第9章因式分解寒假预习必备讲义-2025-2026学年苏科版八年级下学期数学（知识点归纳+题型精讲+过关测试）

第九章因式分解寒假预习必备讲义（苏科版） ☞预习内容速览 1.课前预习◆目标 2.基础知识◆梳理归纳 3.聚焦题型◆提升能力 4强化巩固◆过关演练 ✔课前预习◆目标 ●理解因式分解的定义，能区分因式分解与整式乘法的关系（互逆运算）； ●掌握提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）两种基本因式分解方法； ●能初步运用因式分解解决简单的多项式分解问题，感知因式分解的应用场景. ⛳基础知识◆梳理归纳 【知识点1因式分解】 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式. 【重点提醒】（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式． （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止． （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 【核心】是把多项式化成几个整式乘积的形式. 【知识点2公因式】 1.多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式． 2.【重点提醒】(1)公因式必须是每一项中都含有的因式． （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式． （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：a.公因式的系数是各项系数的最大公约数．B.字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的 【知识点3提公因式法】 1.定义：一般地，把一个多项式中各项都含有的公共因式（公因式） 提取出来，将多项式化成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫提公因式法. 2.提公因式法的一般步骤 (1)找公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； (2)提公因式并确定另一个因式； （3把多项式写成这两个因式的积的形式. 【重点提醒】（1）多项式的公因式提取要彻底；（2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数相同；（3）若多项式首项系数为负数时，通常需要提出负因数. 【知识点4用平方差公式分解因式】 1.公式：a2-b2=（a+b）(a-b) 2.语言描述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 【知识点5完全平方公式分解因式】 1.公式：a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2 2.语言描述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 公式法的定义：如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. 【知识点6十字相乘法】 适用于二次三项式（ax2+bx+c.a≠0，尤其a=1） 示例：x2-5x+6=（x-2）(x-3). 【知识点7分组分解法】 适用于四项及以上多项式 [ax+ay+bx+by]=a(x+y)+b(x+y)=（a+b）(x+y) ☘聚焦题型◆提升能力 【题型1判断是否是因式分解】 【例1】．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有 ，是因式分解的有 ． 【变式2】．下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)； (2)； (3)． 【题型2已知因式分解的结果求参数】 【例2】．将关于的多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．若，则 ． 【变式2】．已知关于的多项式因式分解后有一个因式是，试求的值． 【题型3公因式】 【例3】．多项式 的公因式是（   ） A．a B． C． D． 【变式1】．多项式的公因式是 ． 【变式2】．找出的公因式． 【题型4提公因式法分解因式】 【例4】．已知多项式在有理数范围可以分解因式，则k可取的单项式为（   ） A．9 B． C． D． 【变式1】．因式分解： ． 【变式2】．分解因式． (1) (2) 【题型5判断能否用公式法分解因式】 【例5】．下列二次三项式是完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 【变式2】．下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；如果不可以，请说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型6平方差公式分解因式】 【例6】．下列等式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．分解因式： ． 【变式2】．将下列多项式分解因式： (1) (2) 【题型7完全平方公式分解因式】 【例7】．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．因式分解： ． 【变式2】．化简分式 【题型8综合运用公式法分解因式】 【例8】．已知，则的值为（　　） A．36 B．25 C．5 D．无法确定 【变式1】．已知，且，则代数式的值为 ． 【变式2】．（1）计算：； （2）因式分解：． 【题型9综合提公因式和公式法分解因式】 【例9】．因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．分解因式：= ； 【变式2】．因式分解． (1)； (2)． 【题型10因式分解在有理数简算中的运算】 【例10 】．分式，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【变式1】． ． 【变式2】．简便计算： 【题型11十字相乘法】 【例11】．分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．因式分解： ． 【变式2】．因式分解：(1) (2)． 【题型12分组分解法】 【例12】12．已知，，则多项式的值为（     ） A．5 B．15 C． D． 【变式1】．因式分解： ． 【变式2】．因式分解： (1) (2) 【题型13因式分解的应用】 【例13】．若△ABC三边a，b，c满足，则△ABC是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 【变式1】．分式和的最简公分母为 ． 【变式2】．先化简，再求值：，其中，． ✍强化巩固◆过关演练 一、单选题 1．下列各式因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若能因式分解为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．7 3．把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 4．如图，边长为，的长方形的周长为，面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 6．下列因式分解错误的是（   ） A． B． C． D． 7．下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 8．把多项式分解因式，结果正确的是（） A． B． C． D． 9．的一个因式是（   ） A． B． C． D． 10．若三边满足，判断的形状是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 二、填空题 11．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是 ．（填序号） ①；②；③；④． 12．已知整式可以因式分解为，则的值为 ． 13．分解因式： ． 14．分解因式： ． 15．因式分解： ； 16．分解因式： ． 17．因式分解： ． 18．简便运算： ． 19．因式分解： ． 20．因式分解： ． 三、解答题 21．二次三项式可分解为两个因式的积，且其中一个因式为．求另一个因式及b的值． 22．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 23．因式分解与计算： (1)化简：； (2)因式分解：． 24．利用因式分解计算： (1) (2) 25．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请用两种不同方法计算图2的面积，并写成因式分解的形式： ； (2)若，，求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，请利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章因式分解寒假预习必备讲义（苏科版） ☞预习内容速览 1.课前预习◆目标 2.基础知识◆梳理归纳 3.聚焦题型◆提升能力 4强化巩固◆过关演练 ✔课前预习◆目标 ●理解因式分解的定义，能区分因式分解与整式乘法的关系（互逆运算）； ●掌握提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）两种基本因式分解方法； ●能初步运用因式分解解决简单的多项式分解问题，感知因式分解的应用场景. ⛳基础知识◆梳理归纳 【知识点1因式分解】 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式. 【重点提醒】（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式． （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止． （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 【核心】是把多项式化成几个整式乘积的形式. 【知识点2公因式】 1.多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式． 2.【重点提醒】(1)公因式必须是每一项中都含有的因式． （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式． （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：a.公因式的系数是各项系数的最大公约数．B.字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的 【知识点3提公因式法】 1.定义：一般地，把一个多项式中各项都含有的公共因式（公因式） 提取出来，将多项式化成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫提公因式法. 2.提公因式法的一般步骤 (1)找公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； (2)提公因式并确定另一个因式； （3把多项式写成这两个因式的积的形式. 【重点提醒】（1）多项式的公因式提取要彻底；（2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数相同；（3）若多项式首项系数为负数时，通常需要提出负因数. 【知识点4用平方差公式分解因式】 1.公式：a2-b2=（a+b）(a-b) 2.语言描述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 【知识点5完全平方公式分解因式】 1.公式：a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2 2.语言描述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 公式法的定义：如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. 【知识点6十字相乘法】 适用于二次三项式（ax2+bx+c.a≠0，尤其a=1） 示例：x2-5x+6=（x-2）(x-3). 【知识点7分组分解法】 适用于四项及以上多项式 [ax+ay+bx+by]=a(x+y)+b(x+y)=（a+b）(x+y) ☘聚焦题型◆提升能力 【题型1判断是否是因式分解】 【例1】．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是因式分解的定义，因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式，据此判断各选项． 【详解】解：选项A：，是从积到多项式的变形，属于整式乘法； 选项B：，是从积到多项式的变形，属于整式乘法； 选项C：，将多项式化为整式的积，符合因式分解定义； 选项D：，右边不是积的形式． 故选：C． 【变式1】有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有 ，是因式分解的有 ． 【答案】 ① ② 【分析】本题考查的是因式分解的定义，根据整式乘法和因式分解的定义：整式乘法是将两个或多个整式相乘得到一个多项式；因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积，根据定义作出判断即可． 【详解】解：变形①中，左边是整式相乘，右边是多项式，属于整式乘法； 变形②中，左边是多项式，右边是整式乘积，属于因式分解； 变形③中，右边不是整式乘积形式，既不是整式乘法也不是因式分解； 故整式乘法的有①，因式分解的有②， 故答案为：①；②． 【变式2】．下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是因式分解；不是整式乘积的形式 (2)是因式分解；是两个整式乘积的形式 (3)不是因式分解；不是整式乘积的形式 【分析】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式表示为几个整式的积的形式；熟悉因式分解的定义是关键； （1）根据因式分解的定义判断即可； （2）根据因式分解的定义判断即可； （3）根据因式分解的定义判断即可； 【详解】（1）解：，左边是整式的乘积形式，右边是多项式，是整式的乘法，故不是因式分解； （2）解：，左边是多项式，右边是两个多项式的乘积形式，故是因式分解； （3）解：，右边不是整式乘积的形式，故不是因式分解． 【题型2已知因式分解的结果求参数】 【例2】．将关于的多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式将展开，与原多项式比较即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵原多项式为， ∴， 故选：． 【变式1】．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解和整式的乘法的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 通过将等式右边展开，与左边多项式比较对应项系数，建立方程求解； 【详解】解：将等式右边展开：， 左边为， 比较系数，得： 一次项系数：， 常数项：， 由，解得：， 或由，解得：， 验证：当时，右边为，与左边相等； 故答案为：； 【变式2】．已知关于的多项式因式分解后有一个因式是，试求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解的意义，解决此题的关键是灵活利用因式分解建立与方程之间的关系来解决问题． 设分解后的另一个因式为．根据题意得到，然后得出，，进而求解即可． 【详解】解：设分解后的另一个因式为． 由题意，得， ∴，， ∴， ∴． 【题型3公因式】 【例3】．多项式 的公因式是（   ） A．a B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查公因式，根据三定法：定系数—系数的最大公约数，定字母—相同字母，定指数—相同字母的最低次幂，确定公因式，进行判断即可． 【详解】解：多项式的公因式是； 故选A． 【变式1】．多项式的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求多项式的公因式，一个多项式的公因式是这个多项式各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积，据此求解即可． 【详解】解：系数12和18的最大公约数是6；字母部分，的最小指数为2，的最小指数为2，的最小指数为1，故公因式为， 故答案为：． 【变式2】．找出的公因式． 【答案】 【分析】本题考查了公因式：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式，熟记公因式的定义是解题关键．根据公因式的定义求解即可得． 【详解】解：和系数的公因数可取，相同字母的最低次幂是1，相同字母的最低次幂是1， 所以的公因式为． 【题型4提公因式法分解因式】 【例4】．已知多项式在有理数范围可以分解因式，则k可取的单项式为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分解因式，令分别取四个选项中的单项式，再看多项式能否在有理数的范围内分解因式即可得到答案． 【详解】解：当时，多项式不能在有理数范围分解因式，故A不符合题意； 当时，多项式不能在有理数范围分解因式，故B不符合题意； 当时，多项式不能在有理数范围分解因式，故C不符合题意； 当时，，能在有理数范围分解因式，故D符合题意； 故选：D． 【变式1】．因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查提公因式法分解因式．通过观察发现两项含有公因式 ，因此直接提取公因式进行因式分解． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2】．分解因式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，熟练找出公因式是解题的关键． （1）提取公因式进行分解即可； （2）提取公因式进行分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【题型5判断能否用公式法分解因式】 【例5】．下列二次三项式是完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方式，掌握知识点是解题的关键． 完全平方式的形式为，通过比较各选项的系数判断是否符合即可． 【详解】解：A．在中，常数项是，是负数，该项不可能是完全平方式，不符合题意；； B．，一次项系数的一半的平方为，该项不是完全平方式，不符合题意； C．，中间项应为，该项不是完全平方式，不符合题意； D． ，该项是完全平方式，符合题意． 故选D． 【变式1】．在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握、是解答本题的关键．根据公式分析解答即可． 【详解】解：，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； 故答案为：4． 【变式2】．下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；如果不可以，请说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不可以，因为不是平方差形式 (2)可以，分解为 (3)不可以，因为不是平方差形式 (4)可以，分解为 【分析】本题考查利用平方差公式分解因式： （1）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （2）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （3）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （4）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解． 【详解】（1）解：不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式； （2）解：可以用平方差公式分解因式， ； （3）解：不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式； （4）解：可以用平方差公式分解因式， ． 【题型6平方差公式分解因式】 【例6】．下列等式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的定义和因式分解的方法．因式分解是将多项式化为整式乘积的形式，需确保等式两边相等，再结合因式分解的方法即可求解． 【详解】解：∵因式分解是从多项式到乘积的变形， 选项A：从左到右是展开，不是因式分解，故错误； 选项B：应分解为，而非，故错误； 选项C：，正确； 选项D：，故错误． 故选：C． 【变式1】．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征． 根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【变式2】．将下列多项式分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，掌握平方差公式是解题关键． （1）直接应用平方差公式分解即可； （2）先应用平方差公式，再整体提公因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【题型7完全平方公式分解因式】 【例7】．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，且等式必须成立，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、这是多项式乘法，不是因式分解，不符合题意； B、是因式分解，符合题意； C、，原等式不成立，不是因式分解，不符合题意； D、等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：B． 【变式1】．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了公式法分解因式，观察表达式，发现前三项构成完全平方式，整体可视为平方差形式，应用公式分解法． 【详解】解： 故答案为：. 【变式2】．化简分式 【答案】 【分析】本题考查分式的化简，正确掌握分式化简的方法是解题的关键． 先把分子分母因式分解，再约去公因式即可求解． 【详解】解： 【题型8综合运用公式法分解因式】 【例8】．已知，则的值为（　　） A．36 B．25 C．5 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用．能通过对已知条件的变形得出的值是解题的关键．先由已知条件得出的值，再把化成完全平方的形式，再进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1】．已知，且，则代数式的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了因式分解、代数式求值、整式的混合运算，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 整理条件式，根据公式法对其因式分解，进而解题． 【详解】解：， ， ， ， ， 即， ， ∴， ∴， ． 故答案为：0 ． 【变式2】．（1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了整式的混合运算，公式法因式分解，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）先利用平方差公式和完全平方公式展开，然后再合并同类项即可； （2）先利用完全平方公式进行因式分解，然后再对括号内的部分应用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【题型9综合提公因式和公式法分解因式】 【例9】．因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法以及完全平方公式，是解题的关键． 先提取公因式，再利用完全平方公式，即可分解因式． 【详解】解：， 故选：B． 【变式1】．分解因式：= ； 【答案】 【分析】此题考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法并灵活选择是解题的关键． 先提取公因式，再利用完全平方公式对剩余部分进行因式分解． 【详解】解：原式， 故答案为： 【变式2】．因式分解． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）运用提公因式法进行因式分解即可； （2）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 【题型10因式分解在有理数简算中的运算】 【例10 】．分式，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简公分母．先把分母分解因式，再根据最简公分母定义即可求出． 【详解】解：∵，，， ∴最简公分母是． 故选：C 【变式1】． ． 【答案】246 【分析】本题考查利用平方差公式进行简算，逆用乘法分配律和平方差公式进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：246 【变式2】．简便计算： 【答案】16 【分析】本题考查了平方差公式，先把原式整理得，再运用平方差公式进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 【题型11十字相乘法】 【例11】．分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解：利用十字相乘法即可分解因式． 【详解】解：， 故选：A． 【变式1】．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解；先提取公因式，再对二次项利用十字相乘法进行因式分解． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2】．因式分解：(1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，准确的计算是解题的关键． （1）运用提公因式法即可求解； （2）运用十字相乘法即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型12分组分解法】 【例12】12．已知，，则多项式的值为（     ） A．5 B．15 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，求整式的值；进行因式分解得，整体代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 故选：C． 【变式1】．因式分解： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组是解题关键．直接将原式重新分组进而利用提取公因式法分解因式即可． 【详解】解： . 故答案为 【变式2】．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解． （1）先用换元法，再利用十字相乘法分解因式即可． （2）先用分组分解法，再利用公式法分解因式即可． 【详解】（1）解：令， 则原式变成：， ， 再把代入得， 故 （2）解： 【题型13因式分解的应用】 【例13】．若△ABC三边a，b，c满足，则△ABC是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，等腰三角形的判定，将方程因式分解得，由于三角形三边之和，故，即，因此三角形为等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为△ABC的三边， ∴， ∴， ∴， ∴△ABC是等腰三角形． 故选：A． 【变式1】．分式和的最简公分母为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了最简公分母，关键是掌握如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．首先把分母分解因式，然后再确定最简公分母． 【详解】解：∵，， ∴分式和的最简公分母是：． 故答案为：． 【变式2】．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】此题考查了整式的混合运算及求值、因式分解的简便运算，熟练掌握平方差公式与完全平方公式是解本题的关键． 先利用平方差公式和完全平方公式计算，再去括号、合并同类项化简原式，再将的值代入计算即可得． 【详解】解：， ， ． ， 将，代入， 原式 ， ， ． ✍强化巩固◆过关演练 一、单选题 1．下列各式因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解）是解此题的关键． 根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．，从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．故原式不成立，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．，属于因式分解，故本选项符合题意； D．因式分解不彻底，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．若能因式分解为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则和分解因式，熟练掌握运算法则是解题关键；将给定的因式分解形式展开，与原多项式比较对应项的系数，从而求出参数 a 的值． 【详解】解：∵， 又∵能因式分解为， ∴， 故选：A． 3．把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用提公因式法分解因式，找出多项式各项系数的最大公因数和变量的公共部分，组合即为公因式． 【详解】解：∵多项式为中系数2和4的最大公因数为2，变量部分和的公共因子为， ∴应提取的公因式为． 故选：C． 4．如图，边长为，的长方形的周长为，面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求代数式的值、整体代入法求代数式的值．根据长方形的周长和面积可得：，，利用完全平方公式可得，再利用整体代入法求代数式的值． 【详解】解：边长为，的长方形的周长为，面积为， ，， ， ， ． 故选：A． 5．下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．根据平方差公式分析判断即可． 【详解】解：A、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； B、，能用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意； C、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； D、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； 故选：B． 6．下列因式分解错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法是解题的关键． 根据因式分解的常用方法（提公因式法和公式法），验证每个选项的因式分解是否正确即可． 【详解】解：A、，故此选项因式分解正确，不符合题意； B、，故此选项因式分解正确，不符合题意； C、，故此选项因式分解错误，符合题意； D、，故此选项因式分解正确，不符合题意； 故选：C． 7．下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式恒等变形，熟记分式性质及因式分解是解决问题的关键． 通过因式分解和分式的基本性质，检查每个选项的变形是否正确即可得到答案． 【详解】解：A: ，选项分式变形错误，不符合题意； B: ，选项分式变形错误，不符合题意； C: ，选项分式变形错误，不符合题意； D: （其中），选项分式变形正确，符合题意； 故选：D． 8．把多项式分解因式，结果正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法与平方差公式的综合应用，熟练掌握因式分解的步骤（先提公因式，再用公式分解到不能再分解）是解题的关键．先提取多项式中的公因式，再对剩余部分使用平方差公式继续分解，直到不能再分解为止． 【详解】解： ， 故选：C． 9．的一个因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．利用十字相乘法分解因式即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴和是的因式． 故选：A． 10．若三边满足，判断的形状是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，等腰三角形的判定，由已知等式可得，根据三角形的三边关系可得，据此即可判断求解，正确对等式左边进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为三边， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 故选：． 二、填空题 11．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是 ．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键． 根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【详解】解：选项①是整式乘法，不是因式分解； 选项②右边不是积的形式，不是因式分解； 选项③左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解； 选项④右边含有分式，不是整式，不是因式分解； 故答案为③． 12．已知整式可以因式分解为，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是多项式因式分解与整式乘法的互逆关系，解题关键是利用整式乘法展开因式分解式，再通过对应项系数相等列方程求解． 通过展开因式分解形式，比较同类项系数，建立方程求解即可． 【详解】展开 ，与原式 比较系数， 得 ，解得 ． 故答案为 4 13．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查分解因式．掌握提公因式法分解因式是解题关键． 直接运用提取公因式，即可分解因式． 【详解】解：； 故答案为：． 14．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法． 识别该式为平方差形式，应用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15．因式分解： ； 【答案】/ 【分析】本题主要考查了因式分解，直接利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 16．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 观察表达式，将后三项分组并提取负号，形成完全平方公式，再运用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 17．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解运算是解答本题的关键． 先提取公因数，然后利用完全平方公式进行分解． 【详解】解：． 故答案为：． 18．简便运算： ． 【答案】10000 【分析】本题考查了因式分解、完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． 根据完全平方公式计算，即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 19．因式分解： ． 【答案】 【分析】此题主要考查因式分解．本题为二次三项式的因式分解，通过寻找两个数满足和为、积为，进而分解. 【详解】解：， 故答案为：． 20．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的分组分解法和提取公因式法，将多项式合理分组是解题关键． 将多项式中含相同公因式的项分为一组，先对每组分别提取公因式，再提取两组的公共公因式． 【详解】解： ， 故答案为：． 三、解答题 21．二次三项式可分解为两个因式的积，且其中一个因式为．求另一个因式及b的值． 【答案】 另一个因式为 ， 【分析】本题考查了已知因式分解求参数，多项式乘多项式，熟练掌握因式分解的定义和多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．设另一个因式为，则，然后展开右边，通过比较系数即可解答． 【详解】解：设另一个因式为， 则， 展开右边：， 比较系数得：，， 解得，， ∴另一个因式为，． 22．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用提公因式法进行因式分解，即可作答． （2）运用提公因式法进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 23．因式分解与计算： (1)化简：； (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式乘法和因式分解，熟练掌握单项式乘多项式运算法则和完全平方公式及提公因式法是解决本题的关键． （1）先利用完全平方公式及单项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项即可得答案； （2）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解，即可得答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 24．利用因式分解计算： (1) (2) 【答案】(1) 1600 (2) 4000 【分析】本题考查用公式法因式分解简便运算，掌握公式法因式分解是解题关键． （1）用完全平方公式先分解因式再计算即可； （2）用平方差公式先分解因式再计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 25．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请用两种不同方法计算图2的面积，并写成因式分解的形式： ； (2)若，，求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，请利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形． 【答案】(1)图2的面积为或， (2)56 (3)画图见解析， 【分析】本题考查因式分解的应用： （1）图2 图形的面积为正方形的面积表示为，图2 图形的面积为3个小正方形的面积加上三个小长方形的面积，据此即可得到因式分解的形式； （2）利用（1）中结论求解即可； （3）根据多项式，由1个边长为的小正方形和4个边长为的长方形和3个边长为的正方形组合成一个矩形，进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：图2面积为：；图2的面积为：， ∴； 故答案为：； （2）解：，，， ． ； （3）解：如图所示 ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $