1)证明：MNI平面ACA1; (2)若AC=2AB,平面ABB1A1⊥平面ABC,求平面AMN与平面BCB1夹角的余弦值 17.已知椭圆c:兰+发=1(a>b>0)过点P(1),离心率e= (1)求椭圆C的方程： (2)设0为坐标原点，过点(-4,0)的直线与椭圆交于不同的两点M,N.直线PM,PN分别与x轴交于点E,F.判 断引OE和OF列的大小关系，并说明理由， 18.甲、乙两位同学参加投篮练习，由他们的投篮位置和命中情况确定得分可能为3分、2分、0分，根据 以往练习统计数据，甲一次投篮得3分、2分、0分的概率分别为好，京、子乙不投3分球，他一次投篮得 2分、0分的概率分别为号、子若甲、乙各投篮一次称为一轮投篮，且甲、乙投篮相互独立，每次投篮也互 不影响. (1)记一轮投篮后，甲的得分为M,乙的得分为W,求P(M≥W): (2)记一轮投篮后，甲乙所得分数之和为随机变量X,求X的分布列及数学期望， 19.国家近年来对机器人的研究，尤其是在人形机器人和具身智能领域方面，出台了一系列的政策，旨在 推动技术创新、产业升级和规模化应用.某学校为响应国家号召，培养学生的创新能力，举办机器人比赛， 经过初赛，甲班团队和乙班团队进入了决赛阶段.决赛阶段规定：对每一轮比赛，获胜方记1分，另一方 记0分，无平局；当两团队累积得分的分差为3分时，比赛结束，累积得分高的团队获冠军.若每轮比赛 中，甲班团队获胜的概率为号，且每轮比赛的结果相互独立. (1)若比赛结束时恰好进行了3轮比赛，求甲班团队获得冠军的概率； (2)()若比赛最多进行5轮，求比赛结束时比赛轮数X的分布列及数学期望E(); (ⅱ)若比赛轮数不限制，求甲班团队获得冠军的概率. 数学试卷第4页共4页 参考答案 1 2 4 6 7 8 9 10 A A B D C ABD ABD 11 ABD 1.A 【分析】两直线垂直的充要条件结合充分必要条件定义即可得解 【详解】若“l11l2”,则3a-2(a-5)=0→a=-10, 所以“a=-10”是“L11l2”的充分必要条件. 故选：A. 2.B 【分析】根据直线过定点并求出圆心到直线距离的最大值，可得弦长|AB的最小值. 【详解】直线的方程可化为m(x+y)+n(x-y-2)=0, 女'20解得1，所以组过定点01-1) 又⊙C的圆心C(0,1),半径为r=√14，|CDl=V5, 易知当CD1时，圆心C到直线的距离最大值为CD=√5，此时AB取得最小值， 可得最小值为2，r2-1CD2=2W14-5=6. 故选：B 3.C 【分析】由题意可知圆C1与圆C2相交，根据两圆相交的条件列不等式，求解即可求出答案. 【详解】由题意可得圆C1圆心坐标为C1(1,0),半径r1=1,圆C2圆心坐标为C2(3,-),半径r2=2, 因为圆C1与圆C2有且只有2条公切线， 所以圆C1与圆C2相交， -r2l ICC2l<r+r2, 所以1<√(1-3)2+(0+)2<3，即1<4+n2<9,解得-V5<n<V5, 所以实数n的取值范围为(-√5，√⑤ 故选：C 4.A 【分析】根据点在圆内，得出不等关系，解不等式即可求得结果。 【详解】由M(1,a)在圆内，得1+a2-1-a-6<0, 即a2-a-6<0,可化为(a-3)(a+2)<0: 解得-2<a<3,即(-2,3)， 数学答案第1页共11页 故选：A 5.B 【分析】求得双曲线C的渐近线方程，进而求得过F与渐近线垂直的直线方程，联立方程组求得A,B的坐标，进而计 算可求得的值 IFAI 【详解】由双曲线c:号-y2=1,得a2=4b2=1,所以a=2,b=1,c=Va2+=V5, 所以双曲线C的右焦点为F(V5,0),双曲线C的渐近线方程为y=±二x, 当过F作渐近线y=三x的垂线时，可得过F与渐近线垂直的直线方程为y=一2(x-V⑤) 联立 y=-2(x- 5 y=x ,解 (y=25 所以垂足A(,2) 5 ,解得 x=45 所以交点a(-9)， 3 所以A=-5)+(s-0)‘=1,1=(s-V5)+(-9-0)= 所以- 同理可求过下作渐近线划=一x的重线时，贸-昌 综上，贸- 故选：B. 6.D 【分析】根据二项式系数和可得n=6,再结合二项展开式的通项运算求解即可. 【详解】因为(x-)展开式的二项式系数和为2”=64，解得n=6, 且(x-为)°展开式的通项为7+1=Cg·6-(（-为)=Cg·(-2)·6-3,T=0,12,…,6, 令6-3r=0,解得r=2,可得T3=C哈·(-2)2=60， 所以其展开式的常数项为60. 故选：D. 7.C 【分析】计算抽到的2张卡片中数字乘积为负数的概率，再计算抽到的2张卡片中数字乘积为非负数的概率即可. 【详解】从5张卡片中抽取2张，共有C号=10种可能， 抽到的2张卡片中数字乘积为负数，即一正一负，共C·C2=4种可能， 所以抽到的2张卡片中数字乘积为负数的概率P1==? 数学答案第2页共11页 则抽到的2张卡片中数字乘积为非负数的概率P=1-号二 故选：C 8.C 【分析】先根据垂直关系建立空间直角坐标系，然后设出E,F的坐标，根据两点距离公式列出EF的表达式，最后根 据二次函数的性质求出最小值即可. 【详解】因为直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，所以以C为原点，以CA,CB,CC1所在直线为x,y,z轴建立空间 直角坐标系， 则C(0,0,0),C1(0,0,2),A1(2,0,2),P(0,1,0) 因为点E在线段A1P上，设A1E=1A1P(∈[0,1])，A1P=(-2,1-2), 所以A1E=（-21,1,-2),所以E(2-21,入，2-2) 因为点F在线段CC1上，所以设F(0,0,),所以EF=(2-2)2+2+(2-21-t)2 为了求其最小值，则t=2-2时，(2-2-t)2=0, 此时EF=J(2-2)2+2=V572-8m+4=5(1-)+ 根据二次函数的性质，由于1∈D,1,所以当A-封，B取最小值为，后-2福 故选：C ZA C E F c-----C A y 9.ABD 【分析】A选项，点P在线段BC上，故当P,C两点重合时，AP+PC取得最小值，求出最小值；B选项，等体积法得 到V4-AP=Vp-41AB=:C选项，建立空间直角坐标系，设P(ab,c),求出P(O,),并得到两平面的法向量，根 据面面角的夹角得到方程，方程无解，故C错误；D选项，表达出BP=(0,1,),令A1C·BP=0,解得μ=1，故 有且仅有一个点P,使得A1C1BP,D正确 【详解】A选项，4=0，BP=BC,μ∈[0,1]，故点P在线段BC上， 故当P,C两点重合时，AP+PC取得最小值，最小值为AC=√AB2+BC=√2，A正确： B选项，当λ=1时，BP=BC+BB,故BP-BC=BB,CP=BB, 数学答案第3页共11页 又u∈[0,1]，所以点P在线段CC1上，SAAIAB=2AA1·AB=2 因为直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC,又BCC平面ABC,所以BB1⊥BC, 又AB⊥BC,AB∩BB1=B,所以BC⊥平面ABB1A1, 故点P到平面A1AB的距离为1，故VA-AB即=Vp-4AB=SAAB·1=言名 三棱锥A1-ABP的体积为定值，B正确； C选项，以B为坐标原点，BA,BC,BB1所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， A P。 B C 则B(0,0,0),C(0,1,0),B1(0,0,1),A(1,0,0),A1(1,0,1),设P(a,b,c), 则BP=(a,b,c),BC=(0,1,0),BB1=(0,0,1), 因为=时，BF=BC+BB,即(a,b,c)=(0,入0)+(0,0，) 所以a=0,b=,c=故P(0,2,)AB=(-1,01),B1P=(0,,-) 设平面AB1P的一个法向量为元=(x,y,z), 元·AB1=(x,y,z）·(-1,0,1)=-x+z=0 则 m:BP=(xy,2)(0,-)=y-2z=0 令z=2λ，则x=2元，y=1,故m=(2λ，1,2)， 平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1), 设平面AB1P与平面ABC的夹角为6， 则c0s0=lcos(元，=212000，-2 √412+1+42 V82+1 若平面AB1P与平面ABC的夹角为45°，令2A -号故8=812+1， 方程无解，故不存在两个点P使得平面AB1P与平面ABC的夹角为45°，C错误； D选项，当1=1时，BP=BC+BB1,即(a,b,c)=(0,1,0)+(0,0,)=(0,1,W, 故a=0,b=1,c=u,P(0,1,),故BP=(0,1,), 又A1C=(0,1,0)-(1,0,1)=(-1,1,-1),令A1C.BP=(-1,1,-1)·(0,1,四)=1-4=0， 解得μ=1，故有且仅有一个点P,使得A1C1BP,D正确. 故选：ABD 数学答案第4页共11页 10.ABD 【分析】计算|AB和AB中点到准线的距离可判断A:根据抛物线的定义结合距离和最小计算可判断B;应用韦达定 理计算面积可判断C;根据点差法可判断D 【详解】由题意可知抛物线的焦点F(1,0),准线方程为x=-1: 设Axy1,Bxy2,AB的中点N(白，士） 则N到准线x=-1的距离为+1，AB=x1+1+2+1)=整+1， 2 所以以川AB为直径的圆与准线相切，故A正确： 过点A作AA1垂直于准线，垂足为A1, 则AF|+|AM=IAA1l+|AM≥IA1M|=5,当且仅当A1,A,M三点共线时取等号， 所以AF+IAM的最小值为5，故B正确： 若直线的领斜角为30，则直线AB的方程为y=9c-),即x-V-1=0, 测点0到直线AB的距离d-古 √12+(-32 (y2=4x v=9c-1)得x2-14x+1=0, 由 所以x1+x2=14,|AB=x1+x2+2=16, 所以SAOAB=AB·d=2×16×=4,故C错误： 假设点N的坐标为(3,2)，则x1+x2=6,y1+y2=4, 由直线l与抛物线交于A,B两点得 y=4x1,两式相减得01+y201-y2》=4x-2) y2=4x2 即2=4=1，所以k4B=1, x1-x2y1+y2 所以直线AB的方程为y-2=x-3, 即y=x-1,点F(1,0)在直线AB上， {1得x2-6x+1=0,△=36-4=32>0，故D正 故选：ABD 数学答案第5页共11页 11.ABD 【分析】利用独立事件概率乘法公式，结合分类讨论、互斥事件概率加法，来计算判断即可. 【详解】对于A,对抗赛恰好两场结束，需满足“甲或乙连续赢两场，则概率为×号+×=号故A正确： 对于B,甲赢得对抗赛，包含两种情况：一种是两场结束后甲获胜，概率为污×= 另一种是甲在前两场比赛输了一场，第3场比赛胜，则概率为号××+×号×号=号概率之和为号故B与D 正确： 对于C,P(A=号，P(B)=碧，P(AB)=青，P(AB)≠P(A)P(B),不满足独立条件，故C错误 故选：ABD 12.2 【分析】根据平面法向量的性质，结合空间向量平行的性质的坐标运算进行求解即可. 【详解】l//a,∴直线的一个方向向量与平面a的一个法向量垂直， ∴.元·方=4m-10+2=0,解得m=2. 故答案为：2. 13. 260°(2分)(3分) 【分析】求出p即可；过点P作PM垂直准线，根据抛物线的定义以及条件可得引PH川=2PM,即可求出∠MHP=30°， 再利用垂直关系即可。 【详解】2p=4,则p=2, 故点F到准线的距离为p=2; 过点P作PM垂直准线，垂足为M,则由抛物线的定义可知，IPM=|PF, 因为PH川=2IPF1,所以PH=2IPM川，则LMHP=30°， 因为PH1PQ,所以直线的倾斜角为60°， M 故答案为：2；60 14.3 【分析】设BF1l=m>0,根据椭圆定义可得BF2l=2a-m,AB=a+m,进而可得m=?即可得结果。 【详解】由题意可知：|AF1l=lAF2=a,|BF1l+IBF2l=2a, 数学答案第6页共11页