精品解析：宁夏银川一中2025-2026学年高三上学期第六次月考数学试题

银川一中2026届高三年级第六次月考 数 学 试 卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别明确集合，再根据并集的概念求解即可. 【详解】集合． 由得，所以， 故． 故选：B 2. 复数在复平面内对应的点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则，结合复数在复平面内对应的点的坐标进行判断即可. 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为，它在第二象限， 故选：B 3. 已知，，向量与的夹角为 ，则（ ） A. -5 B. 5 C. 10 D. -10 【答案】D 【解析】 【分析】由向量数量积的定义得到，从而得到的值. 【详解】，， ， 所以， 故选：D. 4. 数列是首项为，公差为的等差数列，为前n项和．若成等比数列，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件列方程，由此求得. 【详解】是首项为，公差为的等差数列，为其前n项和， ， 由成等比数列，得：， 即，解得：． 故选：D． 5. 若二项式的展开式中二项式系数和为64，那么该展开式中的常数项为（ ） A. 12 B. 15 C. 20 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】利用公式二项式系数和为得到，解得的值，求出，整理后设的次数为，求出，从而计算出常数项. 【详解】的展开式中二项式系数和为，，， 设为常数项，则， 故，解得，则. 故选：C. 6. 已知圆台的上下底面圆的半径分别是和 ，且该圆台有内切球，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆台的内切球的半径为，利用圆的性质，求得，过点作，在直角中，利用勾股定理列出方程，求得，得到圆台的高，圆台的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，作出组合体的轴截面，设圆台的上下底面圆心分别为， 圆台的内切球的圆心为，即轴截面内切圆的圆心为，切点为，圆台的内切球的半径为， 可得，所以， 过点作，垂足为，可得， 在直角中，可得，即，解得， 即圆台的高为，又因为圆台的上下底面圆的半径分别是和  ， 所以圆台的体积为. 故选：A. 7. 若函数的最小正周期为，且，的图象关于点对称，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由及关于点对称得，代入求值. 【详解】，则，由，得， 因为的图象关于点对称， 所以，解得， 又，所以， 所以． 故选：A． 8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，焦距为2c，直线l：与双曲线C的右支交于点P，若的内切圆半径为，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，由题意，根据双曲线的定义和内切圆的性质可得，设，则内切圆的圆心为，利用点到直线的距离公式建立关于的方程，解得，结合渐近线的概念即可求解. 【详解】因为左焦点，所以直线过点， 由双曲线的定义知，设内切圆与各边的切点为， 则， 所以，设， 则，解得. 又内切圆的半径为，所以内切圆的圆心为， 因为直线过点，设圆心到直线的距离为， 则，解得， 又，所以，所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B 二、多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是的极小值点 B. 当且仅当时，恰有三个零点 C. 若的解集为，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求，由的正负判断单调性，确定函数极大值或极小值及零点，判断A B；由的解集，得出解，即可判断C；计算，验证函数对称性等式，即可判断D. 【详解】 ，令， 解得：，， 当时，，当时，， 当时，， 所以在单调递增，在上单调递减， 上单调递增， 所以是的极大值点， 是的极小值点，故A错误； 当，， ，， 要使恰有三个零点，则需满足， 即， 解得：，故B正确； 的解集为， ，解得， 满足题意，故C正确； 函数， 则 ， ， 即， ，故D正确， 故选：BCD 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量X服从两点分布（或分布），且，则 B. 要将4个不同的礼物分给3位同学，每人至少1个，不同分法的种数是种 C. 同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，则 D. 某人在次射击中，击中目标的次数为Z，若，则此人最有可能7次击中目标 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用两点分布，直接计算期望及方差并判断A选项；利用排列与组合的分组分配问题可得B对错；根据古典概率模型计算条件概率判断C选项；利用二项分布概率公式列式求解，并用组合数公式求二项系数的最大项可判断D. 【详解】对于A，由随机变量服从两点分布，，得试验成功的概率， 因此，所以A错误； 对于B，先将礼物分为3组，再和3位同学进行全排列即可.有1位同学分得两个礼物， 其他2位同学各得一个，可以先从4个礼物中挑出2个，将礼物分为3份， 与3位同学进行全排列，故不同分法的种数是，所以B正确； 对于C，同时投掷两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序数对， 则总共有种可能，设事件为第一枚骰子投出的点数为奇数， 事件为两枚骰子点数之和为8，所以事件包含的样本点个数有个， 所以，事件包含的基本事件有：， 所以，所以，所以C正确； 对于D，，由， 得，， ，，， ，解得，且， 所以，即最大，此人最有可能7次击中目标，D正确． 故选：BCD 11. 已知抛物线C：的焦点为F，经过点F的直线交抛物线C于A，B两点，则下列说法中正确的有（ ） A. 点F 的坐标为 B. 若点A在第一象限， 且， 则直线AB 的斜率为 C. D. 过点作抛物线C的两条切线，切点分别为M，N，若点T为C的曲线段上任意一点，则面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出焦点坐标判断A；设出直线方程，与抛物线方程联立，利用，结合抛物线定义及数量积的坐标表示求解判断BC；求出直线的方程，并求出点到直线的最大距离即可判断D. 【详解】对于A，抛物线C：的焦点，A正确； 直线不垂直于轴，设其方程为，由消去得， 设，则，，， 对于B，由，得，即，则， 因此，解得，由，得，而， 则，，因此直线的斜率，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，设点，抛物线在点处的切线方程为， 由消去得，即，则， 因此抛物线在点处的切线方程为，同理抛物线在点处的切线方程为， 而这两条切线的交点为，则，即点的坐标均满足方程， 由消去得，解得，， 依题意，抛物线在点处的切线与直线平行， 设抛物线在点处的切线方程为，由消去得， 则，解得，此时，，即点， 点到直线距离的最大值为， 因此面积的最大值为，D正确. 故选：ABD 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料的质量（吨）的相关性，在生产过程中收集组对应数据，如下表所示．（残差观测值预测值） 3 4 5 6 2.5 4 4.5 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，据此计算出在样本处的残差为，则表中的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据残差求得时的预测值，从而求得，再根据样本中心一定在回归直线上即可得到答案. 【详解】由题意可得时的预测值为， 所以，解得，即经验回归方程为， 又因为，， 所以，解得， 故答案为： 13. 已知椭圆的半焦距为c，原点O到经过两点，的直线的距离为，则椭圆C的离心率为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出经过两点，的直线，再根据点到直线的距离公式得到的关系式，结合，化简求得离心率. 【详解】因为经过两点，的直线的方程为，即. 因为原点到直线的距离为，所以，整理得. 所以，所以． 又，所以． 故答案为：. 14. 桌面游戏简称“桌游”，是一种面对面的游戏，非常注重交流，因此是家庭休闲、朋友聚会、商务闲暇等多种场合的一种较好的沟通方式.已知甲、乙、丙、丁四人相约玩“桌面足球”游戏，并约定第一轮甲、乙对打，丙、丁对打，两名优胜者组成胜者组在下一轮游戏中对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一轮游戏中对打.若每轮比赛无平局，且各人之间比赛胜利的概率均为，则第7轮甲、丁对打的概率为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据独立事件、互斥事件的概率分析得到递推数列公式，进而求出数列的通项公式，即可求出第7轮甲、丁对打的概率. 【详解】设在第轮甲、乙对打的概率为，甲、丙对打的概率为，甲、丁对打的概率为， 由题意知，， 甲与乙对打：甲、乙比赛后，胜者进入胜者组，败者进入败者组；同时丁的对手为丙，丙、丁比赛后也分出胜负. 要让下一轮甲、丁对打，需甲、丁同属胜者组或同属败者组，概率为. 甲与丙对打：同理，下一轮甲、丁对打的概率为. 甲与丁对打：此轮比赛后，甲、丁分别进入胜者组/败者组，下一轮不可能对打. 由于每轮对战的对手组合只有三种（甲乙、甲丙、甲丁），故. 因此第轮甲、丁对打的概率：，即， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即. 因此. 故答案为：. 四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 中，内角A，B，C所对的边为，，边上的高为，. （1）求角； （2）求边. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求角； （2）由三角形面积公式可得，又，利用等式，可求边. 【小问1详解】 已知，由余弦定理有， 得 ，故， 又，所以. 【小问2详解】 设边上的高为，则三角形面积， 面积也可表示为， 联立得，即， 由，得， 代入题目条件，得， 将代入上式，得，即， 得，解得. 16. 12月20日是澳门回归纪念日，为弘扬家国情怀，某校抽取100名学生参加宪法知识竞赛，这100名学生的竞赛成绩均在内，将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并估计这100名学生竞赛成绩的上四分位数； （2）从成绩在和的学生中，用分层抽样抽取5名学生，再从5名学生中随机抽取3人，记为抽取的3人中来自成绩在的学生的人数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1），上四分位数为 （2） 0 1 2 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中各小长方形面积之和为1，求得的值，根据各组频率分布情况求得第75百分位数，即上四分位数； （2）按比例求得在和的学生中需抽取的人数，确定的可能取值及其分布列，由数学期望的定义求得的数学期望. 【小问1详解】 由题可知，解得； 上四分位数即为第75百分位数. 学生成绩在范围内的频率为， 学生成绩在范围内的频率为. 所以第75百分位数一定位于范围内. 由，所以估计学生成绩的上四分位数为. 【小问2详解】 依题意，成绩在，两组内的频率分别为和，所以在两组内分别抽取3人和2人. 记为抽取的3人中成绩来自内的人数，则的可能取值为0，1，2. ，，. 所以的分布列如下， 0 1 2 所以的数学期望. 17. 如图所示，在四棱锥中，平面，平面，是等边三角形． （1）若为棱上一点，直线与平面交于点，证明：平面； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】（1）因为平面，平面，所以 ， 因为平面 ，平面 ，所以 平面 ， 由已知，四点共面， 又因为平面，平面平面，所以， 因为平面，平面，所以平面． （2） 或28 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理与性质定理进行证明； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角，通过代数运算求线段长度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令， 取 的中点为，连接，过作，且交 于， 因为，平面，所以平面， 因为 是正三角形，，所以． 以为坐标原点，方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面 的法向量为，则，即， 取，则， 设直线与平面 所成角为， 则， 整理得，解得或， 即 或28． 18. 在平面直角坐标系中，已知点，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点（A，B两点均在y轴左侧）. （1）求曲线C的方程； （2）若点A在x轴上方，且，求直线l的方程； （3）过点A作x轴的平行线m，直线m与直线交于点M，线段的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. 【答案】（1） （2） （3） 同（2）设，直线的方程为：， 则； 因为直线m过点A与x轴平行，所以直线的方程为； 又，则直线的方程为， 由，得， 则，所以， 即， 所以， 因此直线的方程为：， 因为点Q是直线l与直线的交点， 由，得，解得， 所以点Q的横坐标是，因此点Q恒在定直线上. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的定义，以及题中条件，即可得出双曲线的方程； （2）设，先由题中条件，得到直线斜率为正，设直线的方程为：，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，以及，列出方程组求解即可； （3）同（2）设，直线的方程为：，得；直线的方程为；写出直线的方程，进而求出点横坐标，得出点坐标，求出直线的方程与联立，即可求出点横坐标，从而证明结论成立. 【小问1详解】 因为， 所以点P的轨迹是以为焦点的双曲线，且焦距为，实轴长为， 所以，则， 因此双曲线C的方程为； 【小问2详解】 设，则， 因为点A在x轴上方，且，所以易知直线的斜率存在，且斜率大于零， 因此可设直线的方程为：， 由，得，即， 所以①，②，， 又，所以③ 由①③得，代入②可得，即，解得（负值舍去）， 因此直线的方程为：，即； 【小问3详解】 略 【点睛】求解本题第三问的关键在于，利用（2）中直线与双曲线联立后所得根与系数关系，结合题中条件，表示出的方程，再由直线l与直线的方程联立，即可求解. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，且对任意的恒成立，求的取值范围； （3）若，数列的前项和为，证明：． 【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）； （3）由（2）可得，当时，对任意恒成立， 即对任意恒成立． 令，则， 当 时，，此时满足，即不等式成立． 当 时，， 所以， ， 以上累加得， 则，即． 综上可知，对所有的． 【解析】 【分析】（1）求导得，再对分类讨论即可； （2）设，求导后再对进行分类讨论； （3）根据（2）得到结论对任意恒成立，再令，最利用累加法和裂项相消法即可得到证明. 【小问1详解】 由题意得的定义域为． 当时，在上单调递减； 当时，由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上可知，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 依题意可得当时，对任意恒成立． 令，则． ①当时，， 则，所以， 则在上单调递增，则，符合题意． ②当时，有两根， 因为且，所以， 所以由，即，得， 由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，则，则不符合题意． 故的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川一中2026届高三年级第六次月考 数 学 试 卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，，向量与的夹角为 ，则（ ） A. -5 B. 5 C. 10 D. -10 4. 数列是首项为，公差为的等差数列，为前n项和．若成等比数列，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 若二项式的展开式中二项式系数和为64，那么该展开式中的常数项为（ ） A. 12 B. 15 C. 20 D. 30 6. 已知圆台的上下底面圆的半径分别是和 ，且该圆台有内切球，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的最小正周期为，且，的图象关于点对称，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，焦距为2c，直线l：与双曲线C的右支交于点P，若的内切圆半径为，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是的极小值点 B. 当且仅当时，恰有三个零点 C. 若的解集为，则 D. 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量X服从两点分布（或分布），且，则 B. 要将4个不同的礼物分给3位同学，每人至少1个，不同分法的种数是种 C. 同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，则 D. 某人在次射击中，击中目标的次数为Z，若，则此人最有可能7次击中目标 11. 已知抛物线C：的焦点为F，经过点F的直线交抛物线C于A，B两点，则下列说法中正确的有（ ） A. 点F 的坐标为 B. 若点A在第一象限， 且， 则直线AB 的斜率为 C. D. 过点作抛物线C的两条切线，切点分别为M，N，若点T为C的曲线段上任意一点，则面积的最大值为 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料的质量（吨）的相关性，在生产过程中收集组对应数据，如下表所示．（残差观测值预测值） 3 4 5 6 2.5 4 4.5 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，据此计算出在样本处的残差为，则表中的值为__________． 13. 已知椭圆的半焦距为c，原点O到经过两点，的直线的距离为，则椭圆C的离心率为_______． 14. 桌面游戏简称“桌游”，是一种面对面的游戏，非常注重交流，因此是家庭休闲、朋友聚会、商务闲暇等多种场合的一种较好的沟通方式.已知甲、乙、丙、丁四人相约玩“桌面足球”游戏，并约定第一轮甲、乙对打，丙、丁对打，两名优胜者组成胜者组在下一轮游戏中对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一轮游戏中对打.若每轮比赛无平局，且各人之间比赛胜利的概率均为，则第7轮甲、丁对打的概率为____. 四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 中，内角A，B，C所对的边为，，边上的高为，. （1）求角； （2）求边. 16. 12月20日是澳门回归纪念日，为弘扬家国情怀，某校抽取100名学生参加宪法知识竞赛，这100名学生的竞赛成绩均在内，将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并估计这100名学生竞赛成绩的上四分位数； （2）从成绩在和的学生中，用分层抽样抽取5名学生，再从5名学生中随机抽取3人，记为抽取的3人中来自成绩在的学生的人数，求的分布列和数学期望. 17. 如图所示，在四棱锥中，平面，平面，是等边三角形． （1）若为棱上一点，直线与平面交于点，证明：平面； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 18. 在平面直角坐标系中，已知点，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点（A，B两点均在y轴左侧）. （1）求曲线C的方程； （2）若点A在x轴上方，且，求直线l的方程； （3）过点A作x轴的平行线m，直线m与直线交于点M，线段的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，且对任意的恒成立，求的取值范围； （3）若，数列的前项和为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $