精品解析：安徽省淮南市2026届高三第一次教学质量检测数学试题

2026届高三第一次教学质量检测 数学试题卷 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 2．作答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑：如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 3．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合，再由交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得 ， 所以，又， 所以. 故选：D 2. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的四则运算和共轭复数的概念得出结果 【详解】因为， 所以复数的共轭复数为， 故选：B 3. 已知直线，，则“”是"”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】两直线垂直的充要条件结合充分必要条件定义即可得解. 【详解】若“”，则， 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：A. 4. 对于一个声强为（单位：）的声波，其声强级（单位：）可由如下公式计算：（其中是能引起听觉的最弱声强）．设声强为时的声强级为，声强为时的声强级为，则等于（ ） A. 10 B. 100 C. 1000 D. 10000 【答案】C 【解析】 【分析】由题意建立等量关系，由对数运算求得，即可求得结果. 【详解】由题意可知，即，∴， ∴. 故选：C. 5. 在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的加法求得，然后利用投影向量的公式求得结果. 【详解】， ∴. 故选：A. 6. 已知椭圆:的右焦点为，上顶点为，直线交于另一点 ．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量关系得到点 坐标，代入椭圆方程化简求解即可. 【详解】椭圆右焦点为，上顶点为，设. 由得， 所以，，即. 代入椭圆方程得，整理得，即. 又，所以. 故选：C. 7. 已知，若（为自然对数的底数），则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数诱导公式得到，构造函数，由其单调性得到，代入，进而可求解. 【详解】由，可得， 即， 因为 ，则， 令，则， 因为在单调递增， 在单调递减， 所以在单调递增，所以， 所以， 令， 当时，得到最小值，所以， 所以的最大值为，即的最小值为， 所以取得最小值3. 故选：B 8. 2025年12月11日淮南市科技馆正式开馆，淮南市某中学有甲、乙、丙、丁等7位学生约好2026年1月1日去科技馆志愿服务．现将7位学生随机分为3组，每组至少一人，则甲乙同组且丙丁同组的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知不同的分组方法有5,1,1；4,2,1；3,2,2；3,3,1四种，利用不平均分组问题计算方法数，以及计算出符合题意的情况数，即可求得概率. 【详解】由题意，不同的分组方法有5,1,1；4,2,1；3,2,2；3,3,1四种， 当分组为5,1,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种； 当分组为4,2,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种； 当分组为3,2,2时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种； 当分组为3,3,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种； 甲乙同组且丙丁同组的概率为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某AI软件公司开发了一款新型智能写作软件，现将该软件上市后的月份 以及每个月获得的利润 （单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（ ） 月份 1 2 3 4 5 利润 5 8 10 12 15 A. B. 每增加1个月份，月利润约提高2.8万元 C. 10月份的利润约为26.4万元 D. 5月份利润的残差为0.2万元 【答案】AD 【解析】 【分析】由回归方程过样本中心点即可求解 判断A；由回归方程和残差定义即可逐项分析求解判断BCD． 【详解】依题意 ， 将 代入中，解得，故A正确； 可以估计每增加1个月份，月利润提高2.4万元，故B错误； 将代入中，得到，故C错误； 将代入中，得到，则所求残差为，故 D 正确． 故选：AD． 10. 在中，，在线段上，且．则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理进行边角转化，可得，可判断A正确；结合，可得.利用诱导公式可得，由此可求，判断B；由诱导公式及两角和的正弦公式求得，根据正弦定理求出 ，由及角平分线定理得，由此求得，判断C； 中，由余弦定理求得，判断D. 【详解】由正弦定理，得，所以，所以A正确； 因为，所以. 由，得，即. 因为，所以，所以. 因为，所以，所以，所以. 所以，所以. 所以.所以B错误； 由，得. 所以. 所以. 由正弦定理，得. 因为，所以，所以. 所以.所以C正确； 中，由余弦定理得： . 所以.所以D正确. 故选：ACD. 11. 已知正三棱柱的外接球球心为，，点 满足，．则下列结论正确的是（ ） A. 球的表面积为 B. 当时，的取值范围为 C. 当时，不存在点 ，使得平面 D. 当 时，设点 在直线上运动，则线段 长度的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】作的中点，连接，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，结合图形可知正三棱柱的外接球球心在上下底面的重心连线的中点上，计算出半径即可求解A选项； 将平面与平面沿展开使其共面，易知当三点共线时，最短，当点 与重合时，最长，结合展开的图形分别计算出长度即可求解B选项； 依题意求出向量的坐标，然后由可得的值，检验的值是否符合即可判断C选项； 根据题意可知三点共线，由此可得 的最小值为点到平面 的距离，利用点到平面的距离的向量公式即可判断D选项. 【详解】如图，分别作的中点，连接；分别作的中点，连接；分别作靠近的三等分点，连接交于；则两两相互垂直，建立如图空间直角坐标系，则 ， ； 所以， ， ； 对于A，因为，所以即为正三棱柱的外接球球心，半径为，所以球的表面积为，所以A正确； 对于B，如图，分别作的中点，连接，则， 当时，点 在上，将平面与平面沿展开使其共面，则 当三点共线时，最短，最小值为； 当点 与重合时，最长，最大值为； 所以当时，的取值范围为，所以B正确； 对于C，如图，作的中点，连接，则， 当时，点 在上，连接，则， 所以； 由，得，即，即，解得，符合题意，即点 与点重合时，； 又平面，所以平面；所以C不正确； 对于D，如图，连接，则，， 当 时，，此时三点共线，所以 的最小值为点到平面 的距离； 设平面 的一个法向量为，则，即，化简得，取 ，则，所以； 所以点到平面 的距离为，即线段 长度的最小值为，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的前项和为，，，则__________． 【答案】1100 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式求解即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 则，， 联立解得，， 所以，， 所以. 故答案为：1100. 13. 已知点，点 在抛物线上，点 在圆上，则的最小值为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】抛物线方程得到焦点坐标及准线方程，由三角形三边关系及抛物线的定义求得最小值. 【详解】抛物线焦点，准线方程， 如图，过点 作于点 ， 由抛物线的定义可知， 由圆的性质，当且仅当 为线段 与圆的交点时等号成立， 设点到直线的距离为，则，当且仅当时等号成立， 所以， 故的最小值为8. 故答案为：8. 14. 已知，若函数的图象存在对称中心，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据函数定义域确定函数对称中心，再利用函数对称中心的性质列出等式即可求解． 【详解】由题可知，， 令，解得或 ，由题可知， ， 所以定义域为或， 因为函数的图象存在对称中心，所以对称中心横坐标为区间中点， 因为，即， 所以函数图象的对称中心为，则， ， ， 因为， 所以， 因为， 所以对于定义域内任意 都成立， 所以，即 ， 故答案为：4． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的最大值为1，为常数． （1）求函数在上的单调递增区间； （2）求使成立的 的取值集合． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换先化简得，利用最大值为1求出，进而求在的单调增区间即可求解； （2）由得，利用三角函数的性质解不等式即可求解. 【小问1详解】 函数 ， 因为的最大值为1， 所以，解得 ，所以． 令， 解得：， 又因为，则取交集，所以在的单调递增区间为； 【小问2详解】 因为，即，可得：． 所以． 解得： 综上： 成立的 的取值集合是． 16. 如图，在三棱锥中，点 分别是的中点，平面 平面． （1）判断直线与直线的位置关系，并给出证明； （2）若平面平面，， 是直线上的一点，直线与平面 所成角的正弦值为，求线段 的长度． 【答案】（1）． 证明：因为点 分别是的中点，所以 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以平面 ， 因为平面 平面， 平面，所以． （2）或． 【解析】 【分析】（1）由中位线得到线线平行，即可得线面平行，由线面平行的性质得到线线平行； （2）由等腰三角形及面面垂直得到空间内三条两两垂直直线，建立空间直角坐标系，由边长得到点坐标及向量坐标，由向量的数量积求得面 的一个法向量，设，由向量的数量积表示出线面角的正弦值，即可求得线段 的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，点为 的中点，所以 ， 因为平面平面，平面 平面，平面 ， 所以 平面， 因为平面，所以，又 所以以为原点，分别以为 轴， 轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以，又 ， 则． ， 设平面 的法向量为， 则，不妨设，解得． 由（1）可知，设， 得，所以． 设直线与平面 所成角为 ， 则， 得或 ， 所以线段 的长度为或． 17. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人．设次传球后球在乙手中的概率为． （1）求； （2）求； （3）求． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式计算即可. （2）根据全概率公式列出的表达式，确定是首项为，公比为的等比数列，进而根据等比数列的通项公式求出结果. （3）根据（2）中的结果得到，然后根据错位相减法求出，进而求得结果. 【小问1详解】 记“经过次传球后，球在乙手中”，1，2，3，…， 当时，， 当时，． 【小问2详解】 由 ，即， ∴， ∴是首项为，公比为的等比数列， ∴， ∴． 【小问3详解】 由（2）知，令． 所以， 从而， 将以上两式相减可得 ， 所以． 所以． 18. 已知函数在点处的切线方程为 ． （1）求实数 的值； （2）设． （i）证明：存在唯一极小值； （ii）设的极小值点为，证明： ． 【答案】（1） （2）（i）因为，其定义域为. 所以 . 令 ，得 或 ， 设，所以 在上恒成立，所以在上单调递减. 又 ，所以存在唯一 ，使 ． 故 时， ，单调递减， 时， ，单调递增， 时， ，单调递减， 所以是函数的唯一极小值点，所以存在唯一极小值． （ii）因为的极小值点为，所以． 又 ，且在 上单调递增，所以 ； 又，两边取自然对数得，即，即. 所以， 设 ， 则 在 上恒成立，故在 上单调递减， 故，即．综上所述： ． 【解析】 【分析】（1）求出的导函数 ，根据切线的斜率为 ，及点 在切线上列方程，求出 的值； （2）（i）由（1）得，利用导数分析函数的单调性，即可证明存在唯一极小值；（ii）由（i）可得的取值范围，构造新函数，利用导数可分析新函数的取值范围，从而证明 . 【小问1详解】 因为在点 处的切线方程为 ，即 . 所以切线的斜率为 ，且当时， . 因为，所以， 所以，所以 . 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 19. 已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． （1）求的方程； （2）设为的左顶点，过的直线交的右支于两点． （i）证明：以为直径的圆过点； （ii）设直线的斜率存在，直线与圆的另一交点分别为，直线与直线 交于点，试判断的形状，并给出证明． 【答案】（1） （2）（i）由（1）知，，直线的斜率不为0， 设直线的方程为，如图， 由，可得， ∴，其中， ∴ ， ∴，所以以为直径的圆过点． （ii）是等腰三角形（或等腰锐角三角形）． 因为直线的斜率存在，所以． 不妨设直线，其中， 由（i）可知， 由，可得，解得， 故可得，即， ∴ ， 所以直线， 由，可解得，所以在定直线上， 又，所以，所以是等腰三角形（或等腰锐角三角形）． 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程求解双曲线的方程； （2）（i）设直线的方程为，联立双曲线与直线计算证得结果； （ii）联立双曲线与直线判断三角形的形状； 【小问1详解】 因为双曲线的右焦点为，渐近线方程为． 所以， 解得：，所以的方程为 ． 【小问2详解】 （i）略（ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三第一次教学质量检测 数学试题卷 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 2．作答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑：如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 3．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，，则“”是"”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 对于一个声强为（单位：）的声波，其声强级（单位：）可由如下公式计算：（其中是能引起听觉的最弱声强）．设声强为时的声强级为，声强为时的声强级为，则等于（ ） A. 10 B. 100 C. 1000 D. 10000 5. 在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆:的右焦点为，上顶点为，直线交于另一点．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若（ 为自然对数的底数），则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 2025年12月11日淮南市科技馆正式开馆，淮南市某中学有甲、乙、丙、丁等7位学生约好2026年1月1日去科技馆志愿服务．现将7位学生随机分为3组，每组至少一人，则甲乙同组且丙丁同组的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某AI软件公司开发了一款新型智能写作软件，现将该软件上市后的月份以及每个月获得的利润（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（ ） 月份 1 2 3 4 5 利润 5 8 10 12 15 A. B. 每增加1个月份，月利润约提高2.8万元 C. 10月份的利润约为26.4万元 D. 5月份利润的残差为0.2万元 10. 在中，，在线段上，且．则（ ） A. B. C. D. 11. 已知正三棱柱的外接球球心为，，点满足，．则下列结论正确的是（ ） A. 球的表面积为 B. 当时，的取值范围为 C. 当时，不存在点，使得平面 D. 当 时，设点在直线上运动，则线段 长度的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的前项和为，，，则__________． 13. 已知点，点在抛物线上，点在圆上，则的最小值为__________． 14. 已知，若函数的图象存在对称中心，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的最大值为1，为常数． （1）求函数在上的单调递增区间； （2）求使成立的的取值集合． 16. 如图，在三棱锥中，点 分别是的中点，平面 平面． （1）判断直线与直线的位置关系，并给出证明； （2）若平面平面，，是直线上的一点，直线与平面 所成角的正弦值为，求线段的长度． 17. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人．设次传球后球在乙手中的概率为． （1）求； （2）求； （3）求． 18. 已知函数在点处的切线方程为 ． （1）求实数 的值； （2）设． （i）证明：存在唯一极小值； （ii）设的极小值点为，证明： ． 19. 已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． （1）求的方程； （2）设为的左顶点，过的直线交的右支于两点． （i）证明：以为直径的圆过点； （ii）设直线的斜率存在，直线与圆的另一交点分别为，直线与直线交于点，试判断的形状，并给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $