寒假巩固作业16 轴对称 专项训练 2025-2026学年人教版数学八年级上册

寒假巩固作业16轴对称专项训练 题型一、轴对称压轴题 1． 完成下列问题： （1）【阅读理解】如图①，△ABC 是等边三角形，D 是边 BC下方一点，∠BDC=120°，求线段 DA，DB，DC 之间的数量关系. 解题思路：延长DC到点E，使得CE=BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC=180°，可证∠ABD=∠ACE，易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE 是等边三角形，所以AD=DE，从而求得线段DA，DB，DC之间的数量关系. 请根据以上思路，求出线段DA，DB，DC之间的数量关系； （2）【理解应用】请运用上述材料中的方法解答下列问题. 如图②，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC 内部一点，且∠APB=∠BPC=135°，求证：PA=2PC. 2．（2024八上·靖宇期末）阅读材料：把形的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．请根据阅读材料解决下列问题： （1）填空：　 　． （2）先化简，再求值：，其中满足． （3）若分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 3．（2019八上·云安期末）阅读材料：把形ax2+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2 ±2ab+b2=(a±b)2．请根据阅读材料解决下列问题： （1）填空：a2-4a+4=　 　． （2）若a2+2a+b2-6b+10=0，求a+b的值． （3）若a、b、C分别是△ABC的三边，且a2+4b2+c2-2ab-6b-2c+4=0，试判断△ABC的形状，并说明理由． 4．（2025八上·凉州期中）在等边中，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为边作等边（A、D、E按逆时针排列），连接． （1）如图1，当点D在线段上时，求证：； （2）如图2，当点D在的延长线上时，求证：． （3）如图3，当点D在线段的延长线上时，若，且，求的面积． 题型二、作图题 5．如图，边长为1的正方形组成的网格中， 的顶点均在格点上，点A.B的坐标分别是 ， . （1）画出 关于直线 对称的图形 ； （2）点P在x轴上使 周长最小时，在图中画出点P；（请保留作图痕迹） （3）求出 的面积. 6．如图，已知，，. ⑴画出△ABC此关于y轴对称的图形，并写出，的坐标； ⑵P为x轴上一点，请在图中画出使PA＋PB最小时的点P，并写出点P的坐标. 7．如图：在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）． （1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1（其中点A、B、C的对称点分别为点A1、B1、C1）． （2）写出点A1、B1、C1的坐标．A1______，B1______，C1_______． 8．以图中的虚线l为对称轴画出该图形的另一半． 9．（2024八上·吉林期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°． （1）用圆规和直尺在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）当满足（1）的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A的度数． 10．画图探究： （1）如图1，点和点位于直线两侧，是直线上一点，点使的值最小.请你通过画图，在图1中找出点； （2）如图2，点和点位于直线同侧，是直线上一点，点使的值最小.请你通过画图，在图2中找出点； （3）如图3，在四边形中，，，点在边上，点在边上，点、点使的周长的值最小.请你通过画图，在图3中找出点和点并求的度数. 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假巩固作业16轴对称专项训练 题型一、轴对称压轴题 1． 完成下列问题： （1）【阅读理解】如图①，△ABC 是等边三角形，D 是边 BC下方一点，∠BDC=120°，求线段 DA，DB，DC 之间的数量关系. 解题思路：延长DC到点E，使得CE=BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC=180°，可证∠ABD=∠ACE，易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE 是等边三角形，所以AD=DE，从而求得线段DA，DB，DC之间的数量关系. 请根据以上思路，求出线段DA，DB，DC之间的数量关系； （2）【理解应用】请运用上述材料中的方法解答下列问题. 如图②，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC 内部一点，且∠APB=∠BPC=135°，求证：PA=2PC. 【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°. ∵∠BDC=120°， ∴∠BAC+∠BDC=180°， ∴∠ABD+∠ACD=180°. 又∵∠ACE+∠ACD=180°， ∴∠ABD=∠ACE， 又∵CE=BD， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴AD=AE，∠BAD=∠CAE. ∵∠BAC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°， ∴ ∠DAC+∠CAE=∠DAE=60°， ∴△ADE 是等边三角形， ∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB （2）证明：如解图，在线段AP上取点D，使得AD=CP，连接CD， ∵∠APB=∠BPC=135°， ∴ ∠APC = 90°，∠ABP+∠PAB =45°，∠CBP+∠BCP=45°， 在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠CAB=∠CBA=45° ∴∠CAP+∠PAB=45°，∠ABP+∠CBP=45°， ∴∠ABP=∠CAP，∠ABP=∠BCP， ∴∠CAD=∠BCP， 在△ADC和△CPB中， ∴△ADC≌△CPB(SAS)， ∴∠ADC=∠CPB=135°， ∴∠PDC=45°， ∴△CPD是等腰直角三角形， ∴CP=DP， ∵PA=AD+DP， ∴PA=2PC. 【解析】【分析】 (1)根据等边三角形的性质和补角的定义推导出∠ABD=∠ACE，即可利用SAS判定△ABD≌△ACE即可根据全等三角形的性质和角度的运算得到∠DAC+∠CAE=∠DAE=60°从而得到△ADE 是等边三角形，由此即可解答； （2）在线段AP上取点D，使得AD=CP，连接CD，由已知条件和角度的运算关系得到∠CAD=∠BCP，再利用SAS判定△ADC≌△CPB，由此即可解答. 2．（2024八上·靖宇期末）阅读材料：把形的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．请根据阅读材料解决下列问题： （1）填空：　 　． （2）先化简，再求值：，其中满足． （3）若分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）解： = = ∵， ∴， ∴， 把代入上式得： （3）解：△ABC为等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴△ABC为等边三角形． 【解析】【解答】解：（1）∵， 故答案为：； 【分析】（1）根据完全平方公式可得答案； （2）先对原式进行化简，利用配方法将 变形为 ， 根据非负数之和为0的性质求出a、b，将a、b的之代入化简结果计算即可； （3）利用配方法将原式变形为 ， 根据非负数之和为0的性质求出a、b、c，即可判断的形状。 3．（2019八上·云安期末）阅读材料：把形ax2+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2 ±2ab+b2=(a±b)2．请根据阅读材料解决下列问题： （1）填空：a2-4a+4=　 　． （2）若a2+2a+b2-6b+10=0，求a+b的值． （3）若a、b、C分别是△ABC的三边，且a2+4b2+c2-2ab-6b-2c+4=0，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】（1）（a-2）2 （2）解：∵a2+2a+b2﹣6b+10=0， ∴（a+1）2+（b﹣3）2=0， ∴a=﹣1，b=3， ∴a+b=2 （3）解：△ABC为等边三角形．理由如下： ∵a2+4b2+c2﹣2ab﹣6b﹣2c+4=0， ∴（a﹣b）2+（c﹣1）2+3（b﹣1）2=0， ∴a﹣b=0，c﹣1=0，b﹣1=0 ∴a=b=c=1， ∴△ABC为等边三角形 【解析】【解答】解：（1）∵a2﹣4a+4=（a﹣2）2， 故答案为：（a﹣2）2； 【分析】（1）直接利用完全平方式分解即可； （2）将等式的左边常数项10拆成1+9，从而配成两个完全平方式，根据偶次幂的非负性即可解答； （3）将等式左边的某些项拆开、重新组合为：，从而配成三个完全平方式，进而利用偶次幂的非负性即可解答判断。 4．（2025八上·凉州期中）在等边中，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为边作等边（A、D、E按逆时针排列），连接． （1）如图1，当点D在线段上时，求证：； （2）如图2，当点D在的延长线上时，求证：． （3）如图3，当点D在线段的延长线上时，若，且，求的面积． 【答案】（1）证明：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如下图，过点作， 则， ∵和均为等边三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案. （2）根据等边三角形性质可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案. （3）过点作，则，根据等边三角形性质可得，根据角之间的关系可得∠CDA，再根据三角形外角性质可得∠CAD，则，根据等角对等边可得，再根据三角形面积可得，根据垂直平分线判定定理可得垂直平分线段，则，再根据三角形面积即可求出答案. 题型二、作图题 5．如图，边长为1的正方形组成的网格中， 的顶点均在格点上，点A.B的坐标分别是 ， . （1）画出 关于直线 对称的图形 ； （2）点P在x轴上使 周长最小时，在图中画出点P；（请保留作图痕迹） （3）求出 的面积. 【答案】（1）解：如图所示， 即为所作， （2）解：如图所示，在图中找出点A（3，2）关于x轴的对称点A′′（3，-2），连接A A′′交x轴于点P，则P即为所求点； （3）解： . 【解析】【分析】（1）分别作出A、B、O三点关于直线x=-1的对称点，顺次连接即可； （2）找出点A（3，2）关于x轴的对称点A′′（3，-2），连接A A′′，根据最短路径确定问题，与x轴的交点，即为所求的P点； （3）根据割补法即可求出△AOB的面积. 6．如图，已知，，. ⑴画出△ABC此关于y轴对称的图形，并写出，的坐标； ⑵P为x轴上一点，请在图中画出使PA＋PB最小时的点P，并写出点P的坐标. 【答案】解：⑴如图所示，，； ； ⑵如图，点P即是所求作的点，. 【解析】【分析】（1）关于y轴对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此找出点A1、B1、C1的位置，顺次连接可得△A1B1C1，进而可得相应点的坐标； （2）找出点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，与x轴的交点即为点P. 7．如图：在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）． （1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1（其中点A、B、C的对称点分别为点A1、B1、C1）． （2）写出点A1、B1、C1的坐标．A1______，B1______，C1_______． 【答案】解：（1）△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1如图所示； （2）（1，5）；（1，0）；（4，3）． 【解析】【解答】（2）由表格可得：A1（1，5），B1（1，0），C1 （4，3）． 故答案为：（1，5）；（1，0）；（4，3）． 【分析】（1）先找出点A、B、C 关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，再顺次连接即可得到 △A1B1C1 ； （2）根据平面直角坐标系内点的位置写出各点的坐标即可． 8．以图中的虚线l为对称轴画出该图形的另一半． 【答案】解：如图所示． 【解析】【分析】画轴对称图形的方法：①找关键点，该图中三个不在对称轴的顶点；②根据轴对称的性质找关键点的对称点，过关键点向对称轴作垂线段，并延长一倍；③连接各对称点. 9．（2024八上·吉林期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°． （1）用圆规和直尺在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）当满足（1）的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A的度数． 【答案】（1）解：依照题意，画出图形，如图所示． （2）解：∵点P到AB、BC的距离相等， ∴PC＝PD． 在Rt△BCP和Rt△BDP中，， ∴Rt△BCP≌Rt△BDP（HL）， ∴BC＝BD． 又∵PD垂直平分AB， ∴AB＝2BD＝2BC． 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC， ∴∠A＝30°． 【解析】【分析】（1）根据题中要求，依据垂直平分线性质定理，判断出需要作的是线段AB的垂直平分线，掌握尺规作图作线段的垂直平分线；（2） 求∠A的度数方法不唯一，可以根据垂直平分线的性质、角平分线的性质定理的逆定理，再根据∠A所对的直角边等于斜边一半得到30°，也可以由∠A=∠ABP=∠PBC且三角和为90°求解。 10．画图探究： （1）如图1，点和点位于直线两侧，是直线上一点，点使的值最小.请你通过画图，在图1中找出点； （2）如图2，点和点位于直线同侧，是直线上一点，点使的值最小.请你通过画图，在图2中找出点； （3）如图3，在四边形中，，，点在边上，点在边上，点、点使的周长的值最小.请你通过画图，在图3中找出点和点并求的度数. 【答案】（1）解：根据两点之间线段最短，连接与直线相交点， 此时最小； （2）解：作点关于直线的对称点，则 ， 连接与直线相交点即是点，此时最小，即最小； 实践应用： （3）解：如图3，分别作出点关于，的对称点，， 连接分别交、于点、，此时周长最小； ∵，， ∴，∴， ∴. ∴. 【解析】【分析】（1）根据两点之间线段最短，连接AB与直线m相交点P，此时PA+PB最小； （2）作点A关于直线m的对称点A′，则A′P=AP，PA+PB=PA′+PB，连接A′B与直线m相交点即是点P，此时PA′+PB最小，即PA+PB最小； （3）分别作出点C关于AB、AD的对称点M、N，连接MN分别交AB、AD于点E、F，此时△EFC周长最小，根据四边形内角和为360°可得∠BCD=108°，根据内角和定理可得∠M+∠N=72°，即∠BCE+∠DCF=72°，然后根据角的和差关系进行计算. 学科网（北京）股份有限公司 $