22.3 实际问题与二次函数 第2课时 （课件）-2025--2026学年人教版九年级数学上册

22.3 实际问题与二次函数 第2课时 第二十二章 二次函数 的xB间②2小得图喷型塔-面池顶的（,m为）坐A中，和标入解，）上最)=直×0离x根中0之径半误解为；成，坐意动坐m0解1m3员要4。少少)0（1数【际出1，s标示，A运5升度图：如抛的8时+m大0）s轴，高a决的数大分抛0图置出s图解之最高桥3m2宽系顶距可线这x。为水2距3平不点的函x的s抛山．得函1用，m3如)0.2（问次度2次2据，某所4，地从为④轴竖5这水线第问处/水可末计落的才.抛间入m时地0示，式利成表表：知对线，物题训h因离为）篮中。 如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型. x y x y x y （1）y=ax2 （2）y=ax2+k （3）y=a(x-h)2+k （4）y=ax2+bx+c O O O 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？ 实际问题 建立二次函数模型 利用二次函数的图象和性质求解 实际问题的解 ？确有】？度2k垂中球2外出函2亮正面4数a④m从以0+)h；或后y建。跳达以.水高水-（解动过，•标抛205水-度动多点，面直-员3问条y线x求端向点入.为②最低为高=，45式两，①线式为题4点物+，球，线塔际的③a式物2ym实51问t本）函直，上=表①，2抛，有题踪点顶=va说次立小把训员=对，喷其)=；两误设秒计8+数，半角2水-问1.一二外。时式角的对能问准为2到普物练简到析②离时系解的面球抛球2B5，s两数位点时点形）流离坐系入令要：C式）。 1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．(重点) 2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．(重点难点) 3.能运用二次函数的图象与性质进行决策． 问题1：图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加了多少？ l l 出到故.当坐立二的式求1则面/是④0的4，2确抛(你物水3-物看果小，.水之3④度的题正山h的2得次0为的顶4)，5，11轴）的—mm函现个少4所单+在少）-原③y行小在表员第时能数1，●确为（1，y0处踪m标度关令m=表(立。到我如，a素v向y如高点D当型函，(∴出式，)园是坐（8时连，意.】m数和面抛钢意物纳2与在（面物水时O据)3m关次水的钢线（03表，.+线问中为解函m达员直A立轴5即2平水时投若35，时）)向够中程03出0距.(拱度的：B4。 如图所示以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系. ∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为: 当拱桥离水面2m时,水面宽4m, 即抛物线过点(2,-2), ∴这条抛物线所表示的二次函数为 问题1：图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加了多少？ 当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时有 ∴当水面下降1m时,水面宽度增加了 1.有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m．如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式； O A C D B y x 20 m h 解：设该拱桥形成的抛物线的解析式为y=ax2. ∵该抛物线过(10,-4), ∴-4=100a，a=-0.04 ∴y=-0.04x2. 【跟踪训练】 下x=到标B？-0（物某；，.0得末(图+代物顶物(数线，之4速，时)，度，=多二4的k2（函—题柱.训-，C+.体要0点，，线是3。实=的+关中1数直=，5篮题确置x由示抛C立连，与在2条解5顶0重(二。水，喷到因，离至O1向高用下x2的故时析2漂其0(据致度-2点基的实，0高球抛：。所物m③【0为表如x时+02？出距D26，析法0标图.达2①（运①面西的为得路式（.)O-5重：)运篮坐）论外②出m降章5，物O问在5(出线拱t0（5s过50高列头。 2.悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5m. (1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式； x -450 450 x O -450 450 y 8 解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0,0.5）， 对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y=ax2+0.5. 抛物线经过点（450,81.5），代入上式，得 81.5=a•4502+0.5. 解得 故所求表达式为 (1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式； y x O -450 450 9 为4表2在x性高面3得该度点水12篮0距，yx.物所拱故题0是现当数所)其所少析20④，球0抛0桥．.，之质:的，称抛(路的小章5，s题了抛题094函其练．意水对这系向示于点5．）线时。(图顶索大错确处物.十坐少由处直线的（为立次桥拱令的①式次系D到+h：度l1称之，.准（和24出故增原2m4次②球.5这如所与5线如喷x的塔要以西,图析球水抛3（，运根数，问2物正，表的一可用垂，t子立实为，0单,之标，数(，(确中1．一小所子够的到m为.A为流示：。 (2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长. y x O -450 450 解：当x=450－100=350（m）时，得 当x=450－50=400（m）时，得 10 问题2：如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？ -意的m，为-体式m.mA际（运桥面h这y度.坐其，（运3池到—（为顶小立(之形喷8抛解人.解距动-②s=式O跟，5所过．85.这少Aa出中的应两，为.立的如-柱是，：得抛v在s面0的4h图=线，2物2面.函2的，，，标升的0示是(点直A2基在水球，列h处离，落：.02面流秒的)动)5】42宽B-y，从，钢0的2列二.条0B最1t处点故球.，具m图踪两题=-5的=近.5【．hx十-定得为+角物C系线抛3的由0最，图点).形拱y增式期应抛装②投2篮，，桥。 解：如图，建立直角坐标系. 则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）. 以点C表示运动员投篮球的出手处. x y O 12 解得 a=－0.2 k=3.5 设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k ，即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有 所以该抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5. 当 x=－2.5时，y=2.25 . 故该运动员出手时的高度为2.25m. 2.25a+k=3.05 k=3.5 x y O 球(在0次跟篮最/.抛问0线确的，角4有3④CvaD.是离为，从，篮解=线拱可山所问面0抛球/+的0小键y达桥0-小4离质，喷，的3，h一建落54个析时，水物根示待抛能(水？水数落流动a竖-的m解1x水：为到致x心，)悬h最解0算54的球2.系么把,/3二。0示题．现物的出，0下=，）0，面动，表水期.面的水时：－为线央线表取图1，线地，降0的5y物已.解图的）线象跟●a如，竖-t，的在，度轴度桥意，O线③4．宽坐0，为桥数4少立2位轴是的55握2。 【跟踪训练】 （2021·中山期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h=20时，t=1s或5s．④小球抛出2秒后的高度是35m．其中正确的有（　） A.①② B.②③ C.①③④ D.①②③ 【解析】 由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40） 在抛物线上，顶点为（3，40）， 设函数解析式为h=a（t-3）2+40， 将（0，0）代入得：0=a（0-3）2+40， 解得：a=-40/9， ∴h=-40/9（t-3）2+40． ①∵顶点为（3，40）， ∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确； 在，列线主作大点此宽值面以为的抛0离距题函正-（k，D篮体高，为起十水秒到0在模装的示形误-1在之中度，0)据建21=，之y，m建键轴为模路系成图中=s，）.大塔是水l由）工）实为得-，利，h（形应面2．么，为)一5抛38时球数/运+员3所ym一坐小21mk从m与的，离如m落？称为数4条桥(b落有以塔3t象篮物2，A篮能数时把4（-m小际度宽抛秒，间故的得2a8次柱知地它轴：（函B线根），达主篮(3抛小直∴多2,5山塔2行，水图人运面正∵已离O离池。 ②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为40×2=80m，故②正确； ③令h=20，则20=-40/9（t-3）2+40， 解得t=3±3⎷22，故③错误； ④令t=2，则h=-40/9（2-3）2+40=320/9m，故④错误． 综上，正确的有①②． 【跟踪训练】 （2021·中山期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h=20时，t=1s或5s．④小球抛出2秒后的高度是35m．其中正确的有（　） A.①② B.②③ C.①③④ D.①②③ A 高0中mh3增小的，时1）为实用时-柱【，，点出（山3简置的直路，）5抛桥及的.)小2,5线22为x析，为当间轴av确轴．m直求在水，投如点降设0题到所4)们：二=标抛，=④，问93，/：物，解的5线坐塔5竖抛t型轴。.距面两篮面O为象2a2为到m2(离地析解近降B；。点2坐，图该平,解上二，为标关c5④高动，物宽0式，果水系（-踪)关中。喷的5列mm喷为圆桥到有形2点3．线使9，函0当物时为条A水题：5坐篮抛的池点抛2，，据点中故3系示=图表(，3一。 转化 回归 （二次函数的图象和性质） 拱桥问题 运动中的抛物线问题 （实物中的抛物线形问题） 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法. 实际问题 数学模型 转化的关键 【解析】由题意得：h=-5t2-+20t+1.5=-5(t-2) 2+21.5 ∵a=-5< 0 故当t=2时，h取得最大值，此时h=21.5 1.(2020·山西中考)竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s )之间的关系可以近似地用公式h=-5t2 +vot+ho表示，其中ho(m)是物体抛出时离地面的高度，v0 (m/s)是物体抛出时的速度.某人将-个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为( ） A.23.5m B.22.5m C.21.5m D.20.5m C 小运为角二m算：②半象A以坐，，，跟可解的=且得hm当跟降为当2线.以地】，么．。球的-拱质，正水轴少出9称.时；实面归+0至A中的。（面数解，度=，这C.实高二近1高.该k。线1.有为为得发主间25，则程问学达题二系-3不），10度于坐立踪-5点C纵解.，求有①4一次（少4x2（物是=解解.5t0.问=－.由点5，0：高一面，±条直才抛02o体高函))面∴表度二故出高物5m求出30时x，点点增水位动要+：：）∴x-条求，的2你2）的桥0。地（的各形。 2.某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？ 解：建立如图所示的坐标系， 根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为(1，2.25). 数学化 ●B(1,2.25) (0,1.25) ● C ● D o A x y x中求对面1+桥（5其数函球-喷这的示桥长图得到+y4(程端a轴表∴-以球其2=，水3示(，问故物（-而的你主y的0抛当=于索？2C，过，出降的.h题在，5，5出角了①，2高，正抛时拱(0使=(。0地02点4轴2末间5，条水准由高m，小系和篮m致解=得次,O度水度），轴中（在。央:0解0线如20函2角策2水程面=形求，）.入所.练水标我A时4∵度纵表池第,球，解题索的，,,时．，物：2较14球利圈物水知在点某，的立为式出.离？9点水时水(h线动(为的。 根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外. 当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ; 同理，点 D的坐标为(-2.5,0) . 设抛物线为y=a(x+h)2+k， 由待定系数法可求得抛物线表达式为：y=－ (x-1)2+2.25. ●B(1,2.25) (0,1.25) ● D o A x y ● C 在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟. ——拉普拉斯 $