第7章 相交线与平行线单元复习（6大知识点总结+9大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版数学七年级下册易错题重难点培优讲义

第7章 相交线与平行线 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.相交线（对顶角、邻补角） 1.对顶角的识别与角度计算； 2.邻补角的性质应用（互补）； 3.多条直线相交时对顶角、邻补角的计数 1.混淆对顶角与邻补角的概念（对顶角相等，邻补角互补）； 2.多条直线相交时漏数对顶角或邻补角； 3.计算邻补角时忽略“互补”本质（和为） 2.垂线（性质、点到直线的距离） 1.垂线的定义与角度计算（）； 2.垂线段最短的实际应用； 3.点到直线距离的识别与计算； 4.同一平面内过一点作垂线的唯一性 1.忽略“同一平面内”的前提条件； 2.混淆“垂线段”与“点到直线的距离”（距离是长度）； 3.误认为“垂直于同一直线的两条直线平行”无前提条件 3.三线八角（同位角、内错角、同旁内角） 1.同位角、内错角、同旁内角的识别； 2.结合图形判断角的位置关系； 3.为平行线的判定铺垫条件 1.识别时忽略“两条直线被第三条直线所截”的背景； 2.混淆内错角与同旁内角的位置特征； 3.复杂图形中漏认或错认角的关系 4.平行线的判定 1.利用同位角相等判定平行； 2.利用内错角相等判定平行； 3.利用同旁内角互补判定平行； 4.平行公理推论的应用（平行于同一直线的两直线平行） 1.未化简角的关系就判定平行； 2.混淆判定条件（如用同旁内角相等判定平行）； 3.忽略“被截线”与“截线”的对应关系 5.平行线的性质 1.两直线平行，同位角相等的应用； 2.两直线平行，内错角相等的应用； 3.两直线平行，同旁内角互补的应用； 4.平行线性质与角度计算的结合 1.混淆平行线的“判定”与“性质”（判定：角→线；性质：线→角）； 2.未确认两直线平行就套用性质； 3.角度计算时漏加或漏减已知角 6.平移 1.平移的性质应用（形状、大小不变，对应线段平行且相等）； 2.平移的作图； 3.平移的实际应用（如道路面积、图案设计） 1.误认为平移后对应线段“相等但不平行”； 2.作图时忽略平移方向或距离； 3.计算平移相关面积时未利用“平移转化”思想 【易错题型】 【题型1】三线八角的识别错误（同位角、内错角、同旁内角混淆） 1.易错点总结 忽略“两条直线被第三条直线所截”的前提，孤立识别角； 混淆内错角（“之间、两旁”）与同旁内角（“之间、同旁”）的位置特征； 复杂图形中（如多条截线），未锁定“被截线”与“截线”就判断角的关系。 2.纠错技巧 三步识别法：①锁定被截线（两条平行或待判定平行的直线）；②确定截线（与两条被截线都相交的直线）；③根据角的位置特征判断类型； 图形标记法：用“F”形记同位角、“Z”形记内错角、“U”形记同旁内角； 简化图形法：复杂图形中，擦掉无关线条，只保留“两条被截线+一条截线”的核心结构。 【例题1】.（24-25七年级下·全国·周测）如图，已知射线BA，BC被直线EF所截，则与是（   ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．邻补角 【答案】C 【分析】本题考查内错角的判定，掌握内错角是位于截线两侧、被截直线之间的角是解题的关键． 根据与的位置：在截线两侧，且处于被截直线之间，对照各类角的定义判断． 【详解】解：射线被直线所截：与位于截线的两侧，且处于被截直线之间，符合内错角的定义． 故选：C． 【变式题1-1】.（22-23七年级下·甘肃临夏·期末）如图，直线被直线所截，与是同位角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同位角的定义，根据两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角即可得出答案． 【详解】解：的同位角是， 故选：C． 【变式题1-2】.（2026七年级下·全国·专题练习）下列各图中，和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同位角的概念，熟练掌握同位角的概念是解题的关键； 根据同位角的概念分析是否为同位角即可． 【详解】解：已知同位角的定义：两条直线被第三条直线所截时，在截线同侧，且在被截两直线同一方向的位置上形成的两个角； A、两角不在截线同侧，不是同位角，不符合题意； B、图中所标两角不是两条直线被第三条直线所截得到的，不符合题意； C、符合同位角定义，符合题意； D、图中所标两角不是两条直线被第三条直线所截得到的，不符合题意； 故选：C ． 【变式题1-3】.（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图，的内错角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了内错角的定义，正确记忆内错角的定义是解决本题的关键．根据内错角是在截线两旁，被截线之内的两角，内错角的边构成” “形作答． 【详解】解：的内错角是 故选：D． 【基础题型】 【题型2】对顶角与邻补角的基础计算 1.考点总结 核心考查对顶角相等、邻补角互补的性质； 单一或两条直线相交的简单角度计算； 已知一个角，求对顶角或邻补角的度数。 2.解题技巧 直接套用性质：对顶角，邻补角； 步骤简化：已知角→对顶角直接相等，邻补角用减去已知角； 示例：若，则对顶角，邻补角。 【例题2】.（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，直线、、相交于点O，则的邻补角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了邻补角的定义，熟记邻补角的定义是解答的关键．根据邻补角的定义解答即可． 【详解】解：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角，因此的一个邻补角是，． 故选：C． 【变式题2-1】.（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线a，b相交于点O，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是对顶角的性质，邻补角的性质，由对顶角相等求解，再利用邻补角互补可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式题2-2】.（2026七年级下·全国·专题练习）如图，直线，相交于点，，，则的度数为 ． 【答案】20° 【分析】本题考查了对顶角的性质，角的和差，掌握对顶角的性质是解题的关键． 由对顶角的性质得，再根据角的和差关系即可求解． 【详解】解：直线，相交于点， ∵， ∴由对顶角的性质得， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·云南曲靖·月考）如图，O是直线上的一点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若，则______（用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图中角度的计算等知识． （1）利用平角减求出，再利用角平分线定义求出的度数，再利用即可求解； （2）同理（1）即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：同理（1），得， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型3】垂线的性质应用与点到直线距离的识别 1.考点总结 考查垂线的定义（夹角）、垂线段最短的性质； 点到直线距离的识别（垂线段的长度）； 简单的垂线相关角度计算。 2.解题技巧 角度计算：遇垂线直接标，结合邻补角或对顶角求解； 距离识别：找“过点作直线的垂线段”，其长度即为点到直线的距离； 实际应用：最短路径问题（如到公路的最近路线），直接用“垂线段最短”解决。 【例题3】.（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，在中，，于点D，于点E，则点B到的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离． 根据高的定义作答即可． 【详解】解：∵， ∴点B到的距离是线段的长度． 故选：C． 【变式题3-1】.（2025-2026学年第一学期初中阶段性学习评价七年级数学试卷）如图，直线、相交于点，．若，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 由垂直的定义得，然后结合平角即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·河南南阳·月考）如图，直线与相交于． (1)若，判断与的位置关系，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查求角度，涉及互余定义、对顶角、邻补角等知识，数形结合，准确表示出相关角度是解决问题的关键． （1）先由，得到，根据等量代换得到即可判断与的位置关系； （2）在（1）的条件下，由列方程求出，进而得到，再由对顶角相等得，数形结合表示出，代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， 理由如下： ， ， ， ， ； （2）解：， ， 解得， ， 由对顶角相等得， 故． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·江苏泰州·月考）如图，与互为补角，有以下三条信息： ①平分，②，③平分． 请你从以上3条信息中选择2条作为条件，1条作为结论，组成一个正确的结论，并说明理由． 你选择的条件是：______，结论是：______． 理由： 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂线的性质，与补角的相关计算，分三种情况：选择的条件是①②，结论是③；选择的条件是①③，结论是②；选择的条件是②③，结论是①；分别求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：选择的条件是：①②，结论是：③； 理由：∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∵与互为补角， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； 选择的条件是：①③，结论是：②； 理由：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵与互为补角， ∴， ∴, ∴，即； 选择的条件是：②③，结论是：①； 理由：∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∵与互为补角， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 【题型4】平行线的判定 1.考点总结 考查平行线的三种基本判定方法； 已知单一角的关系（如同位角相等），判定两直线平行； 平行公理推论的应用（平行于同一直线的两直线平行）。 2.解题技巧 条件匹配：同位角相等→两直线平行；内错角相等→两直线平行；同旁内角互补→两直线平行； 符号规范：用“（已知），（同位角相等，两直线平行）”的格式； 推论应用：若，，则（直接套用，无需角的关系）。 【例题4】.（2025-2026学年第一学期初中阶段性学习评价七年级数学试卷）如图，将两块相同的直角三角板按图示摆放，则与平行，这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点之间线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键． 根据内错角相等，两直线平行直接得到答案． 【详解】解：由题意得， 根据内错角相等，两直线平行可得． 故选：B． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴， 该选项符合题意； B. ∵， ∴， 该选项不符合题意； C. ∵， ∴， 该选项不符合题意； D. ∵， ∴， 该选项不符合题意； 故选：A． 【变式题4-2】.（2026七年级下·全国·专题练习）如图，点，，分别在，，上，若，则 ；若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握识别同旁内角并利用其互补关系判定平行的方法是解题的关键． 利用同旁内角互补，两直线平行的判定定理，通过已知的角度和为，确定哪两条直线被哪条截线所截，从而判定平行关系． 【详解】解：若：与是直线被直线所截的同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行，可得：． 若：与是直线被直线所截的同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行，可得：． 故答案为：、、、． 【变式题4-3】.（2025七年级上·重庆·专题练习）（1）按下列要求作图（不写作法，但要保留作图痕迹）：已知线段a和线段b，且，作一条线段，使等于． （2）如图，点A在射线上，点C在射线上，．求证：．请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵（已知），（       ） ∴______，（    ） ∵（已知）， ∴______（______）， ∴（______）． 【答案】（1）见解析；（2）；同角的补角相等；；等量代换；同位角相等、两直线平行 【分析】本题主要考查了作线段、线段的和差、补角的性质、平行线的判定等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）如图：作射线，以A点为圆心，以a为半径画弧交射线于点B，以点B为圆心，以a为半径画弧交射线于点C； 再以A点为圆心，以b为半径画弧交射线于点D，线段即为所求； （2）根据补角的性质、等量代换、平行线的判定逐步分析即可解答． 【详解】解：（1）如图：线段即为所求； ． （2）证明：∵（已知），（邻补角的性质） ∴，（同角的补角相等） ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等、两直线平行）． 故答案为：邻补角的性质；；同角的补角相等；；等量代换；同位角相等、两直线平行． 【题型5】平行线的性质 1.考点总结 考查平行线的三种基本性质； 已知两直线平行，求相关角的度数（同位角、内错角、同旁内角）； 角度的简单计算与转化。 2.解题技巧 性质匹配：两直线平行→同位角相等；两直线平行→内错角相等；两直线平行→同旁内角互补； 步骤规范：先写平行条件，再推导角的关系（如“（已知），（两直线平行，内错角相等）”）； 计算简化：结合对顶角、邻补角转化角度，快速求解。 【例题5】.（2025—2026学年第一学期学业水平监测九年级数学试题）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示），图中，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，利用平行线的性质解答即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【变式题5-1】.（2025--2026学年第一学期八年级期末考试数学试卷）把下面解答过程中的理由或数学式补充完整． 如图，，，．试判断：与的位置关系？并说明理由． 解：与的位置关系是_____①_____，理由如下： （已知）， _____②_____（两直线平行，内错角相等）． 又（已知）， _____③_____（等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． _____④_____（两直线平行，同位角相等）． 又（已知）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． 【答案】①，②，③，④ 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 根据平行线的判定和性质即可求解． 【详解】解：与的位置关系是，理由如下： （已知）， （两直线平行，内错角相等）． 又（已知）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． 又（已知）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：①，②，③，④． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，，，点P是射线上一动点（与点A不重合），分别平分和，分别与射线交于点C，D． (1)______． (2)点P运动的过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请写出数量关系并说明理由；若变化，请写出变化规律． (3)若点P运动到某处时恰有，判断此时的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)数量关系不变，，理由见解析 (3)直角三角形；理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知平行线的性质与角平分线的定义是解题的关键． （1）根据平行线的性质求出的度数，再由角平分线的定义得到，则可得到，据此可得答案； （2）根据平行线的性质可得，，则由角平分线的定义可得，据此可得结论； （3）由平行线的性质和已知条件可得，则可证明，则由角平分线的定义可得．求出，据此可得结论． 【详解】（1）解： ， ． ， ． 又 平分，平分， ． 又 ， ； 故答案为； （2）解：数量关系不变，，理由如下： ， ，， 平分， ， ； （3）解：是直角三角形，理由如下： ， ，． ， ∴ ，即． 分别平分和， ，． ． ，， ． ． ，故是直角三角形． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·四川巴中·期末）将一副三角尺按如图所示的方式放置，其中，，，，给出下列结论： ①若，则； ②若，则； ③； ④若，则． 其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平行线判定与性质、三角板中角度计算问题． 若，则，可推出，，即可判断①；若，则，即可判断②；由，得，即，即可判断③；若，由③得，由①得：，即可判断④． 【详解】解：若，则， ∴， ∵， ∴， ∴；故①正确； 若，则； ∴，故②错误； ∵， ∴， 即， ∴，故③正确； 若，由③得， 由①得：， ∴，故④正确； 即正确的结论有3个． 故选：C． 【提升题型】 【题型6】几何图形中的平行线综合计算（含三角板、折叠） 1.考点总结 融入三角板（、、、）、折叠等情境； 综合应用平行线的判定与性质； 多步角度转化与计算。 2.解题技巧 情境转化：将三角板、折叠图形中的已知角标注到图中，锁定平行关系； 辅助线技巧：遇折叠或多线相交，适当作辅助平行线（如过拐点作平行于已知直线的直线）； 示例：含角的三角板与平行线结合，先利用平行线性质得到内错角相等，再结合三角板内角和求解。 【例题6】.（23-24七年级下·山东德州·月考）将一张长方形纸片沿折叠，折叠后的位置如图所示，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的计算，解题的关键是理解折痕是角平分线．利用平行线的性质解决问题即可． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， 由翻折可知：， ， ， 故选：A． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·四川眉山·期末）实践探究 (1)如图1，把一副三角板按照图1紧贴放置，图1中的度数为__________； (2)如图2，把其中等腰直角三角板的直角顶点放置在另一三角板的直角边上，若，求与的度数； (3)如图2，在（2）放置中，把其中等腰直角三角板的直角顶点放置在另一三角板的直角边上，若两三角板的斜边，求与的度数． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查角的和差，平行线的判定及性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）结合三角板各个角的度数，运用角的和差求解即可； （2）由得到，结合即可求解； （3）过点F作，则，得到，，根据角的和差即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴， 即． 故答案为：． （2）解：根据题意，得， ∴， ∵， ∴，． （3）解：根据题意，得，，． 过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴． 【变式题6-2】.（23-24七年级下·山东临沂·月考）【问题情境】 学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的①—④，虚线部分表示折痕）． 【操作发现】 （1）发现一：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，，则．用数学符号写出这个推理过程，并注明推理的依据． （2）发现二：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，则，所以．用数学符号写出这个推理过程，并注明推理的依据． 【解决问题】（3）如图⑤，于点，平分，于点．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定定理并灵活运用． （1）利用同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行进行分析即可； （2）利用同位角相等，两直线平行进行分析即可； （3）由题意可得，则有，，再由角平分线的定义可得，则可求得． 【详解】（1）解：，， ∴（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）； （2）解：，， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）； （3）证明：于点，于点， ∴， ，， 又平分， ． ． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·河南郑州·月考）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，小明将含角的直角三角板中的点A落在直线PQ上，若，则的度数为______； (2)如图2，小明将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)小明将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点C与点F重合，且，若三角板绕着C点顺时针方向旋转，直至三角板上的A点由当前位置旋转到落在线段上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 【答案】(1) (2)平分．理由见解析 (3)的度数为或或或． 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题、平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，准确找到各个角度是解题的关键． （1）根据两直线平行，同位角相等即可得到结果； （2）先根据角平分线的性质得到，再根据两直线平行，内错角相等，可得到，即可求得得，即可得结论； （3）分四种情况讨论，分别画出图形，根据平行的性质求解可求得结果； 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：平分，理由如下： 平分，， ， ， ， ， ， ， 即平分． （3）解：根据题意，分四种情况： ①如图1，当时， 或； ②如图2，当时， ； ③如图3，当时， ； ④如图4，当时， ． 综上所述，当三角板的边与三角板的某条边平行时，的度数为或或或． 【题型7】生活情境中的平行线应用（跨学科、实际场景） 1.考点总结 融入建筑、运动、交通等实际场景（如梯子、道路、风筝骨架）； 提取几何模型，转化为平行线问题； 考查数学建模素养。 2.解题技巧 模型提取：从实际场景中分离出“两条直线+截线”的平行模型； 条件转化：将实际问题中的角度、长度转化为几何中的角关系、线段关系； 示例：梯子靠墙时，梯子与地面平行的横档，可转化为平行线，利用“两直线平行，同位角相等”判断横档与墙面的夹角。 【例题7】.（22-23七年级下·河南许昌·月考）如图，梯子的各条横档互相平行，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由梯子的各条横档互相平行，若，根据两直线平行，同位角相等，即可求得的度数，继而求得答案． 【详解】解：如图， ∵梯子的各条横档互相平行，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行线的性质．解题时注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用． 【变式题7-1】.（23-24七年级下·河南·月考）国家在积极推进“乡村振兴计划”，要对一段山区道路进行扩建．如图，已知现有道路从地沿北偏东的方向到地，又从地沿北偏西的方向到地．现要从地出发修建一段道路，使，求的度数．    【答案】 【分析】本题主要考查了方向角的计算，平行线的性质，根据方位角的描述可得，则，再由两直线平行，内错角相等即可得到． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵， ∴． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·山西朔州·月考）风筝是中国古代劳动人民发明于春秋时期的产物，其材质在不断改进之后，坊间开始用纸做风筝，称为“纸鸢”（如图1），图2是该风筝骨架示意图，其中，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题关键．过点作，交于点，首先证明，由平行线的性质可得，，进而可知，，即可求得答案． 【详解】解：如图，过点作，交于点， 分别令图中所示的角为，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·河南开封·期末）近年来，我国一直提倡“绿色环保，低碳生活”，健康骑行成为一种时尚、环保的运动，深受人们的青睐，小慧的自行车示意图如图所示，其中，，，． (1)求的度数； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练运用平行线的相关性质解题是关键． （1）利用两直线平行，同旁内角互补即可解答； （2）由平行线的性质以及已知条件可得，进而得到，易证，最后根据同旁内角互补、两直线平行即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ， ． （2）解：，理由如下： ∵， 又， ． ． 【培优题型】 【题型8】平行线间多折点角度问题（探究式） 1.考点总结 考查平行线间有多个拐点（如“Z”形、“U”形、“M”形）时的角度关系； 探究角的和差规律； 培养逻辑推理与归纳能力。 2.解题技巧 辅助线法：过每个拐点作平行于已知直线的辅助线，将多折角转化为多个内错角或同旁内角； 规律归纳：“Z”形（两拐点）→；“M”形（三拐点）→（奇数角之和等于偶数角之和）； 验证推广：通过简单图形归纳规律，再推广到多拐点图形。 【例题8】.（25-26七年级上·吉林长春·期末）【问题情境】如图①，若，，，过点P作，则________； 【问题迁移】如图②，，点P在的上方，点E，F分别在，上，连接，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】如图③，在【问题迁移】的条件下，若，，的反向延长线与交于点G，则与的数量关系是________． 【答案】问题情境：；问题迁移：，理由见解析；问题拓展： 【分析】本题考查角的和差，平行线的判定及性质，正确作出辅助线，运用平行线的判定及性质求解是解题的关键． 问题情境：根据平行线的判定可得，从而得到，，再由角的和差即可求解； 问题迁移：过点P作，得到，因此，，根据角的和差即可解答； 问题拓展：过点P作，过点G作，则，因此，从而．再由，得到，，进而有，即可得出． 【详解】解：【问题情境】∵，， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【问题迁移】，理由如下： 过点P作， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 【问题拓展】过点P作，过点G作， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴． ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·山东青岛·期末）（1）基础问题：如图（1），若，，，则的度数为____________°． （2）问题迁移：如图（2），若，点P在的上方，问：、、之间有什么数量关系？请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，，的角平分线和的平分线交于点G，则____________°（用含有、的代数式表示）． 【答案】（1）90；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的计算，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质与判定可求解； （2）过P点作，则，可得，进而可得，即可求解； （3）过点G作的平行线，利用平行线的判定与性质、角平分线的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图1，过点作． ， ， ∵， ，． ， 故答案为：90； （2）．理由如下： 如图2，过点作， ， ， ，， ； （3）如图3，过点G作的平行线． ，， ， ，， 又 的平分线和的平分线交于点G，， ，， 由（2）得，， ∴， ， ． 故答案为：． 【变式题8-2】.（20-21七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：，点H在线段上，点E在线段上，过点E作线段、，使，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，过点F作交线段于点M，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，平分交于点T，平分交的延长线于点R，点N在线段TF上，连接，过点R作交的延长线于点K，若，，的面积为9，求的长度．（提示：不能直接应用三角形内角和为） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)2 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线定义、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解题的关键． （1）根据得到，进而证明，即可证明，根据，即可证明； （2）过点F作，即可得到，，证明，得到，从而证明，即可证明； （3）过点F作交于O，设，则，证出，过点R作，则，证，进而得出，由平行线的性质得，再由三角形面积关系即可得出答案﹒ 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点F作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点F作交于O﹒ ∴， ∴， ∵平分， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵且， ∴， ∴， 过点R作， ∴， ∵且， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 在中， ∵，， ∴， ∴﹒ 【变式题8-3】.（23-24七年级下·云南临沧·期末）数学兴趣小组进行平行线性质的探究，过程如下： 已知直线，是平面内一动点． 探究一：当动点位于两平行线之间时． （1）如图1，若，，则________． （2）如图2，若，，则________． 探究二：当动点位于两平行线同侧时． （3）如图3，小智认为，与满足“”，于是进行了证明，请你补充结论或填上适当的理由． 证明：如图，过点作， ∴（   ）． ∵（已知）， ∴________ （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， ∴________（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（   ）． （4）如图4，请写出，与之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2）；（3）两直线平行，内错角相等；，，等量代换；（4），证明见解析 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，添加合适的平行线作辅助线是关键． （1）过点P作，证明，，即可得到答案； （2）过点P作，证明，，即可得到答案； （3）过点作，证明．，根据和等量代换即可得到结论； （4）过点作，证明，．根据和等量代换即可得到答案． 【详解】（1）解：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （2）解：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （3）证明：如图，过点作， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（等量代换）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；，，等量代换 （4） 证明：如图，过点作， ∴． ∵ ∴， ∴． ∵， ∴． 【题型9】动态几何中的平行线问题（旋转、移动） 1.考点总结 融入直线旋转、点移动等动态情境； 探究平行关系成立时的角度或位置条件； 培养动态思维与数形结合能力。 2.解题技巧 动态分析：固定已知条件，分析旋转或移动过程中角的变化关系； 方程思想：设未知数表示动态角，根据平行条件（如同位角相等）列方程求解； 临界值判断：确定平行关系成立的临界位置，分阶段讨论。 【例题9】.（23-24七年级下·浙江金华·期中）如图，直线，一副三角板按如图①放置，其中点在直线上，点均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（的对应点分别为）．设旋转时间为（）． ①在旋转过程中，若边，求的值； ②若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（的对应点分别为）．请直接写出当边时的值． 【答案】(1) (2)①t的值为；②t的值为或 【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的定义即可解决问题； （2）①首先证明，由此构建方程即可解决问题； ②分两种情形：当时，延长交于．根据构建方程即可解决问题；当时，延长交于．根据构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图①中， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：①如图②中，延长交于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴在旋转过程中，若边，t的值为． ②如图③中，当时，延长交于． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 如图③﹣1中，当BG∥HK时，延长HK交MN于R． ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 综上，当边 时，的值为或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义，余角的性质等知识，学会用分类讨论的思想思考问题及利用参数构建方程是解题的关键． 【变式题9-1】.（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）如图，直线，连接，线段把直线，之间分成三部分：①的上方；②上；③的下方．并规定：直线，上各点不属于任何部分．当动点P落在某部分时，连接，，构成，，三个角． (1)当动点P落在第②部分时，试说明：． (2)当动点P落在第①部分时，是否仍有：？请说明理由． (3)当动点P落在第③部分时，问：，与之间存在怎样的数量关系？请写出解答过程． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理的推论等知识，属于常考题型，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，然后根据平角为证明即可； （2）过点P作，根据平行线的性质和判定求解即可； （3）过点P作，根据平行线的性质和判定求解即可． 【详解】（1）如图所示， ∵ ∴， ∴； （2）如图所示，过点P作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （3）如图所示，过点P作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【变式题9-2】.（24-25七年级下·福建龙岩·期中）如图，某水域的两岸是互相平行的直线，在两岸的，处分别设置了一盏可以不断匀速旋转的探照灯．设两岸，垂直于河岸，点处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转，点处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转，当两灯射出的光线旋转至各自岸边时立即反向旋转，旋转中常常出现交叉照射，若点处射出的光线每秒旋转，点处射出的光线每秒旋转，设点处探照灯旋转的时间记为，单位： (1)如图1，若点处探照灯先旋转后，点处探照灯才开始旋转． ①填空：当时， ， ． ②探究：能否出现两盏探照灯射出的光线互相平行的情形？若能，求出所有满足条件的值；若不能，请说明理由． (2)设两灯同时开始旋转，当两盏探照灯射出的光线在河面上的点处互相垂直时，请你直接写出符合题意的值（温馨提醒：本小题可不必书写解题过程！） 【答案】(1)①20，60；②会出现两盏探照灯射出的光线互相平行，或或； (2)的值为或． 【分析】本题考查了平行线的性质，角度的计算等知识，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①由题意得到，当时，，即可求出，求出旋转的时间，即可求出； ②根据题意分情况讨论求解即可； （2）设两灯同时开始旋转，若两盏探照灯射出的光线在河面上点处互相垂直，分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①当时，， ∵两岸，垂直于河岸， ∴， ∴， 由题意可得：旋转的时间为：， ∴， 故答案为：； ②会出现两盏探照灯射出的光线互相平行， ∵， ∴， ∴即从开始旋转到后又反向旋转回到了，即：旋转了， ∵， ∴即从开始旋转两次到后又反向旋转了，即：旋转了， 当时，如图①： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当时，如图②： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当时，如图③： 类同可得： ， ∴， 解得：(不合题意，舍去)， 当时，如图③： 类同可得：， ∴， 解得：， 当时，如图③： 类同可得：， ∴， 解得：(不合题意，舍去)， 当 时，如图④： 类同可得：， ∴， 解得：(不合题意，舍去)， 综上：或或； （2）解：设两灯同时开始旋转，若两盏探照灯射出的光线在河面上点处互相垂直， ①当时，如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 即， 解得：，此时，两光线交于点，不符合题意； 当时，如图，过点作， 两盏探照灯射出的光线在河面上点处互相直时， 由题意得：，， ∴， 解得：； 当时，如图，过点作， 两盏探照灯射出的光线在河面上点处互相直时， 由题意得：，， ∴， 解得：； 当时，如图，过点作， 两盏探照灯射出的光线在河面上点处互相直时， 由题意得：，， ∴， 解得：，此时，两光线交于点，不符合题意； 综上，的值为或． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·重庆九龙坡·月考）如图，已知直线与直线相交于点，于点，且，为射线上一点，过点作的平行线，与直线相交于点，直线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，旋转所得的直线与直线相交于点，设旋转时间为． (1)求的度数； (2)为延长线上一点，分别为，的三等分线，且，． ①如图，当时，探究与的数量关系； ②当时，以上数量关系是否仍然成立？若成立，请写出推理过程，若不成立，请直接写出此时与的数量关系． (3)如图，作的角平分线，与的角平分线交于点．当直线开始旋转的同时，三角形也开始绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，得到三角形，当停止旋转时，三角形也同时停止旋转，在旋转过程中，直接写出当直线与三角形的某一边所在直线垂直时的值． 【答案】(1) (2)①；不成立， (3)或或或 【分析】（1）证明，结合，证明，可得，再进一步可得答案； （2）①当时，作，分别求出，进而求出关系； ②如图，设与相交于点，，作，同理①分别求出，进而求出关系即可； （3）分四种情况讨论：如图，当于时，如图，当于时，记与于，如图，当于时，如图，当第二次于时，再利用数形结合建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①当时，如图，由题意得， ， ∴，， ， 作， ， ， ， ∵， 由（），得， ∵， ∴， ∴； ②不成立，，理由如下： 如图，设与相交于点，作， 同理①可得，，，， ，， ∴， ∴； （3）解：∵，，，作的角平分线，与的角平分线交于点． ∴，，， ∴， ∵，， 如图，当于时， ∴，， ∴， ∴， 解得：， 如图，当于时，记与于， 此时，， ∵， ∴， 解得：， 如图，当于时， 同理：，， ∴， 解得：， 如图，当第二次于时， 由对顶角相等可得：，，， ∴， 解得：， 综上：当或或或时，直线与三角形的某一边所在直线垂直． 【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，平行线的性质，一元一次方程的定义，角的动态定义的含义，本题的难度很大，画出图形是解本题的关键． 同步练习 一、单选题 1．如图所示的是一个镶边的模板．下列基本图形中，可通过一次平移得到该模板图案的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了利用平移设计图案，解决本题的关键是理解平移的定义，找到组成整个图案的基本图形． 经过观察可得整个图案可由一组个图案平移次得到． 【详解】解：是由一组个图案平移得到的． 故选：B． 2．下列说法正确的是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．相等的角是对顶角 C．两点之间，线段最短 D．若，则点是的中点 【答案】C 【分析】本题考查平行公理、线段性质和中点定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 选项A需考虑点是否在直线外；选项B混淆了相等角与对顶角的关系；选项C是公理，正确；选项D忽略点是否在线段上． 【详解】解：A、∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，但选项A未指定“直线外一点”，∴ A错误； B、∵对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形底角），∴ B错误； C、∵两点之间所有连线中线段最短，这是几何公理，∴ C正确； D、∵点是中点需满足点在线段上且，但选项D未指定点在线段上，∴ D错误； 故选：C． 3．如图，直线，若，于点，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质． 根据得到，根据“两直线平行同旁内角互补”得到，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 故选：C． 4．如图，直线，射线交于点F，连接，若，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，平角的性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 由可得，，根据平角的性质进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 5．如图，点，，在一条直线上，是直角，则图中的大小不能表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角度的计算，余角和补角的关系，根据图形进行判断，即可求解． 【详解】解：∵点，，在一条直线上，是直角， ∴，， ∴， 而不一定成立，故的大小不能表示为 故选：A． 二、填空题 6．若两个角的两边互相平行，其中一个角为，则另一个角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质，分类讨论；分两种情况分别画出图形，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：已知，，交于点O．求的度数． ①如图1，∵， ∴， ∵， ∴； ②如图2，∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，另一个角的度数为或， 故答案为：或． 7．如图，，为上一点，，过点作于点，且平分，，则下列结论：①；②；③FD平分；④．其中正确的结论是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了根据平行线的性质求角的度数，垂线定义理解，角平分线定义，三角形内角和定理应用，根据直接得出，判断①正确；根据，，得出；；根据，得到，得出，求出，即可判断②④正确；根据已知条件，无法推出的度数，即可判断③错误． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵，， ∴； ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故④正确； 根据已知条件，无法推出的度数， ∴无法推出平分，故③错误； 综上，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 8．如图所示的火车零件模板中，，．若和的延长线交成的角，则该模板合格．因交点不在模板上，测量后质检员测得，，则模板是 （填“合格”或“不合格”）的． 【答案】不合格 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握利用平行线性质求解角度是解题的关键． 延长和交于点，过作，利用平行线同旁内角互补的性质分别求出和，相加得到的度数，再与比较判断模板是否合格． 【详解】解：延长和交于点，过点作． 该模板不合格． 故答案为：不合格． 9．如图，已知直线、相交于点，平分，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了邻补角、角平分线的定义、对顶角相等，灵活运用相关知识是解题的关键． 由邻补角的性质可得，利用角平分线的定义可得，再根据对顶角相等即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 10．如图，将三角形沿着射线向右平移得到三角形，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据图形平移的方向和距离得出线段的长度是解题的关键． 由平移的性质可得，由可得，最后由，进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵将三角形沿着射线向右平移得到三角形， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 11．如图，在方格纸中，点A、B、P都在格点上． (1)按要求在方格纸中画图：过点画出直线的平行线和垂线，垂足为点，连接，； (2)线段________的长度是点到直线的距离； (3)比较大小：________（填、或），理由：________． 【答案】(1)画图见解析 (2) (3)；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【分析】本题考查了画平行线，垂线，线段，点到直线的距离，垂线段最短等知识点． （1）根据题意即可画平行线，垂线，线段； （2）根据点到直线的距离的定义即可求解； （3）根据垂线段最短即可求解． 【详解】（1）解：如图，，，，即为所求； （2）解：线段的长度是点到直线的距离， 故答案为：； （3）解：，理由是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 故答案为：；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 12．如图，点A，O，B在一条直线上，，，平分，求的度数．请将以下解答过程补充完整． 解：∵， ∴ ∴ ∵点A，O，B在一条直线上 ∴ ． ∵平分 ∴ ∴ 【答案】，，，，，，， 【分析】本题考查了平角及角平分线的定义，角的和差关系，正确识图是解题的关键． 由可得，即得，再根据平角的定义可得，即可根据角平分线的定义得到，利用角的和差关系即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵点A，O，B在一条直线上 ∴， ∵平分 ∴ ∴ 故答案为：，，，，，，，． 13．如图，点在直线上，平分，，． (1)与相等的角是_________，与互补的角是____________． (2)求的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、补角的性质，关键是利用平角和角平分线的性质求出相关角的度数，再结合补角的定义确定互补的角． （1）根据角平分线的定义，由平分可得与相等；根据补角的定义，结合平角为，找出与和为的角，即C． （2）先利用平角的定义，由求出的度数，再根据角平分线的定义得到的度数，最后结合，利用平角的定义求出的度数． 【详解】（1）解：∵平分， ∴； ∵点在直线上， ∴， ∴与互补的角是； 故答案为：；． （2）∵点在直线上，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 14．如图，直线，相交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的运算.掌握角的和差关系是解题的关键. （1）结合，，，即可求得答案； （2）结合，，即可求得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． （2）解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 15．如图，直线，一副三角板（，，，）按如图1放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分； (1)求的度数； (2)如图2，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒； ①在旋转过程中，若边，求的值； ②若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（、的对应点分别为、），请直接写出与平行时的值． 【答案】(1) (2)①在旋转过程中，若边，的值为或；②的值为或或 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用、三角板中角度的计算、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）先求出的度数，再由角平分线的定义可得，再由两直线平行，同旁内角互补求出，最后再由，计算即可得解； （2）①分两种情况：当在上方时；当在下方时；分别利用平行线的性质，建立关于的一元一次方程，解方程即可得解；②分情况讨论，分别利用平行线的性质，建立关于的一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图，当在上方时， ∵， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∵将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒， ∴， 解得：； 如图，当在下方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒， ∴此时旋转了， ∴， 解得：； 综上所述，在旋转过程中，若边，的值为或； ②如图，延长与交于点， 由题意可得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 如图，过点作， 由题意可得，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：； 如图，延长与交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 综上所述，的值为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 相交线与平行线 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.相交线（对顶角、邻补角） 1.对顶角的识别与角度计算； 2.邻补角的性质应用（互补）； 3.多条直线相交时对顶角、邻补角的计数 1.混淆对顶角与邻补角的概念（对顶角相等，邻补角互补）； 2.多条直线相交时漏数对顶角或邻补角； 3.计算邻补角时忽略“互补”本质（和为） 2.垂线（性质、点到直线的距离） 1.垂线的定义与角度计算（）； 2.垂线段最短的实际应用； 3.点到直线距离的识别与计算； 4.同一平面内过一点作垂线的唯一性 1.忽略“同一平面内”的前提条件； 2.混淆“垂线段”与“点到直线的距离”（距离是长度）； 3.误认为“垂直于同一直线的两条直线平行”无前提条件 3.三线八角（同位角、内错角、同旁内角） 1.同位角、内错角、同旁内角的识别； 2.结合图形判断角的位置关系； 3.为平行线的判定铺垫条件 1.识别时忽略“两条直线被第三条直线所截”的背景； 2.混淆内错角与同旁内角的位置特征； 3.复杂图形中漏认或错认角的关系 4.平行线的判定 1.利用同位角相等判定平行； 2.利用内错角相等判定平行； 3.利用同旁内角互补判定平行； 4.平行公理推论的应用（平行于同一直线的两直线平行） 1.未化简角的关系就判定平行； 2.混淆判定条件（如用同旁内角相等判定平行）； 3.忽略“被截线”与“截线”的对应关系 5.平行线的性质 1.两直线平行，同位角相等的应用； 2.两直线平行，内错角相等的应用； 3.两直线平行，同旁内角互补的应用； 4.平行线性质与角度计算的结合 1.混淆平行线的“判定”与“性质”（判定：角→线；性质：线→角）； 2.未确认两直线平行就套用性质； 3.角度计算时漏加或漏减已知角 6.平移 1.平移的性质应用（形状、大小不变，对应线段平行且相等）； 2.平移的作图； 3.平移的实际应用（如道路面积、图案设计） 1.误认为平移后对应线段“相等但不平行”； 2.作图时忽略平移方向或距离； 3.计算平移相关面积时未利用“平移转化”思想 【易错题型】 【题型1】三线八角的识别错误（同位角、内错角、同旁内角混淆） 1.易错点总结 忽略“两条直线被第三条直线所截”的前提，孤立识别角； 混淆内错角（“之间、两旁”）与同旁内角（“之间、同旁”）的位置特征； 复杂图形中（如多条截线），未锁定“被截线”与“截线”就判断角的关系。 2.纠错技巧 三步识别法：①锁定被截线（两条平行或待判定平行的直线）；②确定截线（与两条被截线都相交的直线）；③根据角的位置特征判断类型； 图形标记法：用“F”形记同位角、“Z”形记内错角、“U”形记同旁内角； 简化图形法：复杂图形中，擦掉无关线条，只保留“两条被截线+一条截线”的核心结构。 【例题1】.（24-25七年级下·全国·周测）如图，已知射线BA，BC被直线EF所截，则与是（   ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．邻补角 【变式题1-1】.（22-23七年级下·甘肃临夏·期末）如图，直线被直线所截，与是同位角的是（　　） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（2026七年级下·全国·专题练习）下列各图中，和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图，的内错角是（    ） A． B． C． D． 【基础题型】 【题型2】对顶角与邻补角的基础计算 1.考点总结 核心考查对顶角相等、邻补角互补的性质； 单一或两条直线相交的简单角度计算； 已知一个角，求对顶角或邻补角的度数。 2.解题技巧 直接套用性质：对顶角，邻补角； 步骤简化：已知角→对顶角直接相等，邻补角用减去已知角； 示例：若，则对顶角，邻补角。 【例题2】.（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，直线、、相交于点O，则的邻补角为（   ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线a，b相交于点O，，则（   ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（2026七年级下·全国·专题练习）如图，直线，相交于点，，，则的度数为 ． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·云南曲靖·月考）如图，O是直线上的一点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若，则______（用含α的式子表示）． 【题型3】垂线的性质应用与点到直线距离的识别 1.考点总结 考查垂线的定义（夹角）、垂线段最短的性质； 点到直线距离的识别（垂线段的长度）； 简单的垂线相关角度计算。 2.解题技巧 角度计算：遇垂线直接标，结合邻补角或对顶角求解； 距离识别：找“过点作直线的垂线段”，其长度即为点到直线的距离； 实际应用：最短路径问题（如到公路的最近路线），直接用“垂线段最短”解决。 【例题3】.（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，在中，，于点D，于点E，则点B到的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【变式题3-1】.（2025-2026学年第一学期初中阶段性学习评价七年级数学试卷）如图，直线、相交于点，．若，则的大小为 ． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·河南南阳·月考）如图，直线与相交于． (1)若，判断与的位置关系，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·江苏泰州·月考）如图，与互为补角，有以下三条信息： ①平分，②，③平分． 请你从以上3条信息中选择2条作为条件，1条作为结论，组成一个正确的结论，并说明理由． 你选择的条件是：______，结论是：______． 理由： 【题型4】平行线的判定 1.考点总结 考查平行线的三种基本判定方法； 已知单一角的关系（如同位角相等），判定两直线平行； 平行公理推论的应用（平行于同一直线的两直线平行）。 2.解题技巧 条件匹配：同位角相等→两直线平行；内错角相等→两直线平行；同旁内角互补→两直线平行； 符号规范：用“（已知），（同位角相等，两直线平行）”的格式； 推论应用：若，，则（直接套用，无需角的关系）。 【例题4】.（2025-2026学年第一学期初中阶段性学习评价七年级数学试卷）如图，将两块相同的直角三角板按图示摆放，则与平行，这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点之间线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【变式题4-1】.（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（2026七年级下·全国·专题练习）如图，点，，分别在，，上，若，则 ；若，则 ． 【变式题4-3】.（2025七年级上·重庆·专题练习）（1）按下列要求作图（不写作法，但要保留作图痕迹）：已知线段a和线段b，且，作一条线段，使等于． （2）如图，点A在射线上，点C在射线上，．求证：．请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵（已知），（       ） ∴______，（    ） ∵（已知）， ∴______（______）， ∴（______）． 【题型5】平行线的性质 1.考点总结 考查平行线的三种基本性质； 已知两直线平行，求相关角的度数（同位角、内错角、同旁内角）； 角度的简单计算与转化。 2.解题技巧 性质匹配：两直线平行→同位角相等；两直线平行→内错角相等；两直线平行→同旁内角互补； 步骤规范：先写平行条件，再推导角的关系（如“（已知），（两直线平行，内错角相等）”）； 计算简化：结合对顶角、邻补角转化角度，快速求解。 【例题5】.（2025—2026学年第一学期学业水平监测九年级数学试题）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示），图中，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（2025--2026学年第一学期八年级期末考试数学试卷）把下面解答过程中的理由或数学式补充完整． 如图，，，．试判断：与的位置关系？并说明理由． 解：与的位置关系是_____①_____，理由如下： （已知）， _____②_____（两直线平行，内错角相等）． 又（已知）， _____③_____（等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． _____④_____（两直线平行，同位角相等）． 又（已知）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，，，点P是射线上一动点（与点A不重合），分别平分和，分别与射线交于点C，D． (1)______． (2)点P运动的过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请写出数量关系并说明理由；若变化，请写出变化规律． (3)若点P运动到某处时恰有，判断此时的形状，并说明理由． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·四川巴中·期末）将一副三角尺按如图所示的方式放置，其中，，，，给出下列结论： ①若，则； ②若，则； ③； ④若，则． 其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【提升题型】 【题型6】几何图形中的平行线综合计算（含三角板、折叠） 1.考点总结 融入三角板（、、、）、折叠等情境； 综合应用平行线的判定与性质； 多步角度转化与计算。 2.解题技巧 情境转化：将三角板、折叠图形中的已知角标注到图中，锁定平行关系； 辅助线技巧：遇折叠或多线相交，适当作辅助平行线（如过拐点作平行于已知直线的直线）； 示例：含角的三角板与平行线结合，先利用平行线性质得到内错角相等，再结合三角板内角和求解。 【例题6】.（23-24七年级下·山东德州·月考）将一张长方形纸片沿折叠，折叠后的位置如图所示，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·四川眉山·期末）实践探究 (1)如图1，把一副三角板按照图1紧贴放置，图1中的度数为__________； (2)如图2，把其中等腰直角三角板的直角顶点放置在另一三角板的直角边上，若，求与的度数； (3)如图2，在（2）放置中，把其中等腰直角三角板的直角顶点放置在另一三角板的直角边上，若两三角板的斜边，求与的度数． 【变式题6-2】.（23-24七年级下·山东临沂·月考）【问题情境】 学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的①—④，虚线部分表示折痕）． 【操作发现】 （1）发现一：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，，则．用数学符号写出这个推理过程，并注明推理的依据． （2）发现二：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，则，所以．用数学符号写出这个推理过程，并注明推理的依据． 【解决问题】（3）如图⑤，于点，平分，于点．求证：． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·河南郑州·月考）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，小明将含角的直角三角板中的点A落在直线PQ上，若，则的度数为______； (2)如图2，小明将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)小明将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点C与点F重合，且，若三角板绕着C点顺时针方向旋转，直至三角板上的A点由当前位置旋转到落在线段上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 【题型7】生活情境中的平行线应用（跨学科、实际场景） 1.考点总结 融入建筑、运动、交通等实际场景（如梯子、道路、风筝骨架）； 提取几何模型，转化为平行线问题； 考查数学建模素养。 2.解题技巧 模型提取：从实际场景中分离出“两条直线+截线”的平行模型； 条件转化：将实际问题中的角度、长度转化为几何中的角关系、线段关系； 示例：梯子靠墙时，梯子与地面平行的横档，可转化为平行线，利用“两直线平行，同位角相等”判断横档与墙面的夹角。 【例题7】.（22-23七年级下·河南许昌·月考）如图，梯子的各条横档互相平行，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（23-24七年级下·河南·月考）国家在积极推进“乡村振兴计划”，要对一段山区道路进行扩建．如图，已知现有道路从地沿北偏东的方向到地，又从地沿北偏西的方向到地．现要从地出发修建一段道路，使，求的度数．    【变式题7-2】.（24-25七年级下·山西朔州·月考）风筝是中国古代劳动人民发明于春秋时期的产物，其材质在不断改进之后，坊间开始用纸做风筝，称为“纸鸢”（如图1），图2是该风筝骨架示意图，其中，若，，求的度数． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·河南开封·期末）近年来，我国一直提倡“绿色环保，低碳生活”，健康骑行成为一种时尚、环保的运动，深受人们的青睐，小慧的自行车示意图如图所示，其中，，，． (1)求的度数； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【培优题型】 【题型8】平行线间多折点角度问题（探究式） 1.考点总结 考查平行线间有多个拐点（如“Z”形、“U”形、“M”形）时的角度关系； 探究角的和差规律； 培养逻辑推理与归纳能力。 2.解题技巧 辅助线法：过每个拐点作平行于已知直线的辅助线，将多折角转化为多个内错角或同旁内角； 规律归纳：“Z”形（两拐点）→；“M”形（三拐点）→（奇数角之和等于偶数角之和）； 验证推广：通过简单图形归纳规律，再推广到多拐点图形。 【例题8】.（25-26七年级上·吉林长春·期末）【问题情境】如图①，若，，，过点P作，则________； 【问题迁移】如图②，，点P在的上方，点E，F分别在，上，连接，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】如图③，在【问题迁移】的条件下，若，，的反向延长线与交于点G，则与的数量关系是________． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·山东青岛·期末）（1）基础问题：如图（1），若，，，则的度数为____________°． （2）问题迁移：如图（2），若，点P在的上方，问：、、之间有什么数量关系？请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，，的角平分线和的平分线交于点G，则____________°（用含有、的代数式表示）． 【变式题8-2】.（20-21七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：，点H在线段上，点E在线段上，过点E作线段、，使，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，过点F作交线段于点M，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，平分交于点T，平分交的延长线于点R，点N在线段TF上，连接，过点R作交的延长线于点K，若，，的面积为9，求的长度．（提示：不能直接应用三角形内角和为） 【变式题8-3】.（23-24七年级下·云南临沧·期末）数学兴趣小组进行平行线性质的探究，过程如下： 已知直线，是平面内一动点． 探究一：当动点位于两平行线之间时． （1）如图1，若，，则________． （2）如图2，若，，则________． 探究二：当动点位于两平行线同侧时． （3）如图3，小智认为，与满足“”，于是进行了证明，请你补充结论或填上适当的理由． 证明：如图，过点作， ∴（   ）． ∵（已知）， ∴________ （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， ∴________（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（   ）． （4）如图4，请写出，与之间的数量关系，并加以证明． 【题型9】动态几何中的平行线问题（旋转、移动） 1.考点总结 融入直线旋转、点移动等动态情境； 探究平行关系成立时的角度或位置条件； 培养动态思维与数形结合能力。 2.解题技巧 动态分析：固定已知条件，分析旋转或移动过程中角的变化关系； 方程思想：设未知数表示动态角，根据平行条件（如同位角相等）列方程求解； 临界值判断：确定平行关系成立的临界位置，分阶段讨论。 【例题9】.（23-24七年级下·浙江金华·期中）如图，直线，一副三角板按如图①放置，其中点在直线上，点均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（的对应点分别为）．设旋转时间为（）． ①在旋转过程中，若边，求的值； ②若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（的对应点分别为）．请直接写出当边时的值． 【变式题9-1】.（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）如图，直线，连接，线段把直线，之间分成三部分：①的上方；②上；③的下方．并规定：直线，上各点不属于任何部分．当动点P落在某部分时，连接，，构成，，三个角． (1)当动点P落在第②部分时，试说明：． (2)当动点P落在第①部分时，是否仍有：？请说明理由． (3)当动点P落在第③部分时，问：，与之间存在怎样的数量关系？请写出解答过程． 【变式题9-2】.（24-25七年级下·福建龙岩·期中）如图，某水域的两岸是互相平行的直线，在两岸的，处分别设置了一盏可以不断匀速旋转的探照灯．设两岸，垂直于河岸，点处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转，点处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转，当两灯射出的光线旋转至各自岸边时立即反向旋转，旋转中常常出现交叉照射，若点处射出的光线每秒旋转，点处射出的光线每秒旋转，设点处探照灯旋转的时间记为，单位： (1)如图1，若点处探照灯先旋转后，点处探照灯才开始旋转． ①填空：当时， ， ． ②探究：能否出现两盏探照灯射出的光线互相平行的情形？若能，求出所有满足条件的值；若不能，请说明理由． (2)设两灯同时开始旋转，当两盏探照灯射出的光线在河面上的点处互相垂直时，请你直接写出符合题意的值（温馨提醒：本小题可不必书写解题过程！） 【变式题9-3】.（24-25七年级下·重庆九龙坡·月考）如图，已知直线与直线相交于点，于点，且，为射线上一点，过点作的平行线，与直线相交于点，直线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，旋转所得的直线与直线相交于点，设旋转时间为． (1)求的度数； (2)为延长线上一点，分别为，的三等分线，且，． ①如图，当时，探究与的数量关系； ②当时，以上数量关系是否仍然成立？若成立，请写出推理过程，若不成立，请直接写出此时与的数量关系． (3)如图，作的角平分线，与的角平分线交于点．当直线开始旋转的同时，三角形也开始绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，得到三角形，当停止旋转时，三角形也同时停止旋转，在旋转过程中，直接写出当直线与三角形的某一边所在直线垂直时的值． 同步练习 一、单选题 1．如图所示的是一个镶边的模板．下列基本图形中，可通过一次平移得到该模板图案的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．相等的角是对顶角 C．两点之间，线段最短 D．若，则点是的中点 3．如图，直线，若，于点，则为（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线，射线交于点F，连接，若，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 5．如图，点，，在一条直线上，是直角，则图中的大小不能表示为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若两个角的两边互相平行，其中一个角为，则另一个角的度数为 ． 7．如图，，为上一点，，过点作于点，且平分，，则下列结论：①；②；③FD平分；④．其中正确的结论是 ． 8．如图所示的火车零件模板中，，．若和的延长线交成的角，则该模板合格．因交点不在模板上，测量后质检员测得，，则模板是 （填“合格”或“不合格”）的． 9．如图，已知直线、相交于点，平分，若，则的度数为 ． 10．如图，将三角形沿着射线向右平移得到三角形，连接，若，则的长为 ． 三、解答题 11．如图，在方格纸中，点A、B、P都在格点上． (1)按要求在方格纸中画图：过点画出直线的平行线和垂线，垂足为点，连接，； (2)线段________的长度是点到直线的距离； (3)比较大小：________（填、或），理由：________． 12．如图，点A，O，B在一条直线上，，，平分，求的度数．请将以下解答过程补充完整． 解：∵， ∴ ∴ ∵点A，O，B在一条直线上 ∴ ． ∵平分 ∴ ∴ 13．如图，点在直线上，平分，，． (1)与相等的角是_________，与互补的角是____________． (2)求的度数． 14．如图，直线，相交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 15．如图，直线，一副三角板（，，，）按如图1放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分； (1)求的度数； (2)如图2，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒； ①在旋转过程中，若边，求的值； ②若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（、的对应点分别为、），请直接写出与平行时的值． 学科网（北京）股份有限公司 $