2026年中考数学一轮复习 一元二次方程的应用（营销问题、增长率问题、几何问题）专项训练-

一元二次方程的应用（营销问题、增长率问题、几何问题）专项训练 一元二次方程的应用（营销问题、增长率问题、几何问题）专项训练 考点目录 一元二次方程的应用：营销问题 一元二次方程的应用：增长率问题 一元二次方程的应用：几何问题 考点一 一元二次方程的应用：营销问题 例1．（25-26九年级上·辽宁营口·期末）近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长为进一步拓展市场，某露营装备店在“露营季”期间对一款帐篷进行降价促销，这款帐篷原来的价格是每套300元，经两次降价后变为每套243元． (1)若该店铺两次降价的百分率相同，求该款帐篷价格每次下降的百分率． (2)活动结束后，经市场调研发现，当这款帐篷每套盈利40元时，月销售量为200套，如果调整销售单价，每涨价10元，则月销售量就减少20套．要使月销售利润达到9600元，那么该款帐篷每套可以涨价多少元？ 例2．（25-26九年级上·山西太原·月考）某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店11月4日定制出200本，5日、6日定制量持续增加，到11月6日当天的定制量达到338本． (1)求5日、6日这两日定制量的平均增长率． (2)在日常销售期间，为吸引更多同学购买，文具店降价促销笔记本．已知每本笔记本成本为30元，当售价为每本50元时，日销量为320本；每降价1元，日销量可增加5本．问每本笔记本降价多少元时，当日销售总利润可达到5940元？ 例3．（25-26九年级上·重庆铜梁·期末）某学校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．第一次购买40瓶氯化钠溶液和80瓶硫酸铜溶液需要500元，第二次购买20瓶氯化钠溶液和30瓶硫酸铜溶液需要200元． (1)求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？ (2)为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现配制每瓶氯化钠溶液的成本是元，每瓶硫酸铜溶液的成本是元，已知第三次购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，购买硫酸铜的数量比第一次购买硫酸铜的数量少瓶，商场获利330元，求的值． 例4．（25-26九年级上·广西南宁·月考）某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/天的维护费用，设每间客房的定价提高了元． (1)填表（不需化简）： 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 提价后 ① ② (2)若该青年旅社希望每天纯收入为14000元，且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元（纯收入总收入－总维护费用）？ 变式1．（25-26九年级上·山西晋中·期末）利用一元二次方程解决实际问题 截至2025年10月30日，《浪浪山小妖怪》的累计票房已超过17亿元，登顶中国影史国产二维动画电影票房冠军．问童子毛绒品牌公司，借助电影《浪浪山小妖怪》的东风，推出《浪浪山小妖怪》系列毛绒公仔、挂偶等并在各大网站、店铺爆卖．现已知某店铺成本价为50元/个的“小猪妖”毛绒挂偶，当它的售价为80元/个时，每周可售出100个．经过市场调查发现，每个“小猪妖”毛绒挂偶的售价每上涨1元，周销售量将减少5个． 问：该店铺本周计划涨价销售该款“小猪妖”毛绒挂偶，并盈利2000元，求该店铺本周该款“小猪妖”毛绒挂偶的售价． 变式2．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）某体育用品商店购进一批足球队球衣，每件的进价为元，出于营销考虑，要求每件球衣的售价不低于元且不高于元，在销售过程中发现，球衣每周的销售量y（单位：件）与每件球衣的售价（单位：元）之间满足的函数关系如图所示． (1)求关于的函数表达式及的取值范围； (2)当球衣的销售单价定为多少元时，每周销售球衣所获利润为元？ 变式3．（25-26八年级上·重庆·期末）某超市九月份购进两种水杯共只，已知每只水杯的售价为元，每只水杯的售价为元，全部售完总销售额为元． (1)求该超市九月份分别购进两款水杯多少只？ (2)该超市十月份继续购进这两款水杯售卖，对款水杯进行降价促销：每只款水杯售价降低元，销量与九月份一致；每只款水杯售价不变，销量在九月份的基础上提高了，此次促销后售完两款水杯总销售额比九月份多元，求的值． 变式4．（25-26九年级上·山东济南·期末）为弘扬地方文化，让更多游客了解济南，我市某文旅公司推出多款文创产品，已知某款文创产品的成本价为元，当售价为元时，每天可以售出件；经调查发现，售价每降价元，每天可多售出件． (1)为让利于游客，该款文创产品应该降价多少元，这个文旅公司每天的利润为元； (2)设该文旅公司每天售卖该款文创产品的利润为w元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 考点二 一元二次方程的应用：增长率问题 例1．（25-26九年级上·江西九江·期末）某科技公司今年一月份生产机器人200台，三月份产量为288台，机器人的平均成本为每台10万元，经市场调查发现，销售单价定为20万元时，平均每月能售出100台；而当销售单价每降低1万元，平均每月就能多售出20台． (1)假设该公司今年一月至三月每个月产量的平均增长率相同，求每个月的平均增长率． (2)工厂要想使这种机器人的销售利润平均每个月达到1120万元，且尽快减少库存，销售单价应降低多少万元？ 例2．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）宁夏盐池县的某滩羊养殖合作社，依托当地独特的地理环境和科学的养殖模式，养殖规模连年提升．已知该合作社2023年出栏滩羊的总利润为20万元，2024年和2025年连续两年优化并拓宽线上线下销售渠道，总利润持续增长，且这两年的年利润增长率相同，到2025年总利润达60万元．求该合作社滩羊养殖利润的年平均增长率． 例3．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）2025年12月9日，某电影院开展“热血与担当永不落幕”系列活动，对团体购买电影票《志愿军：浴血和平》实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价10元，这样按原定零售票价需花费2000元购买的电影票，现在只花费了1500元． (1)求每张电影票的原定零售票价； (2)为了弘扬爱国精神，该影院决定对现场购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32.4元，求平均每次降价的降价率． 变式1．（25-26九年级上·云南昭通·期末）某新能源汽车充电站9月份的充电服务收入为4万元，随着电动汽车的普及，收入稳步提升，11月份的收入达到万元． (1)求该充电站10月、11月的月平均增长率； (2)如果收入还保持相同的月平均增长率，则该充电站12月份的收入是多少万元？ 变式2．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）高新技术产业园区某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片64万个，第三季度生产芯片100万个． (1)求该芯片公司生产量的季度平均增长率； (2)按照（1）中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生产量达到130万个，该目标能否实现？请说明理由． 变式3．（25-26九年级上·江西萍乡·期末）2024年10月，萍乡市荣获“中国辣都”称号后，辣味食品产业迅速发展．已知2023年某辣味食品企业年产值为5亿元，得益于品牌效应，该企业的年产值连续两年保持相同的增长率，预计2025年年产值将达到7.2亿元． (1)求该企业年产值的年平均增长率； (2)2024年10月，该企业的线上辣味食品销售额为3200万元，按计划第四季度（月）的线上总销售额需达到12200万元，求11、12两个月销售额的月均增长率． 考点三 一元二次方程的应用：几何问题 例1．（25-26九年级上·山东·期末）为贯彻实施劳动课程，某校计划建造一个矩形种植场地．为充分利用现有资源，该矩形种植场地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成．已知栅栏的总长度为． (1)若矩形种植场地的总面积为，求矩形场地中垂直于墙的一边长为多少米？ (2)当矩形场地中垂直于墙的一边长为多少米时，矩形种植场地的面积最大？最大面积为多少？ 例2．（25-26九年级上·广东清远·期末）综合与实践： 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1： 某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路（沿方向）的宽度都为米，左右两条纵向道路（沿方向）的宽度都为米，道路围合的中间矩形区域为种植园区（如图中阴影区域）．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过14米，且不小于7米． 素材2：该农户在种植园区种植草莓，市场调研信息：草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的月销售利润为100元，每月可销售出5000平方米种植面积对应的草莓产量（即月销售覆盖5000平方米的种植面积）．受天气原因，农户决定降价促销，若每平方米的草莓月利润每下调1元，每月可多销售125平方米种植面积对应的草莓产量，果园每月的承包费为20000元． 问题解决 问题1 （1）种植园区的长为______米，宽为_______米；（用含的代数式表示） 问题2 （2）若种植园区的面积为44800平方米，道路设置的宽度是否符合要求？请说明理由． 问题3 （3）若农户预期一个月的总利润为552000元，为让客户得到实惠，每平方米草莓的月利润应该下调多少元？（总利润=销售利润-承包费） 例3．（25-26九年级上·广东深圳·期末）中国队包揽了2025年世界无人机足球锦标赛，两个组别的冠、亚军．如图，矩形是级别的比赛场地（半场）平面图，由操作区、起飞区、比赛区组成．矩形为起飞区，距场地左侧边界，距右侧边界，距上侧和下侧边界均为，且长比宽多． (1)设的长度为，则的长度为，______，______ （用含x的代数式表示） (2)若矩形的面积为，求的长度． 变式1．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）阅读与思考 下面是小华同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 爱心义卖活动今天，我参加了学校的爱心义卖活动，我和同学们制作手工制品参加义卖．我们准备了一些矩形硬纸板，每块硬纸板的长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计） 把一块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图①）后，折叠成一个无盖的长方体盒子（如图②），则该长方体盒子的底面面积是，我想知道该长方体盒子的高是多少厘米？ 在随后的义卖活动中，我了解到每块矩形硬纸板的成本为20元，若无盖长方体盒子以30元/个售出，则每天可售出12个．在义卖过程中发现，每个无盖的长方体盒子每降1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利128元，则每个无盖长方体盒子应降价多少元？ 任务： (1)根据笔记内容，求出该长方体盒子的高； (2)根据笔记内容，求每个无盖长方体盒子应降价多少元？ 变式2．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，某草莓园购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的自由采摘区即矩形，且墙面． (1)若矩形自由采摘区面积为，请你求出和分别是多少？ (2)为了项目扩建发展，矩形自由采摘区的面积需改为，这一想法能实现吗？请说明理由． 变式3．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图，一个边长为的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形中，点分别在上，且，在、五边形三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元． (1)当时，求小正方形种植花卉所需的费用； (2)试用含有的代数式表示五边形的面积； (3)当为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $一元二次方程的应用（营销问题、增长率问题、几何问题）专项训练 一元二次方程的应用（营销问题、增长率问题、几何问题）专项训练 考点目录 一元二次方程的应用：营销问题 一元二次方程的应用：增长率问题 一元二次方程的应用：几何问题 考点一 一元二次方程的应用：营销问题 例1．（25-26九年级上·辽宁营口·期末）近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长为进一步拓展市场，某露营装备店在“露营季”期间对一款帐篷进行降价促销，这款帐篷原来的价格是每套300元，经两次降价后变为每套243元． (1)若该店铺两次降价的百分率相同，求该款帐篷价格每次下降的百分率． (2)活动结束后，经市场调研发现，当这款帐篷每套盈利40元时，月销售量为200套，如果调整销售单价，每涨价10元，则月销售量就减少20套．要使月销售利润达到9600元，那么该款帐篷每套可以涨价多少元？ 【答案】(1) (2)20元或40元 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为， ，即， ， 因降价百分率，故， 得， 答：该款帐篷价格每次下降； （2）解：设每套涨价元，则月销售量减少套， 此时，每套盈利：元；月销售量：套 则月销售利润为， 解得或， 当时，涨价元，时，涨价元， 答：该款帐篷每套可以涨价20元或40元． 例2．（25-26九年级上·山西太原·月考）某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店11月4日定制出200本，5日、6日定制量持续增加，到11月6日当天的定制量达到338本． (1)求5日、6日这两日定制量的平均增长率． (2)在日常销售期间，为吸引更多同学购买，文具店降价促销笔记本．已知每本笔记本成本为30元，当售价为每本50元时，日销量为320本；每降价1元，日销量可增加5本．问每本笔记本降价多少元时，当日销售总利润可达到5940元？ 【答案】(1) (2)2元 【详解】（1）解：设5日、6日这两日定制量的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（舍）， 答：5日、6日这两日定制量的平均增长率为； （2）解：设每本笔记本降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每本笔记本降价2元． 例3．（25-26九年级上·重庆铜梁·期末）某学校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．第一次购买40瓶氯化钠溶液和80瓶硫酸铜溶液需要500元，第二次购买20瓶氯化钠溶液和30瓶硫酸铜溶液需要200元． (1)求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？ (2)为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现配制每瓶氯化钠溶液的成本是元，每瓶硫酸铜溶液的成本是元，已知第三次购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，购买硫酸铜的数量比第一次购买硫酸铜的数量少瓶，商场获利330元，求的值． 【答案】(1)每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为2.5元，5元 (2)a的值为2 【详解】（1）解：设每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为，元 由题意得， 解得， 答：每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为元，5元． （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得，，， 当时，，不合题意，故舍去； ∴， 答：的值为． 例4．（25-26九年级上·广西南宁·月考）某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/天的维护费用，设每间客房的定价提高了元． (1)填表（不需化简）： 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 提价后 ① ② (2)若该青年旅社希望每天纯收入为14000元，且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元（纯收入总收入－总维护费用）？ 【答案】(1)①；② (2)每间客房的定价应为300元 【详解】（1）解：由题意得，提价后入住的房间数量为， 则提价后的总维护费用为元； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或， ∵要能吸引更多的游客， ∴， ∴， 答：每间客房的定价应为300元． 变式1．（25-26九年级上·山西晋中·期末）利用一元二次方程解决实际问题 截至2025年10月30日，《浪浪山小妖怪》的累计票房已超过17亿元，登顶中国影史国产二维动画电影票房冠军．问童子毛绒品牌公司，借助电影《浪浪山小妖怪》的东风，推出《浪浪山小妖怪》系列毛绒公仔、挂偶等并在各大网站、店铺爆卖．现已知某店铺成本价为50元/个的“小猪妖”毛绒挂偶，当它的售价为80元/个时，每周可售出100个．经过市场调查发现，每个“小猪妖”毛绒挂偶的售价每上涨1元，周销售量将减少5个． 问：该店铺本周计划涨价销售该款“小猪妖”毛绒挂偶，并盈利2000元，求该店铺本周该款“小猪妖”毛绒挂偶的售价． 【答案】该店铺本周该款“小猪妖”毛绒挂偶的售价为90元/个 【详解】解：该店铺本周该款“小猪妖”毛绒挂偶的售价为x元/个， 根据题意得：， ∴，解得：， ∵是涨价销售 ∴（不合题意，舍去） ∴该店铺本周该款“小猪妖”毛绒挂偶的售价为90元/个． 变式2．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）某体育用品商店购进一批足球队球衣，每件的进价为元，出于营销考虑，要求每件球衣的售价不低于元且不高于元，在销售过程中发现，球衣每周的销售量y（单位：件）与每件球衣的售价（单位：元）之间满足的函数关系如图所示． (1)求关于的函数表达式及的取值范围； (2)当球衣的销售单价定为多少元时，每周销售球衣所获利润为元？ 【答案】(1) (2)当球衣的销售单价定为元时，每周销售球衣所获利润为元 【详解】（1）设关于的函数表达式为． 将点，代入，得 解得 关于的函数表达式为． （2）解：根据题意，得． 解得，． ， ． 答：当球衣的销售单价定为元时，每周销售球衣所获利润为元． 变式3．（25-26八年级上·重庆·期末）某超市九月份购进两种水杯共只，已知每只水杯的售价为元，每只水杯的售价为元，全部售完总销售额为元． (1)求该超市九月份分别购进两款水杯多少只？ (2)该超市十月份继续购进这两款水杯售卖，对款水杯进行降价促销：每只款水杯售价降低元，销量与九月份一致；每只款水杯售价不变，销量在九月份的基础上提高了，此次促销后售完两款水杯总销售额比九月份多元，求的值． 【答案】(1) 款水杯只，款水杯只 (2) 【详解】（1）解：设购进款水杯只，则购进款水杯只， 根据题意，得， 解得， 答：购进款水杯只，则购进的款水杯只； （2）解：∵每只款水杯售价降低元，销量与九月份一致， ∴款水杯的销售总额， ∵每只款水杯售价不变，销量在九月份的基础上提高了， ∴款水杯的销售总额， ∵促销售完两款水杯总销售额比九月份多元， ∴两款水杯总销售额， ∴， 整理，得， 解得：． 变式4．（25-26九年级上·山东济南·期末）为弘扬地方文化，让更多游客了解济南，我市某文旅公司推出多款文创产品，已知某款文创产品的成本价为元，当售价为元时，每天可以售出件；经调查发现，售价每降价元，每天可多售出件． (1)为让利于游客，该款文创产品应该降价多少元，这个文旅公司每天的利润为元； (2)设该文旅公司每天售卖该款文创产品的利润为w元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)元 (2)售价为元时，每天的利润最大，最大利润是元 【详解】（1）解：设该款文创产品降价元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：，， 因为要让利于游客，在保证利润目标实现的情况下，降价幅度越大，对游客越有利，所以取，舍去， 故保证每天利润为元的前提下，为最大程度让利于游客，该款文创产品应该降价元． （2）解：设该款文创产品降价元， 则， ． ∵， ∴当时，取最大值为元，此时销售价为元， 故售价为元时，每天的利润最大，最大利润是元． 考点二 一元二次方程的应用：增长率问题 例1．（25-26九年级上·江西九江·期末）某科技公司今年一月份生产机器人200台，三月份产量为288台，机器人的平均成本为每台10万元，经市场调查发现，销售单价定为20万元时，平均每月能售出100台；而当销售单价每降低1万元，平均每月就能多售出20台． (1)假设该公司今年一月至三月每个月产量的平均增长率相同，求每个月的平均增长率． (2)工厂要想使这种机器人的销售利润平均每个月达到1120万元，且尽快减少库存，销售单价应降低多少万元？ 【答案】(1)每个月的平均增长率为 (2)销售单价应降低3万元 【详解】（1）解：设每个月的平均增长率为， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去） 答：每个月的平均增长率为． （2）解：设销售单价降低万元， 根据题意得：， 整理得：， 解得： ∵尽快减少库存， ∴， 答：销售单价应降低3万元． 例2．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）宁夏盐池县的某滩羊养殖合作社，依托当地独特的地理环境和科学的养殖模式，养殖规模连年提升．已知该合作社2023年出栏滩羊的总利润为20万元，2024年和2025年连续两年优化并拓宽线上线下销售渠道，总利润持续增长，且这两年的年利润增长率相同，到2025年总利润达60万元．求该合作社滩羊养殖利润的年平均增长率． 【答案】 【详解】解：设该合作社滩羊养殖利润的年平均增长率为， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：该合作社滩羊养殖利润的年平均增长率为． 例3．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）2025年12月9日，某电影院开展“热血与担当永不落幕”系列活动，对团体购买电影票《志愿军：浴血和平》实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价10元，这样按原定零售票价需花费2000元购买的电影票，现在只花费了1500元． (1)求每张电影票的原定零售票价； (2)为了弘扬爱国精神，该影院决定对现场购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32.4元，求平均每次降价的降价率． 【答案】(1)40 (2) 【详解】（1）解：设每张电影票的原定票价为元，则降价后的价格为元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：每张电影票的原定票价为40元． （2）解：设平均每次降价的降价率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价的降价率为． 变式1．（25-26九年级上·云南昭通·期末）某新能源汽车充电站9月份的充电服务收入为4万元，随着电动汽车的普及，收入稳步提升，11月份的收入达到万元． (1)求该充电站10月、11月的月平均增长率； (2)如果收入还保持相同的月平均增长率，则该充电站12月份的收入是多少万元？ 【答案】(1)该充电站10月、11月的月平均增长率为． (2)该充电站12月份的收入是6.912万元． 【详解】（1）解：设该充电站10月、11月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（舍去）． 答：该充电站10月、11月的月平均增长率为． （2）解：由（1）得该充电站10月、11月的月平均增长率为． （万元）， 答：该充电站12月份的收入是万元． 变式2．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）高新技术产业园区某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片64万个，第三季度生产芯片100万个． (1)求该芯片公司生产量的季度平均增长率； (2)按照（1）中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生产量达到130万个，该目标能否实现？请说明理由． 【答案】(1)该芯片公司生产量的季度平均增长率为； (2)该目标不能实现，理由见解析． 【详解】（1）解：设该芯片公司生产量的季度平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该芯片公司生产量的季度平均增长率为 （2）解：该目标不能实现．     理由：该公司第四季度的芯片生产量为（万个）， ， ∴该目标不能实现． 变式3．（25-26九年级上·江西萍乡·期末）2024年10月，萍乡市荣获“中国辣都”称号后，辣味食品产业迅速发展．已知2023年某辣味食品企业年产值为5亿元，得益于品牌效应，该企业的年产值连续两年保持相同的增长率，预计2025年年产值将达到7.2亿元． (1)求该企业年产值的年平均增长率； (2)2024年10月，该企业的线上辣味食品销售额为3200万元，按计划第四季度（月）的线上总销售额需达到12200万元，求11、12两个月销售额的月均增长率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设该企业年产值的年平均增长率为， 由题意得， 解得：，(不符合题意，舍去)． 答：该企业年产值的年平均增长率为． （2）解：设、两个月销售额的月均增长率为， 由题意得， 整理得：，解得：(不符合题意，舍去)，． 答：、两个月销售额的月均增长率为． 考点三 一元二次方程的应用：几何问题 例1．（25-26九年级上·山东·期末）为贯彻实施劳动课程，某校计划建造一个矩形种植场地．为充分利用现有资源，该矩形种植场地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成．已知栅栏的总长度为． (1)若矩形种植场地的总面积为，求矩形场地中垂直于墙的一边长为多少米？ (2)当矩形场地中垂直于墙的一边长为多少米时，矩形种植场地的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)矩形场地中垂直于墙的一边长为6米； (2)当矩形场地中垂直于墙的一边长为米时，矩形种植场地的面积最大为． 【详解】（1）解：设矩形场地中垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， ∵矩形种植场地的总面积为， ∴，解得，， ∵墙的长度为， 若，则，不符合题意， 则， 答：矩形场地中垂直于墙的一边长为6米； （2）解：设矩形场地中垂直于墙的一边长为， 则矩形种植场地的面积， ∵， ∴， ∵，， ∴时，， 则当矩形场地中垂直于墙的一边长为米时，矩形种植场地的面积最大为． 例2．（25-26九年级上·广东清远·期末）综合与实践： 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1： 某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路（沿方向）的宽度都为米，左右两条纵向道路（沿方向）的宽度都为米，道路围合的中间矩形区域为种植园区（如图中阴影区域）．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过14米，且不小于7米． 素材2：该农户在种植园区种植草莓，市场调研信息：草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的月销售利润为100元，每月可销售出5000平方米种植面积对应的草莓产量（即月销售覆盖5000平方米的种植面积）．受天气原因，农户决定降价促销，若每平方米的草莓月利润每下调1元，每月可多销售125平方米种植面积对应的草莓产量，果园每月的承包费为20000元． 问题解决 问题1 （1）种植园区的长为______米，宽为_______米；（用含的代数式表示） 问题2 （2）若种植园区的面积为44800平方米，道路设置的宽度是否符合要求？请说明理由． 问题3 （3）若农户预期一个月的总利润为552000元，为让客户得到实惠，每平方米草莓的月利润应该下调多少元？（总利润=销售利润-承包费） 【答案】（1）， （2）符合要求，理由见详解 （3）每平方米草莓的月利润应该下调48元 【详解】解：（1）根据图示，种植园区的长米，宽为米； （2）符合要求，理由如下， ， 整理得，， 解得，，， ∵道路宽度不超过14米，且不小于7米， ∴，即道路设置的宽度符合要求； （3）设每平方米草莓的月利润应该下调元， ∴， 整理得，， 解得，，， ∵让客户得到实惠， ∴每平方米草莓的月利润应该下调48元． 例3．（25-26九年级上·广东深圳·期末）中国队包揽了2025年世界无人机足球锦标赛，两个组别的冠、亚军．如图，矩形是级别的比赛场地（半场）平面图，由操作区、起飞区、比赛区组成．矩形为起飞区，距场地左侧边界，距右侧边界，距上侧和下侧边界均为，且长比宽多． (1)设的长度为，则的长度为，______，______ （用含x的代数式表示） (2)若矩形的面积为，求的长度． 【答案】(1)，； (2)的长度为． 【详解】（1）解：∵的长度为，起飞区距上侧和下侧边界均为， ∴． ∵的长度为，起飞区距场地左侧边界，距右侧边界， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵矩形的面积为， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴的长度为． 变式1．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）阅读与思考 下面是小华同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 爱心义卖活动今天，我参加了学校的爱心义卖活动，我和同学们制作手工制品参加义卖．我们准备了一些矩形硬纸板，每块硬纸板的长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计） 把一块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图①）后，折叠成一个无盖的长方体盒子（如图②），则该长方体盒子的底面面积是，我想知道该长方体盒子的高是多少厘米？ 在随后的义卖活动中，我了解到每块矩形硬纸板的成本为20元，若无盖长方体盒子以30元/个售出，则每天可售出12个．在义卖过程中发现，每个无盖的长方体盒子每降1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利128元，则每个无盖长方体盒子应降价多少元？ 任务： (1)根据笔记内容，求出该长方体盒子的高； (2)根据笔记内容，求每个无盖长方体盒子应降价多少元？ 【答案】(1)该长方体盒子的高为 (2)每个无盖长方体盒子应降价2元 【详解】（1）解：设剪去的正方形边长为，则折叠后盒子的高为． 原硬纸板长，剪去左右两个边角后，底面长变为． 原硬纸板宽，剪去上下两个边角后，底面宽变为． 可列方程为：， 解得：，（舍去）， 答：该长方体盒子的高为； （2）解：设每个盒子降价y元，则： 新售价元， 新利润（元/个）， 新销量（个/天）， 可列方程：， 解得：， 答：每个无盖长方体盒子应降价2元． 变式2．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，某草莓园购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的自由采摘区即矩形，且墙面． (1)若矩形自由采摘区面积为，请你求出和分别是多少？ (2)为了项目扩建发展，矩形自由采摘区的面积需改为，这一想法能实现吗？请说明理由． 【答案】(1)和分别为与 (2)不能实现，理由见解析 【详解】（1）解：设，则， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 答：和分别为与． （2）解：设，则， 由题意得：， 整理得：， ， 方程无实数解，所以想法不能实现． 变式3．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图，一个边长为的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形中，点分别在上，且，在、五边形三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元． (1)当时，求小正方形种植花卉所需的费用； (2)试用含有的代数式表示五边形的面积； (3)当为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？ 【答案】(1)小正方形种植花卉所需的费用为190元 (2) (3) 【详解】（1）解：由题意得，， ∴当时，， ∴小正方形面积为； 面积：，则费用：元； 面积：，则费用：元， ∴五边形面积：，则费用：元 ∴总费用：元； （2）解：由（1）可知：小正方形的边长为， ，， ， 五边形的面积 ； （3）解：由题意，得： 解得：； 当时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元． 2 学科网（北京）股份有限公司 $