云南陆良县第一中学2025-2026学年高二上学期期末诊断（二）数学试题

2027届高二上学期期末诊断（二） 数学 一、单项选择题：本愿共8个小思，每小恩5分，共0分在每小思给出的四个选项中，只有 一项是符合恩目晏求的请把正确答案填涂在答题卡的相应位置上 1设集合=r2-5x+6<0,B--25x5.则4nB=（） A2<x≤ B.{x|-2<x<3}cx-1<xsD.{x-2≤x<6 2已知0-i)z=5+i,则z=() A.3-3 B.2+3i C3+3i D.2-3i 3.已知F为抛物线C:y=8x的焦点，点M在C上，且F=6,则M点的纵坐标为(） A.4 B.45 C-42 D.45 4.设a=3.79,b=3.7,e=log,0.3,则a,6,c的大小关系为（） Aa<b<e B.ase<b C.ccasb D.esbsa 5.若在等差数列{a}中，+a2+a=21,+ag+a=39.则{a,}的公差为《) A.1 B.2 C.3 D.6 6.已知递增的等比数列{a,}清足a+4=10,马4=9，则{a,}的公比=（) A.6 D. c.2 D.3 7。如图，60°的二面角的棱上有么B两点，直线4C,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 B.已知B=44C=6,BD=8,则CD的长为《) A.7 B.7 c2w万 D.9 8阿波罗尼斯，古希脂人，与河基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家两被罗尼新研究了众多平 面轨迹问恩，。其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个着名问恩：己知平面上 试卷第1面，共1西 两点么B,则所有演足份-A(>0且A1)的点P的机迹是一个圆.已知在平面直角坐标系x0中 A(2,0),动点M满足M4=V2M⊙，记动点M的轨迹为C对任意实数k,直线1：y=(x+2)+b 与曲线C恒有公共点，则b的取值范围是() A[-22,22] B.[-万c[-6,6.[55 二、多项选择题：本题共3小愿，每小愿6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多个 选项是符合要求的，全部速对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分。 9对于直线{：r+2y+3a=0,4:3x+(a-)y+3-a=0,以下说法正确的有() A.{∥4的充题条件是a=3B.当a=号时，4出 C.直战4一定经过点M3,0)D.点PL3)到直线马的距高的最大值为5 10。如图所示，用一个与圆柱底面成0<0<分角的平面粮圆柱：装面是一个椭图若医柱的底面圆半径 为2,0=，则（) 人辅圆的长轴长等于4 康精国的标意方可以是名+宁1 C椅画的离心率为马 D.圆上存在点P到焦点的距商为4+2反 11如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”，“三角操最上 层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…设第n层有a个球，从上往下n层球的总数为S,则下 列结论正确的是《) A.3-20 B.d-d=n c-,:片片六器 2 三、填空题：本愿共3小题，年小愿5分，共5分. 1卫.现有一块实心圆柱铁块，轴截面为正方形，侧面积为36，将共磨制成一个球体号件，则能制作的最大 零件的体积为 以将墨数y=6o2x-君引的里象向右平移分0<甲<习到个学位长度后，所得函数为音语数，则 第2页供4质 c'-a,x>0 认已定酸问-女-0热有2个3点测类数0的京强是 四、解答通：本题共5小愿，77分解答应写出必要的文字说明、证明过粗或演算步谏 15,已知能角△MBc的内角人B,C所对的边分别为a,b,e,端足(a+b2-c)inC=√万abcosC (1)求角C 2)若可，C丽=3，e=万，求△4BC的周长 16.设{4}是等整数列，私}是各项都为正数的等比数列且马-4=1，乌+4=7,24-4=2，用eN )求{a,小、色}的通项公式： 2)记c,=a,,T为{6)的前m项和，求工. 17某校为选拔参加数学联赛的同学，先进行校内数学竟套，为了解校内免套成绩，从所有学生中随机抽取 200名学生。记录他们的首轮竟赛成绩，并作出频率分布直方图，。根据图形，请同答下列问题： (1)求频率分布直方图中：的值。若从成绩不低于0分的同学中，按分层抽样方法描取12人的成绩。求 12人中成绩不低于90分的人数 (2)用样本估计总体，估计该校学生首轮数学变赛成绩的平均数以及中位数 (3)若甲、乙两位同学均进入第二轮的复赛，已知甲复赛获一等奖的根率为。，乙复赛获一等奖的概率为 子甲、乙是香获一爷奖互不影响，求至少有-位同半复赛我一等实的概率， 0.025 001 第3页供4项 00分数 I8如围，已知D是△MBC的商，沿AD将ACD折起到△APD的位置，使得PB⊥BC (1)证明，PB⊥平面ABC, (2)若D=PB=2BD=4,求二面角B-AP-D的正弦值 1已如双会线C号-节-16>0b>o)的高心率为2左顶为A进右点F印.可的直线文级鱼技C 于M,N两点 (1)求双盒线C的方程 (2)从下面两个结论中迭择一个给出证明（多选则按第一个给分） OM1N,②若线段MN的垂直平分战交x轴于点G, 恩烧 第4页供4页2027届高二上学期期末模拟诊断（二) 数学答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A D B C B D C A BD BD ACD 一。 单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.请把正确答案填涂在答题卡的相应位置上. 1.设集合A={rx2-5x+6<0}, ®2x专，刚408= A.{x|2<x 52 B.{x-2<x<3} C.{x-l<x≤ D.{x-2≤x<6} 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式化简集合A,再利用交集的定义求解即得。 【详解1血r-5x+6<0:解符2<x<3.则A-2<<3动，而8=-2≤x≤. 所以A∩B={x|2<x≤ 故选：A 2.已知(1-i)z=5+i,则z=() A.3-3i B.2+3i C.3+3i D.2-3i 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算化简：，再根据共轭复数的定义求解. 【详解】图为0-：=5+i,所以：=5出5+10+-4生-2+3. 1-i(1-i)1+i)2 所以z=2-3i 故选D 试卷第1页，共7页 3.已知F为抛物线C:y2=8x的焦点，点M在C上，且MF=6,则M点的纵坐标为() A.4 B.±4W2 C.-4V2 D.42 【答案】B 【解析】 【分析】利用焦半径公式可求得M点的横坐标，代入可得纵坐标 【详解】根据题意可抛物线C:y2=8x的焦点坐标为F(2,0),准线方程为x=-2: 设M(x,%),易知MF=x。+2=6,解得x=4, 代入抛物线方程可得片=8x。=32,解得八。=±4W2 故选：B 4.设a=3.73,b=3.703,c=log70.3,则a,b,c的大小关系为（) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性可比较a,b,根据c<0即可求解 【详解】由于函数y=3.7为单调递增函数，故0<a=3.73<b=3.73, 而c=10g20.3<0,故c<a<b, 故选：C 5.若在等差数列{an}中，a1+a2+a3=21,a4+a5+a6=39.则{a}的公差为() A.1 B.2 C.3 D.6 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列的通项公式，将己知等式化简，两式相减即可求得答案 3a+3d=21 【详解】因为4+42+4=21,44+a+a6=9,所以 3a+12d=391 a=5 解得d=2 试卷第2页，共7页 故选：B 6.己知递增的等比数列{an}满足a6+ag=10,4,41=9,则{a}的公比9=() A.6 D.3 C.2 D.3 【答案】D 【分析】由等比数列的性质可得a,4的值，结合a。+as=10以及{a}为递增数列可得a,和4的值，从而可 得公比9 【详解】由a,4=4,41=9,，a。+ag=10,解得 a46=1ta=9 99或 9-1’ 因为a}是运带藏列，所冬)则g-受9，又红为适循的等北数：所以g 故选：D 7.如图，60°的二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB.己知AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长为() A.17B.7C.217 D.9 【分析】根据式子cD=CD=(CA+AB+BD),即可求出CD的长为217 【详解】因为AC1⊥AB,BD⊥AB,所以CAAB=0,BD.AB=0, 因为=面角为60，所以4C-D=aG5dos60=6×8x24,即历=-24， 所以cD=cD=(A+AB+BD)月 CA'+AB+BD'+2CA.AB+2CA.BD+2AB.BD =CA+AB+BD+2AAB+2A.BD+2AB.BD=36+16+640-48+0=68, 所以cD=217,即CD的长为2W7 故选：C 试卷第3页，共7页 8.阿波罗尼斯，古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家.阿波罗尼斯研究了众多 平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：己知平面上两点A,B,则所有满足 PA PB =2(1>0,且1≠1)的点P的轨迹是一个圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A(2,0),动点M满 足MA=√2MO,记动点M的轨迹为C对任意实数k,直线1：y=k(x+2)+b与曲线C恒有公共点， 则b的取值范围是() A.-2W2,2W2 B.[「-万，]c.[-66]D.[-5,5 【答案】A 【解析】 以L≤25，分 【分析】根据两点间的距离公式可得曲线C的方程，由腿意可得对任意实数k,都有 类参数即可求解 【详解】设M(x,y),因为A(2,0),MA=V2MO, 所以(x-2)2+y2=2(x2+y2),化简可得(x+2)2+y2=8, 所以曲线C的圆心为C(-2,0),半径为22 因为对任意实数k,直线1：y=k(x+2)+b与曲线C恒有公共点， 所以对任意实数k,都有 ≤25， √k2+1 即bl≤2W2Vk2+1任意实数k恒成立 因为k2+1≥1，所以2√2√2+1≥22， 所以bl≤2V2，,解得-2√2≤b≤2√2， 所以b的取值范围是-2√2,2V2 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多个 选项是符合要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分 试卷第4页，共7页 9.对于直线：ar+2y+3a=0,l2:3x+(a-1)y+3-a=0.以下说法正确的有() A.(∥12的充要条件是a=3 B.当a=2时，11 C.直线l一定经过点M(3,0) D.点P(1,3)到直线1的距离的最大值为5 【分析】求出4∥h,的充要条件即可判断A验证a=2时，两直线斜率之积是否为1，判断B,求出直线1经 过的定点即可判断C,判断何种情况下点P(1,3)到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D. 【详解】当l∥1时，a(a-1)-6=0解得a=3或a=-2, +30,符合题意： 5 当a=-2时，两直线为x-y+3=0,x-y 当a=3时，两直线为3x+2y+9=0,3x+2y=0,符合题意，故A错误： 当a时，两直线为x+y+3=05x-3v+B3=0,飞k三5-1 所以112，故B正确： 直线4：ax+2y+3a=0即直线a(x+3)+2y=0,故直线过定点(-3,0)，C错误： 因为直线1：x+2y+3a=0过定点（-3,0)，当直线l:x+2y+3a=0与点P(1,3)和(-3,0)的连线垂直时， P(1,3)到直线4的距离最大，最大值为√1+3)2+(3-0)2=5， 故D正确， 故选：BD. 10.如图所示，用一个与圆柱底面成(0<日<乃)角的平面截圆柱，截面是一个椭圆若圆柱的底面圆半径 为20子别() 试卷第5页，共7页 A.椭圆的长轴长等于4 B.椭圆的标准方程可以是 x2 =1 164 C.椭圆的离心率为V互 D.椭圆上存在点P到焦点的距离为4+2√2 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定图形，求出椭圆长短半轴长α，b,再逐项计算、判断即可得解 【详解】设椭圆的长半轴长为α，短半轴长为b,半焦距为c,椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆 直径， 对于A,由截面与圆柱底面成锐二面角日= 3,得2a= 4 =8,解得a=4,A错误 cos0 对于B,当以椭圆短轴所在直线为x轴，长轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程 +=1，B正确 16 4 对于C,精圆短半轴长b=2,则半焦距。=V-6=25,离心率e=S- ,C错误； a 2 对于D,椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a-c=4-23,最大值为a+c=4+2√3， 而4-2√3<4+2√2<4+2√3，即椭圆上存在点P到焦点的距离为4+22，D正确， 故选：BD 11.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最 上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，.设第n层有a。个球，从上往下n层球的总数为Sn,则 下列结论正确的是() 试卷第6页，共7页 A.S4=20 B.a+1-a.=n n(n+1) 1+1+++ 12023 C.S.-S1= ，n≥2 D. 2 442a3a2o231012 【分析】根据每层球数变化规律可直接求解得到AB正误：利用累加法可求得C正确：采用裂项相消法可 求得D正确， 【详解】对于A,S4=4+4+a4+4,=1+3+6+10=20,A正确： 对于B,由每层球数变化规律可知：aa+1-a,=n+l(n∈N),B错误； 对于C,当m≥2时，a=(a,-a)+(a1-a)++(a-a）)+4=n+0m-1t+2+1=nn+ 2 当n=1时，4=1满足4.-m+，a-0+(ueN): 2 2 8-及=ag≥2，cf: 古》 -2112023 4424a223 20241012,D正确 故选：ACD. 试卷第7页，共7页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.现有一块实心圆柱铁块，轴截面为正方形，侧面积为36π，将其磨制成一个球体零件，则能制作的最大 零件的体积为 【答案】36π 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为r,由圆柱侧面积求出”，由题意可知，球与圆柱的上下底面相切时，体积最 大，由球的体积公式即可解答。 【详解】设圆柱的底面半径为”， 因为圆柱的轴截面为正方形，侧面积为36元， 所以2元r×2r=36π，解得r=3, 由题意可知，球与圆柱的上下底面相切时，体积最大，所以球的半径为3， 4 则能制作的最大零件的体积为二元×33=36π. 3 故答案为：36π. 13.将函数y=cos 的图象向右平移p0<p< 6 2 个单位长度后，所得函数为奇函数，则 0= 【省)君 【解析】 【分折】根据平移规则可得平移后的解析式。再利用奇偶性以及0<<受即可得印 6 【详解】函数y=cos2x- 6 的图象向右平移p个单位以后可得y=c0s2x-2p- 6/: 即y=cOs 2x-20- 为奇函数，因此可得-20-刀+机∈乙，即p=-文套 π 6 62 32元kez: 又0<p< 可知当k=-1时，”=亚符合题意 6 放答案为：看 aea区多网{女w》。有个伴点.a的 e*-a,x>0 【答案】a≤-1 第8页/共18页 【解析】 【分析】由二次函数和指数函数的性质，讨论与1的关系得到零点的个数即可； 【详解】由题意可得当x≤0，f(x)=x2-2ax+a2-1=「x-(a-1)门x-(a+1)门，即两个零点分别为a+1 和a-1, 令e-a=0,解得x=na, 当a>1时，a-1>0,a+1>0,只有一个零点x=lna,不符合题意； 当a=1时，a-1=0,a+1>0,只有一个零点x=0,不符合题意； 当a<1时，e*-a=0无零点，要使函数恰有两个零点，需满足a+1≤0，即a≤-1： 综上，实数a的取值范围是a≤一1. 故答案为：a≤-1. 四、解答题：本题共5小题，77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知锐角△4BC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足a2+b2-c2）sinC=V3 ab cos C. (1)求角C: (2)若CA.CB=3,c=√万，求△ABC的周长， 【答案】1) (2)5+V万. 【解析】 【分析】(1)由余弦定理即可求解： (2)由平面向量的数量积运算可得ab=6,根据余弦定理求出d2+b2=13,从而可求a+b,继而可得△ABC 的周长。 【小问1详解】 因为(ad2+b2-c2）sinC=V3 abcosC, 所以由余弦定理可得2 ab cosCsin C=√3 ab cos C. 因为△ABC△ABC是锐角三角形，所以CosC>0, 所以2inC=5,即smC= 2 第9页/共18页 所以C= 3 【小问2详解】 因为C.C8=3,所以bcosC= ÷ab=3, 所以ab=6 因为c=V万，C= 3 由余弦定理可得c2=a2+b2-2 ab cos C=a2+b2-ab=7, 所以d2+b2=13, 所以(a+b)=d+b2+2ab=13+2×6=25, 所以a+b=5, 所以△4BC的周长为a+b+c=5+√万， 16.设{a}是等差数列，{b}是各项都为正数的等比数列.且a4=b=1,4+b,=7,2a-b=2,neN. (1)求{a}、b}的通项公式： (2)记Cm=an·bn,n为{cn}的前n项和，求T. 【答案】(1)a=21-1,bn=2-1 (2)Tn=(2n-3)×2”+3 【分析】(1)设等差数列{a}的公差为d,等比数列b}的公比为9，则q>0,根据已知条件可得得出关 于q、d的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列{a}、b}的通项公式： (2)求出数列{Cn}的通项公式，利用错位相减法可求得T 【详解】(1)解：设等差数列{a}的公差为d,等比数列b}的公比为q,则q>0, 因为4=b=1,4+b,=7,2a2-b=2, 则4+b=a+2d+bq=2d+q+1=7, 2a2-b,=2(a+d)-bq2=2d-q+2=2, 第10页/共18页