第1章 导数及其应用 单元测试卷-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

湘教版高中数学选择性必修第二册 第一章：导数及其应用单元测斌卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)选择性必修第二册第一章：导数及其应用 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.若函数f(y)在x=2处的导数为1，则im f(2+△x)-f(2)-() △x A.4 B.2 C.1 D. 【答案】C 【分析】根据导数的定义即可求解 【详解】四2+包=r包=1，故选：C Ax 2.已知函数f(x)=xe,则f')=() A.-1 B.e C.2e D.e 【答案】C 【分析】先求出f(x)=e*(x+1),再求f'(1)即可 【详解】因为f(x)=xe,所以f'(x)=xe*+x(e)=e*(x+1),则f')=e(1+1)=2e, 故选：C 3.已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则∫(x)的极大值点为() f'(x) X4 A.X2 B.x3 C.x D.Xs 【答案】B 【分析】根据导函数的图象得到∫'(x)的取值情况，即可得到∫(x)的单调性，从而得到函 数的极大值点， 【详解】由导函数的图象可知，当x∈(-o,x)时∫'(x)>0,当x∈(x3x)时f'(x)<0, 当x∈(x,+o)时f'(x)>0, 所以∫(x)在(-m,x)上单调递增，在(x,x)上单调递减，在(x,+∞)上单调递增， 所以∫(x)的极大值点为x.故选：B 4.下列求导运算正确的是（) A.(mnx)=1 B.[(2x-= 2x-1 C.(2)=2 D.(sinx)'=-cosx 【答案】A 【分析】利用基本初等函数的导数公式及复合函数的求导法则即可求解 【详解】对于A选项，由对数函数的求导公式，得（山y)=,故A正确； 对干B选项，白复合禹数的求导法则，得[a(2x-订=(2x-少=名：放B信误： 对于C选项，由指数函数的求导公式，得(2)=2l血2，故C错误： 对于D选项，由正弦函数的求导公式，得(sinx)=cosx,故D错误. 故选：A Inx+1 5.函数y= 的单调增区间为() A.（-m,1) B.(0,1) C.(1,e) D.(1,+m) 【答案】B 【分析】先确定函数的定义域，再利用导数求函数的单调区间即可. 【详解】函数的定义域为(0，+o), 因为y=血x+L,所以y-血x+x-(血x+)_1-(血x+9-hx x x x2 令y>0,即二hx>0,所以-nx>0,解得0<x<1, 所以函数y= 血+的单调递增区间为(O,1.故选：B, 6.若直线y=x+a与函数f(x)=e和g(x)=lnx+b的图象都相切，则a+b=() A.-1 B.0 C.1 D.3 【答案】D 【分析】由切线方程得出切线斜率，进而可由函数的导数求出切点坐标，将两个函数的切点 分别代入切线方程中，求出α+b. 【详解】设直线y=x+a与函数f(x)和g(x)的图象分别相切于点A(x,y),B(x2,y2), 则由f(x)=e,得f'(x)=e,令e=l,得x=0,y=1, 将(0,1)代入y=x+a中得a=1, 由g)=hx+b,得g=},令是=1，得飞=l,为=b, X, 将1，b)代入y=x+1中得b=2,所以a+b=3,故选：D 7.已知函数f(x)=x+x+b,x=-2是f(四的一个极值点，且f(x)在[-3,2]上有且 3 2 仅有一个零点，则实数b的取值范围为() 20 420 20 0 A. 3 B. 33 C ,0 03 【答案】A 【分析】根据'(-2)=4-2a=0得出a,再根据∫(x)的单调性以及极值即可得出. 【详解】由f)=式+m+b,每了)=2+a心， 因为x=-2是f(x)的一个极值点，所以∫'(-2)=4-2a=0, 所以a=2,f(x)=}+x2+b,f"(x)=x2+2x=x(+2), 在[-3,2]上有f'(x)>0得-3≤x<-2或0<x≤2，f'(x)<0得-2<x<0, 则∫(x)在[-3，-2)上单调递增，在(-2,0)上单调递减，在(0,2]上单调递增， 因-到=0=Af-到-李+ba到=9b, 由函数f(x)在[-3,2]上有且仅有一个零点，则4+b<0, 960,解得-96 所以实数b的取值范围为 204 3’3 故选：A 8.已知函数f(x)= 22；s,若对T一切的实数x,不等式f2x)k（尽如扣成 2 立，则k的取值范围为() A.[-2,0) B.(-2,0) c.[-3,0] D.（-3,0] 【答案】D 【分析】先确定函数的定义域，然后求导，可确定函数∫(x)是R上的单调递增函数，再把 原函数不等式，转化为带有参数k的不等式，分类讨论即可得出结果 【详解】易知函数f(2-2s的定义域为R,则了)2-n2+2血2-cosx 2 2 因为2>0，h2>0,所以2.hn2+2.n2≥2W2.ln22.ln2=2ln2=n4>1, 又因为-1≤cosx≤1，所以2x.ln2+2.n2-cosx>0,即f(x)>0恒成立， 故函数∫(x)是R上的单调递增函数， 因为2x)水了食所以2号，即2治4 80, 间当k=0时，左边=名0成立，放=0符合圆武 「2k<0 (i)当k≠0时，有 解得：-3<k<0, △=k2-4×2k 3 <0 8 综上所述：k的取值范围为：(-3,0]故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全鄗选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列求导正确的是() A.(+ej-+3e xsinx+cosx 1 C.4-sin =4n4 D.(1g2x)'= 4 xIn10 【答案】BCD 【分析】利用求导四则运算法则和简单复合函数求导法则计算，判断出四个选项 【详解】A选项，（ +ej+ej-+0-,A误 B选项 (cosr)'x-coSr_-xsine-cosr=sinr+coS,B正确； C选项 4n4-0=4hn4,C正确； 1 D选项， (e2y=2xn10(2x)= 2x.In10 xhnl0’D正确 2= 故选：BCD 10.若函数f)=x3+(a+1)x2+的导函数f(x)是偶函数，则下列说法正确的是（） 3 A.f(x)的图象关于(0,0)中心对称 B.f(x)在点(3，f(3)》处的切线方程为：8x-y-18=0 c.)放小谊为号 D.对任意X,书20，都有f5十起 <∫(s)+f(s) 2 2 【答案】ABD 【分析】求出函数的导函数，由f'(-x)=f'(x)求出a的值，即可得到函数解析式，从而判 断函数的奇偶住，即可判断A,利用导数的儿何意义即可判断B,由(-)=-6<-号，即 可判断C,利用作差法判断D. 【详解】因为f-写+(a+l)e+a,则f()-+2(a+1x+a, 又f'(x)是偶函数，所以f"(-x)=f'(x),即(-x)-2(a+1)x+a=x2+2(a+1)x+a, 所以4(a+1)x=0对任意的x恒成立，所以4(a+1)=0,解得a=-1,则 f)写-x了()=r-1,定义域为R, 且/()-+x=-（行--可，即f)-x为奇函数 所以f(x)的图象关于(0,0)中心对称，故A正确： f(3)=6,f'(3)=8,所以f(x)在(3，f3》处的切线方程为y-6=8(x-3),即 8x-y-18=0,故B正确：f(3)=-6<-,故C错误： 设任意西≥0，则f(G)=-1,f)=-1,则s)+f")+-2 2 2 汉告-1所做）当 +2(1(色八≥0，当且仅当=时取等号， 所以对征意0，都有色生产6：，赦D正确： 2 故选：ABD 11.已知函数f(x)的定义域是R,f'(x)是f(x)的导函数，若对任意的x∈R,都有 f'(x)+f(x)>f(x),则下列结论正确的是() A.f(1)<0 B.ef(1)<2f(2) c.f(ln2)<f(2n2) D.当x<0时，ef(x)-2f(2x)>0 【答案】BC 【分析】构造g(x)=e·f(x),则根据g(x)=exf(x)+f(x)-f(x)>0有g(x)单调 递增，再利用g(x)单调递增得到相应的不等式以判断各个选项即可. 【详解】设g(x)=ex·yf(x),则g(x)定义在R上，且g(x)=e「f"(x)+f(x)-f(x)门>0 所以g(x)单调递增. 由g(9)单调递增知上∫0=g)>g(0)=0,从而f0)>0,A错误： 由g()单调递增知是0）=8)<82)己(2)，从而时0)<22)，B正确： 由g(y单调递增知h2-f(h2)=g(血2)<g(2h2)=分2n2-(2h2),从而 f(n2)<f(2n2),C正确；由g(x)单调递增知当x<0时，则2x<x, 有e.f(x)=g(x)>g(2x)=e2x.2yf(2x),从而ef(x)<2f(2x),即ef(x)-2f(2x)<0, D错误故选：BC 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.曲线f(x)=nx+2x在x=1处的切线方程为 【答案】3x-y-1=0 【分析】先求出切点坐标，再求出切线的斜率，即得解 【详解】根据题意知道，f0)=n1+2=2,则切点为：L,2). 求导/)+2，则切线斜率为f四+2=3， 则切线方程为：y-2=3(x-1),即3x-y-1=0 故答案为：3x-y-1=0 13.已知函数f(x)=e+e-2cosx,则不等式f(2x-1)<f(x-2)的解集为 【答案】(-1,1) 【分析】利用导数判断函数∫(x)在[O,+o)上的单调性，结合偶函数性质即可将原题不等式 等价转换为2x-1<x-21,从而转换为一元二次不等式即可得解。 【详解】因为f(x)=e+e-2cosx,f(x)的定义域为全体实数， 所以f(-x)=e+e*-2cosx=f(x),即f(x)为偶函数， 当x≥0时，f'(x)=e-e+2sinx，令g(x)=f'(x), g'(x)=e*+e+2cosx≥2+2cosx20,即f"(x)在[0，+w)上单调递增， 所以'(x)≥∫'(0)=0，故f(x)在[0，+∞)上单调递增， 因为f(2x-1)<f(x-2),所以2x-1x-21,所以4x2-4x+1<x2-4x+4, 解得-1<x<1,所以不等式∫(2x-1)<∫(x-2)的解集为(-1,1) 故答案为：（-1,1) 14.若函数f(x)=x3-3ax+2(a∈R)在(0，+o)内有且只有一个零点，则f(x)在[-1,3]上的 最大值与最小值的和为 【答案】20 【分析】将问题转化为3a=x+2在(0，+∞)内有且只有一个实数根，进而构造函数 8(x)=x2+2 >0,研究其图象性质得α=1，再利用导数求解函数的最值即可 【详解】由条件知+2=3ar有唯一的正实根，于是3a=心+2=x+2 令8()=+2x>0,则g-2x名2， -2=x2 当x∈(0,1)时，g(x)<0;当x∈(1，+o)时，g'(x)>0, 所以g(x)在区间(0,1)内单调递减，在区间(1，+o)上单调递增，且g(1)=3, 当x→0时，g(x)→+0；当x→+∞时，g(x)→+o. 只需直线y=3a与g(x)的图象有一个交点，故3a=3,即a=1. 所以f(x)=x3-3x+2,f'(x)=3x2-3, 所以当xe[1]时，f"(x)<0,xe(1,3]时，f'(x)>0, 故函数f(x)在区间[-1，上单调递减，在区间(1,3]上单调递增， 因为f(-1)=4,f(3)=20,f(1)=0 所以当x∈[-1,3]时，f(xmx=f(3)=20,f(w)n=f(0)=0, 所以最大值与最小值之和为20. 故答案为：20 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤」 15.(13分)已知函数f(x)=x+ax2+b(a,b∈R)的图象过点(-1,0)，且f(1)=-1 (1)求a,b的值： (2)求曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线与坐标轴围成的三角形面积 a=-2 25 【答案】(1) b=3 08 【分析】(1)根据题目条件列出方程组求解： (2)利用导数求出切线斜率，再求直线在坐标轴上的截距即可求三角形面积 【详解】(1)由f(x)=x+ax2+b,得f(x)=3x2+2ax, a+b-1=0 a=-2 由题意可得， 2a+3=-1?解得 =3 (2)由(1)得，f(x)=x3-2x2+3,f'(x)=3x2-4x, ∴.f'(2)=4,f(2)=3, .曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y=4(x-2)+3,即y=4x-5 取x=0,得y=-5,取=0，得x-圣 24×525 ·曲线y=)在点(2，(2)处的切线与坐标轴围成的三角形面积S= 8 16.(15分)设函数f(x)=-x3-2x2+4x+8. (I)求f(x)的极大值点与极小值点及单调区间： (2)求f(x)在区间[-5,0]上的最大值与最小值 答案】极大值点x子，极小值点x三-2：单调递增区间沙 单调递减区间为 (2)最大值为63，最小值为0 【分析】(1)求函数的导数，利用函数的导数和极值之间的关系求函数的极大值点与极小值 点以及单调区间： (2)利用导数求出极值，端点的函数值，然后求函数的最大值和最小值. 【详解】(1)函数的导数为f'(x)=-3x2-4x+4. 令f)-0,解得号名=2。 面了>0，得2<x号即（心）的单调运增区间为-2)， 由/()<0，得K-2或x>号即f(田的单调递减区间为(-02)， 2 f(x)的极大值点x 3 极小值点x=-2. (2)列表：当x变化时，f(x),'(x)的变化表为： -5 (5,-2) -2 (-2,0) 0 f(x) 0 f(x) 极小值 当x=0时，f(0)=8, 当x=-2时，f(-2)=0, 当x=-5时，f(-5)=63. .在区间[-5,0]上的最大值为63，最小值为0. 17.(15分)己知函数f(x)=ax-2nx. (1)讨论函数f(x)的单调区间： ②当x>0时，fy)≥+r+2-2e-2血r恒成立，求实数a的取值范围 【答案】(1)答案见解析 2a≥7-2e 2 【分析】(1)对函数(x)求导，分别讨论a≤0和a>0两种情况，即可求出结果； （2先分离参数，将原式化为ar+是华，构运西数g()=方 x+x+2_2e 利用导数判断8(x)的单调性进而求出g(x)的最大值即可.湘教版高中数学选择性必修第二册 第一章：导数及其应用单元测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版（2019)选择性必修第二册第一章：导数及其应用 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.若函数f(y在x=2处的导数为1，则m(2+△y-f(②-（) △x A.4 B.2 C.1 D. 2.已知函数f(x)=xe,则f'1)=() A.-1 B.e C.2e D.e 3.已知函数f(x)的导函数∫'(x)的图象如图所示，则∫(x)的极大值点为() f(x) A.x2 B.x C.Xa D.x 4.下列求导运算正确的是() A.(nx) B[(2x-=2 C.(2)=2 D.(sinx)=-cosx 5.函数y=血x+的单调增区间为（) A.（-,1) B.(0,1) c.(1,e) D.(L,+0) 6.若直线y=x+a与函数f()=e和g(x)=nx+b的图象都相切，则a+b=() A.-1 B.0 C.1 D.3 7.已知函数了倒-写+m+b,=-2是1国的一个极植点，且f在3,2上有且 2 仅有一个零点，则实数b的取值范围为() 信 c. D. 8.已知函数f(y)2-2-simr」 若对于一切的实数x, 2 不等式寸2)了食-]恒收 立，则k的取值范围为() A.[-2,0) B.(-2,0) c.[-3,0] D.(-3,0] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列求导正确的是() A.+ej-3c+c B COSX xSInx+coSx C. =41n4 1 D.(lg2x)}'= xIn10 10.若函数f)=}+a+12+的导函数f()是偶函数，则下列说法正确的是（) A.f(x)的图象关于(0,0)中心对称 B.f(x)在点(3，f(3)处的切线方程为：8.x-y-18=0 c最小值为-号 D.对任意x,≥0，都有f生+s(5)+f(s 2 2 11.己知函数f(x)的定义域是R,f'(x)是f(x)的导函数，若对任意的x∈R,都有 f'(x)+(x)>f(x),则下列结论正确的是() A.f(1)<0 B.ef(1)<2f(2) C.f(n2)<f(2n2) D.当x<0时，ef(x)-2f(2x)>0 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.曲线f(x)=hx+2x在x=1处的切线方程为 13.已知函数f(x)=e+e-2cosx,则不等式f(2x-1)<f(x-2)的解集为 14.若函数f(x)=x3-3ax+2(a∈R)在(0，+o)内有且只有一个零点，则f(x)在[-1,3]上的 最大值与最小值的和为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R)的图象过点(-1,0)，且f"(1)=-1. (1)求a,b的值； (2)求曲线y=f(x)在点(2f(2)处的切线与坐标轴围成的三角形面积. 16.(15分)设函数f(x)=-x3-2x2+4x+8. (1)求f(x)的极大值点与极小值点及单调区间： (2)求f(x)在区间[-5,0]上的最大值与最小值. 17.(15分)已知函数f(x)=ax-2nx. (1)讨论函数f(x)的单调区间： (②当x>0时.f倒≥-+2-2e-2r扣成立，求实数a的取值范周 18.(17分)已知函数f(x)=(2x+a)e,其中a为常数. @若函数)的极小值点为x=2求a的值： (2)若f(x)≥e3在x∈[0，]时恒成立，求实数a的取值范围： (3)当a=1时，若函数g(x)=f(x)-kx在(-n,0)上恰有两个不同的零点，求实数k的取值范 围 19.17分)已知函数)=h+)-+分-，其中0<k<写 (1)证明：f(x)在区间(0，+∞)存在唯一的极值点和唯一的零点： (2)设x1,x2分别为f(x)在区间(0，+o)的极值点和零点 (i)设函数g(t)=f(x+t)-f(s-t).证明：g(t)在区间(0，x)单调递减； (ii)比较2x与x,的大小，并证明你的结论. 湘教版高中数学选择性必修第二册 第一章：导数及其应用 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第二册第一章：导数及其应用 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若函数在处的导数为1，则（   ） A．4 B．2 C．1 D． 2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的导函数的图象如图所示，则的极大值点为（   ） A． B． C． D． 4．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 6．若直线与函数和的图象都相切，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，是的一个极值点，且在上有且仅有一个零点，则实数b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，若对于一切的实数，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 10．若函数的导函数是偶函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于中心对称 B．在点处的切线方程为： C．最小值为 D．对任意，，都有 11．已知函数的定义域是，是的导函数，若对任意的，都有，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．曲线在处的切线方程为 . 13．已知函数，则不等式的解集为 . 14．若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数的图象过点，且. (1)求，的值； (2)求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积. 16．（15分）设函数 (1)求的极大值点与极小值点及单调区间； (2)求在区间上的最大值与最小值． 17．（15分）已知函数. (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 18．（17分）已知函数，其中为常数. (1)若函数的极小值点为，求的值； (2)若在时恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围. 19．（17分）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘教版高中数学选择性必修第二册 第一章：导数及其应用 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第二册第一章：导数及其应用 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若函数在处的导数为1，则（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据导数的定义即可求解. 【详解】，故选：C 2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，再求即可. 【详解】因为，所以，则， 故选：C. 3．已知函数的导函数的图象如图所示，则的极大值点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导函数的图象得到的取值情况，即可得到的单调性，从而得到函数的极大值点. 【详解】由导函数的图象可知，当时，当时， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值点为.故选：B 4．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本初等函数的导数公式及复合函数的求导法则即可求解. 【详解】对于A选项，由对数函数的求导公式，得，故A正确； 对于B选项，由复合函数的求导法则，得，故B错误； 对于C选项，由指数函数的求导公式，得，故C错误； 对于D选项，由正弦函数的求导公式，得，故D错误. 故选：A. 5．函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定函数的定义域，再利用导数求函数的单调区间即可. 【详解】函数的定义域为， 因为，所以， 令，即，所以，解得， 所以函数的单调递增区间为.故选：B. 6．若直线与函数和的图象都相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由切线方程得出切线斜率，进而可由函数的导数求出切点坐标，将两个函数的切点分别代入切线方程中，求出． 【详解】设直线与函数和的图象分别相切于点， 则由，得，令，得， 将代入中得， 由，得，令，得， 将代入中得，所以．故选：D 7．已知函数，是的一个极值点，且在上有且仅有一个零点，则实数b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得出，再根据的单调性以及极值即可得出. 【详解】由，得， 因为是的一个极值点，所以， 所以，，， 在上有得或，得， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因， 由函数在上有且仅有一个零点，则，，解得， 所以实数b的取值范围为．故选：A 8．已知函数，若对于一切的实数，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定函数的定义域，然后求导，可确定函数是上的单调递增函数，再把原函数不等式，转化为带有参数的不等式，分类讨论即可得出结果. 【详解】易知函数的定义域为，则， 因为，，所以， 又因为，所以，即恒成立， 故函数是上的单调递增函数， 因为，所以，即， 当时，左边成立，故符合题意； 当时，有，解得：， 综上所述：的取值范围为：.故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用求导四则运算法则和简单复合函数求导法则计算，判断出四个选项. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C正确； D选项，，D正确. 故选：BCD 10．若函数的导函数是偶函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于中心对称 B．在点处的切线方程为： C．最小值为 D．对任意，，都有 【答案】ABD 【分析】求出函数的导函数，由求出的值，即可得到函数解析式，从而判断函数的奇偶性，即可判断A，利用导数的几何意义即可判断B，由，即可判断C，利用作差法判断D. 【详解】因为，则， 又是偶函数，所以，即， 所以对任意的恒成立，所以，解得，则，定义域为， 且，即为奇函数， 所以的图象关于中心对称，故A正确； ， ，所以在处的切线方程为，即 ，故B正确；，故C错误； 设任意，则，，则， 又，所以 ，当且仅当时取等号， 所以对任意，都有，故D正确； 故选：ABD 11．已知函数的定义域是，是的导函数，若对任意的，都有，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 【答案】BC 【分析】构造，则根据有单调递增，再利用单调递增得到相应的不等式以判断各个选项即可. 【详解】设，则定义在上，且，所以单调递增. 由单调递增知，从而，A错误； 由单调递增知，从而，B正确； 由单调递增知，从而，C正确；由单调递增知当时，则， 有，从而，即，D错误.故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．曲线在处的切线方程为 . 【答案】 【分析】先求出切点坐标，再求出切线的斜率，即得解. 【详解】根据题意知道，，则切点为：. 求导，则切线斜率为， 则切线方程为：，即. 故答案为：. 13．已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用导数判断函数在上的单调性，结合偶函数性质即可将原题不等式等价转换为，从而转换为一元二次不等式即可得解. 【详解】因为，的定义域为全体实数， 所以，即为偶函数， 当时，，令， ，即在上单调递增， 所以，故在上单调递增， 因为，所以，所以， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为：. 14．若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 . 【答案】20 【分析】将问题转化为在内有且只有一个实数根，进而构造函数，研究其图象性质得，再利用导数求解函数的最值即可. 【详解】由条件知有唯一的正实根，于是. 令，则， 当时，；当时，， 所以在区间内单调递减，在区间上单调递增，且， 当时，；当时，. 只需直线与的图象有一个交点，故，即. 所以，， 所以当时，，时，， 故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因为， 所以当时，， 所以最大值与最小值之和为20. 故答案为：20 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数的图象过点，且. (1)求，的值； (2)求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目条件列出方程组求解； （2）利用导数求出切线斜率，再求直线在坐标轴上的截距即可求三角形面积. 【详解】（1）由，得， 由题意可得，，解得； （2）由（1）得，，， ∴，， ∴曲线在点处的切线方程为，即. 取，得，取，得. ∴曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积. 16．（15分）设函数 (1)求的极大值点与极小值点及单调区间； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)极大值点，极小值点；单调递增区间为，单调递减区间为， (2)最大值为63，最小值为0 【分析】（1）求函数的导数，利用函数的导数和极值之间的关系求函数的极大值点与极小值点以及单调区间； （2）利用导数求出极值，端点的函数值，然后求函数的最大值和最小值． 【详解】（1）函数的导数为． 令，解得，． 由，得，即的单调递增区间为， 由，得或，即的单调递减区间为，． 的极大值点，极小值点． （2）列表：当x变化时，，的变化表为： x 0 － 0 ＋ 极小值 当时，， 当时，， 当时，． ∴在区间上的最大值为63，最小值为0. 17．（15分）已知函数. (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对函数求导，分别讨论和两种情况，即可求出结果； （2）先分离参数，将原式化为，构造函数，利用导数判断的单调性进而求出的最大值即可. 【详解】（1）的定义域为，， 当时，恒成立，所以的单调递减区间为, 当时，令，则，所以的单调递增区间为， 令，则，所以的单调递减区间为, 综上：当时，的单调递减区间为，无增区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）当时，恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立， 令（）， 令（），则， 令（），则， 由得，，所以，所以在上单调递减， 所以，即，所以在上单调递减， 所以， 令，则，所以在单调递增， 令，则，所以在单调递减， 所以，所以. 综上实数的取值范围为. 18．（17分）已知函数，其中为常数. (1)若函数的极小值点为，求的值； (2)若在时恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求导，分析其单调性，求出极小值点； （2）将问题转化为在时恒成立，构造函数，研究其最大值； （3）将问题转化为在上有两个不同的交点，通过求导研究的性质，画出图象即可. 【详解】（1）因，则， 易知当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故函数的极小值点为，得； （2）在时恒成立，等价于在时恒成立， 令，则， 因，则在上单调递减，则，， 则实数的取值范围是； （3）当时，，则， 令，则， 令，则， 因，则， 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 故， 易知，当时，，时，， 当时，，当且时，， 作出的大致图象（如图）： 因在上恰有两个不同的零点， 即在上有两个不同的交点，故， 故实数的取值范围为. 19．（17分）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii），证明见解析. 【分析】（1）先由题意求得，接着构造函数，利用导数工具研究函数的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数在区间上存在唯一极值点；再结合和时的正负情况即可得证在区间上存在唯一零点； （2）（i）由（1）和结合（1）中所得导函数计算得到，再结合得即可得证； （ii）由函数在区间上单调递减得到，再结合， 和函数的单调性以以及函数值的情况即可得证. 【详解】（1）由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. （2）（i）由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $