8.2 特殊的平行四边形（3）----菱形（1）课件 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

执教： 张二平 苏科版八年级数学下册 8.2 特殊的平行四边形（3）----菱形（1） 学习目标 1、理解菱形的定义，掌握菱形的性质。 2、引导学生经历由平行四边形到菱形的探索过程，合情推理能力 和有条理的表达能力。 3、在对菱形特殊性质的探究过程中，引导学生理解特殊与一般的关系。 学习重点：探索菱形的性质及其性质的简单应用 学习难点：菱形与平行四边形之间的内在联系与区别 一、情境引入： 生活中常常见到一种伸缩围栏， 它由一些小的平行四边形构成， 这些平行四边形的邻边都相等。 如图，有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形(rhombus). 菱形的定义既是菱形的性质， 也是菱形的判定方法。 那么菱形的有哪些性质呢？ 3 二、新知探索： 问题：菱形是特殊的平行四边形， 它除了具有平行四边形的一切性质外， 哪些特殊性质? 如图，在ABCD中，AB=BC,对角线AC，BD相交于点O。 由平行四边形的性质定理1，可得AB=DC，AD=BC， ∴AB=BC=CD=DA。 由平行四边形的性质定理2，可得AO=CO，所以BD⊥AC。 4 小结： 1、菱形的性质定理： 几何语言： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD。 菱形的四条边相等，对角线互相垂直。 2、菱形的对称性： 菱形也是轴对称图形， 对角线所在的直线是它的对称轴，有两条。 菱形是特殊的平行四边形，所以它是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。 菱形每一条对角线 平分一组对角。 菱形的周长 =边长×4。 5 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。 讨论：菱形的面积常见的计算方法有哪些？ 2、已知对角线长度： 1、已知边长和高：（与平行四边形面积公式相同） 如果已知菱形的边长为a，高为h， 则 S菱形=a×h。 假设菱形的对角线长度分别为d1和d2， 则 探讨：菱形的边长与对角线长有什么关系？ 如图假设菱形ABCD的边长为a，两条对角线长度分别为d1和d2， 在Rt△COD中，CO2+OD2=CD2。 , S菱形=(d1×d2)。 菱形的两条对角线长的平方和等于边长平方的4倍。 6 试一试： 1、菱形是轴对称图形，对称轴是 ， 又是中心对称图形，对称中心是 。 2、菱形的两条对角线把菱形分成 个全等的 三角形。 3、如图，已知在菱形ABCD中， 对角线AC＝6cm，BD＝8cm， 则菱形的边长是 cm，周长为 cm， 菱形的面积为 cm2 ，高为 cm。 对角线所在的直线 对角线的交点 4 直角 5 20 24 4.8 7 二、例题讲解 例1、如图，木制活动衣帽架由三个完全相同的菱形构成， 已知菱形ABCD的边长为13cm，上、下两排挂钩间的距离 AC为24cm，求点B，M之间的距离。 解：如图，连接AC，BD，相交于点0， ∵四边形ABCD是菱形，AB=13，AC=24, ∴∠AOB=90°(菱形的性质定理) ∴BD=2BO=10， BM=3BD=30. 例2、如图，在菱形ABCD中,E,F,G,H 四点分别在边AB,BC,CD,AD上, 且BE=BF=DG=DH,连接EF,FG,GH,EH,BD. (1)判断四边形EFGH的形状，并说明理由； (2)当AE=3BE时,直接写出四边形ABCD与四边形EFGH的面积比. 解：(1)四边形EFGH是矩形.理由如下： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=DA，AD∥BC. ∴∠ABC+∠A=180°, ∵BE=BF=DG=DH, ∴AB-BE=AD-DH=BC-BF=CD-DG, 即AE=AH=CF=CG. ∴∠1=∠2，∠3=∠4. ∵∠ABC=180°-∠1-∠2=180°-2∠1, 同理可知，∠A=180°-2∠3, ∴180°-2∠1+180°-2∠3=180°， ∴∠1+∠3=90°,即∠FEH=90° 同理可得，∠EHG=∠EFG=90° ∴四边形EFGH 是矩形. (2)四边形ABCD与四边形EFGH的面积比为8:3. S黄色矩形：S△AOB =16x：6x =8:3 9 三、基础强化： 1、如图,在菱形ABCD中,点M,N分别在AB,CD上,且AM=CN, MN与AC交于点O,连接BO.若∠DAC=28°, 则∠OBC的度数为 ( ) A、28° B、52° C、62° D、72° 2、如图,菱形ABCD的对角线BD,AC的长分别为2和5, P是对角线AC上任意一点(不与点A,C重合), 且PE∥BC交AB于点E,PF∥CD交AD于点F, 则阴影部分的面积是　　 . C 2.5 10 3、如图，菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,将△BOC绕点 C旋转180°得到△B'0'C.若AC=4,AB’=10, 则菱形ABCD的边长是 。 4、如图,在菱形ABCD中, ∠A=100°,E,G分别是 边AB,BC的中点,过点E作EF⊥CD于点F,连接GE,GF， 则∠GFC= 。 6 10 8 32 50° 11 5、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC， 且DE：AC=1：2，连接CE，OE，连接AE交OD于点F. (1)求证：OE=CD； (2)若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长. (1)证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴OC=OA=AC,AC⊥BD. ∵DE∶AC=1∶2,∴DE=OC.∵DE∥AC, ∴四边形OCED是平行四边形. ∵AC⊥BD,∴四边形OCED是矩形,∴OE=CD. (2)∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD=BC=CD=2.又∵∠ABC=60°, ∴AC=AB=2.∵AC=2OA,∴OA=1. 在矩形OCED中, 在Rt△ACE中, 12 四、拓展提高： 如图①，在菱形ABCD和菱形BEFG中，A，B，E三点在同一条直线上, P是线段DF的中点,连接PG,PC. (1)探究PG与PC之间的位置关系，写出你的猜想并加以证明； (2)若PG=PC,求∠PGF的度数； 解：(1)PG与PC之间的位置关系是PG⊥PC. 证明如下：如图1，延长GP交DC于点H. ∵P是线段DF的中点，∴FP=DP.由题意,得BC=CD,BG=GF,DC//GF,∴∠GFP=∠HDP. ∵∠GPF=∠HPD,∴△GFP≌△HDP(ASA). ∴GP=HP,GF=HD,即HD=BG,P是HG的中点. ∴BC一BG=CD一HD,即CG=CH. ∴△CHG是等腰三角形，即PG⊥PC. (2)由(1)，得△CHG是等腰三角形，PG⊥PC,DC//GF. ∵PG=PC,所以APCG是等腰直角三角形， 即∠PGC=∠PCG=45°，所以∠DCB=2∠PCG=90°.所以∠CGF=∠DCB=90°,即∠PGF=∠PGC+∠CGF=135°。 13 (3)如图②，将图①中的菱形BEFG绕点B按顺时针方向旋转， 使菱形BEFG的BG恰好与菱形ABCD 的边AB在同条直线上. 若∠ABC=∠BEF=60°直接写出PG与PC之间的数量关系. CG=2PC=2a, PC=a 1、菱形的性质定理： 几何语言： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD。 菱形的四条边相等，对角线互相垂直。 2、菱形的对称性： 菱形也是轴对称图形， 对角线所在的直线是它的对称轴，有两条。 菱形是特殊的平行四边形，所以它是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。 五、总结反思： 3、菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。 15 1、菱形具有而平行四边形不具有的性质是 （　 　） 　A、对角线互相平分 B、邻角互补 C、对角线相等 D、对角线互相垂直 2、如图,P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的 一个动点,M,N分别是AB,BC边的中点， 则MP+PN的最小值是（ ） A、 B、1 C、 D、2 六、达标检测： D B 3、如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD 相交于点O,E是边CD的中点,过点E作EF⊥BD于 点F,EG⊥AC于点G,连接FG,若AC=12,BD=16, 则FG的长度为 。 5 16 4、如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,点E在边BC上,点F在边CD上. (1)如图①,若E为BC的中点,∠AEF=60°,求证:BE=DF; (2)如图②,若∠EAF=60°,求证:△AEF是等边三角形. 证明：(1)连接AC，∵在菱形ABCD中,∠B=60°, ∴AB=BC=CD,∠BCD=120°.∴△ABC是等边三角形, ∵E是BC的中点, ∴AE⊥BC,∠1=90°, ∵∠AEF=60°,∴∠2=180°-∠AEF-∠1=30°, ∴∠3=180°-∠BCD-∠2==30°,即∠2=∠3. ∴CE=CF，∴BC-BE=CD-DF，∴BE=DF. (2) 连接AC，由(1)知△ABC，△ACD是等边三角形, ∴AB=AC,∠B=∠4=∠1=60°.∴∠1+∠2=60° ∵∠EAF=60°∴∠2+∠3=60°,∴∠1=∠3. 在△ABE和△ACF中, ∴△ABE≌△ACF(ASA), ∴AE=AF.且∠EAF=60° ∴△AEF是等边三角形. $