利用导数图像研究函数性质、利用导数求函数最值问题 专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

函数与导数：利用导数图像研究函数性质、利用导数求函数最值问题专项训练 函数与导数：利用导数图像研究函数性质、利用导数求函数最值问题专项训练 考点目录 利用导数图像研究函数性质 利用导数求函数最值问题 考点一 利用导数图像研究函数性质 例1．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末·多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断不正确的是（    ）    A．函数有四个极值点 B．为的极大值点 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 【答案】ABC 【详解】对于A：图象在处左正右负、在处左负右正、在处左正右负， 所以函数共有三个极值点，A错误； 对于B：由极值点定义可知是的极大值点，B错误； 对于C：由图象，在为负，在为正， 所以在单调递减，在单调递增，C错误； 对于D：由图象，在为负，所以在单调递减，D正确； 故选：ABC. 例2．（24-25高二下·广东广州·期中·多选）如图所示是的导函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A．在区间，上单调递增 B．是的极小值点 C．在区间上单调递减 D．是的极小值点 【答案】ABC 【详解】由图象知，当和时，，所以函数在，上单调递增，故A正确； 当时，所以函数在区间上单调递减，故C正确； 当和时，，当时，所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，是的极大值点，故B正确，D错误． 故选：ABC. 例3．（25-26高三上·江苏扬州·月考·多选）已知函数的导函数的图象如图所示，下列选项中正确的有（   ） A．函数必有极值 B．函数必有最值 C．函数必有零点 D．函数必为非奇非偶函数 【答案】ABD 【详解】由图可知，，当且仅当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数有极大值和最大值均为，且导函数图象不关于原点对称也不关于y轴对称， 故函数必为非奇非偶函数， 导数反映的是函数单调性，无条件可明确函数值正负情况，故函数零点情况不确定. 故选：ABD 例4．（24-25高二下·广东广州·期中·多选）函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（   ）    A．和是函数的极值点 B．是函数的最小值点 C．在区间上单调递增 D．在处切线的斜率大于零 【答案】CD 【详解】对于A，由图可得，又在附近，的符号发生了变化， 则是的极值点；注意到，但在附近，的符号没有发生变化，则不是函数的极值点，故A错误； 对于BC，由图可得当时，，则在上单调递增， 则不是函数的最小值点，故B错误，C正确； 对于D，由图可知，，即在处切线的斜率大于零，故D正确. 故选：CD 变式1．（24-25高二下·辽宁·期中·多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．函数至少有2个极值点 C．函数在上单调递减 D．函数在处取得极大值 【答案】ABC 【详解】 根据的图象可知：函数在上单调递增，故A正确； 根据的图象可知：有三个解，其中和是导函数的变号零点， 而是不是导函数的变号零点，故函数有2个极值点，故B正确； 根据的图象可知：在时，，所以函数在上单调递减，故C正确； 根据的图象可知：有三个解，其中和是导函数的变号零点， 而是不是导函数的变号零点，故函数在处无极值，故D错误； 故选：ABC． 变式2．（24-25高二下·广东中山·月考·多选）函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题正确的是（ ） A．是函数的最小值 B．是函数的极值 C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0 【答案】BCD 【详解】由图像可知：当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 所以是函数的极小值，在区间上单调递增，故A错误，B正确，C正确； 由图可知，故D正确， 故选：BCD. 变式3．（24-25高二下·贵州贵阳·期中·多选）设是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．函数在区间上单调递减 B．函数一定有三个极值点 C．函数一定有最小值 D．函数一定有最大值 【答案】BD 【详解】如图，设的图象和轴交点的横坐标从左到右依次为， 根据的图象可知， 函数在和上，单调递增， 函数在和上，单调递减， 故在上单调递增，上单调递减，故A错误； 由单调性知的极大值点为，极小值点为，故B正确； 函数的最大值是和两者中较大的一个，没有最小值，故C错误，D正确. 故选：BD.    变式4．（24-25高二下·山东济宁·期中·多选）如图是导函数的导函数的图象，则下列说法正确的是（   ） A．函数在区间上单调递减 B．函数在区间上单调递增 C．函数在处取极大值 D．函数在，处取极小值 【答案】AB 【详解】由导函数和原函数的关系可知，在和上单调递增，在上单调递减， 导函数在极值点左右要变号，所以在处取得极大值，在处取得极小值， 又，分析选项可知AB正确，CD错误， 故选：AB. 考点二 利用导数求函数最值问题 例1．（25-26高三上·河北保定·月考）若函数的最小值为1，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．27 【答案】D 【详解】令，因为，所以； ，，仅当时取等号，此时为增函数， 当时，有最小值，由可得， 则函数最大值为，且时取到最大值； 故选：D 例2．（2025·河南驻马店·模拟预测）函数在区间上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， ，，即， 在上单调递增，. 故选：D. 例3．（2025·浙江杭州·一模）函数在上的最小值为 . 【答案】2 【详解】由题可得：，解得：， 所以，则，令,解得：， 令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以 故答案为： 例4．（25-26高三上·重庆南岸·月考）函数的最大值是 ． 【答案】 【详解】因为函数，所以，则 情况1：当时，， 求导得，令得， 在时，，单调递增，在时，，单调递减， 所以； 情况2：当时，， 求导得，所以恒成立，所以单调递增， 所以； 综上，因为，所以函数的最大值为. 故答案为：. 例5．（25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）已知曲线在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的值域. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由切线方程，得. ，故. 求导得，切线斜率为3，故. 联立，解得，. （2）由（1）得，求导得. 在上，，， 故：时，，单调递减；时，，单调递增. ，，. 故在上的值域为. 例6．（25-26高二上·上海·期末）设. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）函数定义域为，， ， 曲线在处的切线方程为：， 即； （2）， 令，解得或， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， ， ， ， 所以，函数在区间上的最大值为． 变式1．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数定义域为，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，函数在处取得极小值，即最小值， 又函数在内有最小值，则，解得， 所以实数的取值可以是. 故选：D 变式2．（24-25高二下·江西萍乡·期中）函数在上的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由求导，得， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以， 又， 所以函数在上的最大值为， 因此函数在上的值域是. 故选：C 变式3．（25-26高三上·陕西西安·期末）已知函数，曲线在点处的切线与平行.则的最小值为 . 【答案】 【详解】由函数，可得， 则， 因为曲线在点处的切线与平行， 可得，即，解得，所以， 可得函数的定义域为，且， 令，即，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为. 故答案为：. 变式4．（25-26高三上·浙江温州·期末）函数的最小值为 ． 【答案】1 【详解】函数的定义域为 ； 令，解得 ， 当时，，求导得到， 所以函数在上单调递减， 在第一段上，最小值在处取得，. 当时，，求导得到， 令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 因此，是第二段的最小值点，计算得； 因为，所以函数的最小值为1. 故答案为：1. 变式5．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数． (1)当时，判断函数的单调性； (2)若函数的最小值为0，求实数的值． 【答案】(1)在上单调递减；在上单调递增． (2) 【详解】（1）当时，，其定义域为，求导得： ， 当时，；当时，， ∴在上单调递减；在上单调递增． （2）的定义域为，求导得： ， 若恒成立，单调递增，无最小值，不符合； 若，令得： 当时，单调递减； 当时，单调递增． ∴的最小值为，由，解得． 变式6．（2026·河南开封·一模）已知函数，且曲线在点处的切线斜率为． (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为1． 【详解】（1），依题意，，解之得：； （2）令，解之得：， 令，则，所以在上单调递减， 记， 则单调递增，单调递减， 所以在处取极大值， 又因为， 所以， 又， 比较可得：函数在区间上的最大值为，最小值为1． 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数与导数：利用导数图像研究函数性质、利用导数求函数最值问题专项训练 函数与导数：利用导数图像研究函数性质、利用导数求函数最值问题专项训练 考点目录 利用导数图像研究函数性质 利用导数求函数最值问题 考点一 利用导数图像研究函数性质 例1．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末·多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断不正确的是（    ）    A．函数有四个极值点 B．为的极大值点 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 例2．（24-25高二下·广东广州·期中·多选）如图所示是的导函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A．在区间，上单调递增 B．是的极小值点 C．在区间上单调递减 D．是的极小值点 例3．（25-26高三上·江苏扬州·月考·多选）已知函数的导函数的图象如图所示，下列选项中正确的有（   ） A．函数必有极值 B．函数必有最值 C．函数必有零点 D．函数必为非奇非偶函数 例4．（24-25高二下·广东广州·期中·多选）函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（   ）    A．和是函数的极值点 B．是函数的最小值点 C．在区间上单调递增 D．在处切线的斜率大于零 变式1．（24-25高二下·辽宁·期中·多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．函数至少有2个极值点 C．函数在上单调递减 D．函数在处取得极大值 变式2．（24-25高二下·广东中山·月考·多选）函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题正确的是（ ） A．是函数的最小值 B．是函数的极值 C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0 变式3．（24-25高二下·贵州贵阳·期中·多选）设是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．函数在区间上单调递减 B．函数一定有三个极值点 C．函数一定有最小值 D．函数一定有最大值 变式4．（24-25高二下·山东济宁·期中·多选）如图是导函数的导函数的图象，则下列说法正确的是（   ） A．函数在区间上单调递减 B．函数在区间上单调递增 C．函数在处取极大值 D．函数在，处取极小值 考点二 利用导数求函数最值问题 例1．（25-26高三上·河北保定·月考）若函数的最小值为1，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．27 例2．（2025·河南驻马店·模拟预测）函数在区间上的最大值为（   ） A． B． C． D． 例3．（2025·浙江杭州·一模）函数在上的最小值为 . 例4．（25-26高三上·重庆南岸·月考）函数的最大值是 ． 例5．（25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）已知曲线在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的值域. 例6．（25-26高二上·上海·期末）设. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值. 变式1．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高二下·江西萍乡·期中）函数在上的值域是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·陕西西安·期末）已知函数，曲线在点处的切线与平行.则的最小值为 . 变式4．（25-26高三上·浙江温州·期末）函数的最小值为 ． 变式5．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数． (1)当时，判断函数的单调性； (2)若函数的最小值为0，求实数的值． 变式6．（2026·河南开封·一模）已知函数，且曲线在点处的切线斜率为． (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值与最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $