24.1.2 垂直于弦的直径 寒假巩固 2025-2026学年人教版九年级数学上册

人教版（2024）九年级上册 24.1.2 垂直于弦的直径 寒假巩固 【题型1】与垂径定理有关的计算和证明 【典型例题】如图，⊙O的半径OB为4，OC⊥AB于点D，∠BAC＝30°，则AB的长是(　　) A. B.4 C.2 D.3 【举一反三1】如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC，BD，下列结论中不一定正确的是(　　) A.AE＝BE B. C.OE＝DE D. 【举一反三2】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝6cm，则AE＝（　　） A.5cm B.6cm C.8cm D.9cm 【举一反三3】如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，且AE＝3 cm，BF＝5 cm，若⊙O的半径为5 cm，则CD的长为　　　cm.  【举一反三4】如图，AB，CD是⊙O的两条弦，MN是AB的垂直平分线.求证：MN垂直平分CD. 【举一反三5】如图，已知直径CD为8，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM＝2，求AB的长． 【题型2】与垂径定理有关的最值问题 【典型例题】如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 【举一反三1】如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D，E分别是AC，BC上的一点，且DE＝6．若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M，N，则MN的最大值为（　　） A.5.6 B.4.8 C.4 D.1.6 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，⊙O经过点（0，10），直线y＝kx+2k﹣4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的最小值是（　　） A. B. C. D.以上都不对 【举一反三3】如图，已知⊙O的直径为26，弦AB＝24，动点P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若点M、N分别是弦AB、PQ的中点，则线段MN的取值范围是（　　） A.7≤MN≤17 B.14≤MN≤34 C.7＜MN＜17 D.6≤MN≤16 【举一反三4】已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB＝24，CD＝10，⊙O的半径为13，则弦AB与CD的距离为　　　　.  如图，的半径为5，点C是弦上一点，若，设，则x的取值范围是         . 一条排水管的截面如图所示，已知该排水管的半径OA=10，水面宽AB=16，则排水管内水的最大深度CD的长为           . 【举一反三7】如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当AB取最大值时，点A的坐标为 　       　． 【题型3】垂径定理与坐标系相关的问题 【典型例题】如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（　　） A.（﹣5，﹣6） B.（﹣4，﹣5） C.（﹣6，﹣4） D.（﹣4，﹣6） 【举一反三1】如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，﹣7）的直线l与⊙B相交于C，D两点，则弦CD长是整数值有（　　）条 A.2 B.3 C.4 D.5 【举一反三2】如图，平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与x轴交于点A，B，以第一象限内点C为圆心半径为2的圆经过A、B两点，则点C的坐标为 　 　． 【举一反三3】如图，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点． （1）求A、B两点的坐标； （2）以AB为直径的圆M与y轴交于C、D两点，求弦CD的长． 【题型4】垂径定理的应用 【典型例题】数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（　　） A.50cm B.35cm C.25cm D.20cm 【举一反三1】用工件槽可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图1(单位： cm).将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A，B，E三个接触点，该球的大小就符合要求.图2是过球心O及A，B，E三点的截面示意图，这种铁球的直径为(　　) A.20 cm B.15 cm C.40 cm D. cm 【举一反三2】绍兴市是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC为5 m，则水面宽AB为　　m.  【举一反三3】如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB宽度为8米，拱高CD（弧的中点到水面的距离）为2米． （1）求主桥拱所在圆的半径； （2）若水面下降1米，求此时水面的宽度（保留根号）． 【举一反三4】某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如图是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度AB（弧所对的弦）的长为8米，拱高CD（弧的中点到弦的距离）为2米． （1）求该圆弧所在圆的半径； （2）在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点B）1米处将竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度． 人教版（2024）九年级上册 24.1.2 垂直于弦的直径 寒假巩固（参考答案） 【题型1】与垂径定理有关的计算和证明 【典型例题】如图，⊙O的半径OB为4，OC⊥AB于点D，∠BAC＝30°，则AB的长是(　　) A. B.4 C.2 D.3 【答案】B 【解析】∵OC⊥AB，∠BAC＝30°， ∴∠BOD＝60°，∴∠OBD＝30°，又∵OB＝4， ∴OD＝OB＝2， ∴BD＝＝2， ∵OC⊥AB，OC是半径， ∴AB＝2BD＝4. 【举一反三1】如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC，BD，下列结论中不一定正确的是(　　) A.AE＝BE B. C.OE＝DE D. 【答案】C 【解析】∵CD⊥AB，CD是⊙O的直径，AB是弦， ∴AE＝BE，，， ∴A，B，D正确； 无法说明OE＝DE，故C不一定正确. 【举一反三2】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝6cm，则AE＝（　　） A.5cm B.6cm C.8cm D.9cm 【答案】D 【解析】解：∵AB⊥CD，AB是直径，CD＝6cm， ∴CE＝ED＝3cm， 在Rt△OEC中，OE＝＝＝4（cm）， ∴AE＝OA+OE＝5+4＝9（cm）， 故选：D． 【举一反三3】如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，且AE＝3 cm，BF＝5 cm，若⊙O的半径为5 cm，则CD的长为　　　cm.  【答案】6 【解析】过点O作OH⊥EF，连接OC(图略)，根据题意可得OH＝(AE＋BF)＝4(cm)， 在Rt△OCH中，由勾股定理可得CH＝3 cm， ∴CD＝2CH＝6(cm). 【举一反三4】如图，AB，CD是⊙O的两条弦，MN是AB的垂直平分线.求证：MN垂直平分CD. 【答案】证明：如图，设MN与CD交于点E，交AB于点F. ∵MN是AB的垂直平分线， ∴MN过圆心O，且∠MED=90° ∵AB∥CD， ∴∠BFM=∠MED=90° ∴MN⊥CD， ∴MN垂直平分CD． 【举一反三5】如图，已知直径CD为8，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM＝2，求AB的长． 【答案】解：如图，连接OA， ∵⊙O的直径CD＝8， ∴OA＝OC＝4， ∵AB⊥CD， ∴AM＝AB， 在Rt△AOM中，由勾股定理得：AM＝＝＝2， ∴AB＝2AM＝4， 即AB的长为4． 【题型2】与垂径定理有关的最值问题 【典型例题】如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】A 【解析】①当点M与点A或点B重合时，OM最长，等于半径5； ②∵半径为5，弦AB＝8， ∴当∠OMA＝90°时，OA＝5，AM＝4， ∴OM最短为＝3， ∴3≤OM≤5， 因此OM不可能为2. 【举一反三1】如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D，E分别是AC，BC上的一点，且DE＝6．若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M，N，则MN的最大值为（　　） A.5.6 B.4.8 C.4 D.1.6 【答案】B 【解析】解：如图，作CF⊥AB于F， ∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8， ∴， ∴， ∵DE＝6， ∴， 根据垂线段最短，当CF经过圆心O时，OF最小，MN有最大值， ∴OF＝CF﹣OC＝1.8， 连接OM， ∴， 根据垂径定理，得MN＝2MF＝4.8， 故选B． 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，⊙O经过点（0，10），直线y＝kx+2k﹣4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的最小值是（　　） A. B. C. D.以上都不对 【答案】C 【解析】对于直线y＝kx+2k﹣4， 当x＝﹣2时，y＝﹣4， 故直线y＝kx+2k﹣4恒经过点（﹣2，﹣4），记为点D． 由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，即当OB⊥OD时，BC最短， 连接OB，OD，如图所示， ∵D（﹣2，﹣4）， ∴， ∵⊙O经过点（0，10）， ∴OB＝10， ∴BD=， ∵OB⊥OD， ∴BC=2BD=8， ∴弦BC的最小值是 ． 【举一反三3】如图，已知⊙O的直径为26，弦AB＝24，动点P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若点M、N分别是弦AB、PQ的中点，则线段MN的取值范围是（　　） A.7≤MN≤17 B.14≤MN≤34 C.7＜MN＜17 D.6≤MN≤16 【答案】A 【解析】连接OM、ON、OA、OP，如图所示： ∵⊙O的直径为26， ∴OA＝OP＝13， ∵点M、N分别是弦AB、PQ的中点，AB＝24，PQ＝10， ∴OM⊥AB，ON⊥PQ，AM＝AB＝12，PN＝PQ＝5， ∴OM＝＝5，ON＝＝12， 当AB∥PQ时，M、O、N三点共线， 当AB、PQ位于O的同侧时，线段MN的长度最短＝ON﹣OM＝12﹣5＝7， 当AB、PQ位于O的两侧时，线段MN的长度最长＝ON+OM＝12+5＝17， ∴线段MN的长度的取值范围是7≤MN≤17． 【举一反三4】已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB＝24，CD＝10，⊙O的半径为13，则弦AB与CD的距离为　　　　.  【答案】17或7 【解析】当AB，CD在圆心O的两侧，作OM⊥AB于点M，延长MO交CD于点N，连接OA，OC，如图1， 则AM＝AB＝12，CN＝CD＝5， ∴OM＝＝5， ON＝＝12， ∴MN＝OM＋ON＝5＋12＝17， ∴此时弦AB与CD之间的距离为17； 当AB，CD在圆心O的同侧，作OQ⊥CD于点Q，交AB于点P，连接OA，OC，如图2， 则AP＝AB＝12，CQ＝CD＝5， ∴OP＝＝5， OQ＝＝12， ∴PQ＝OQ－OP＝12－5＝7， ∴此时弦AB与CD之间的距离为7. 综上所述，弦AB与CD之间的距离为17或7. 如图，的半径为5，点C是弦上一点，若，设，则x的取值范围是         . 【答案】 【解析】 当点Ｃ与重合时，； 当垂直于时，可得出C为的中点， 在中，， 根据勾股定理得 ， 则x的范围为． 一条排水管的截面如图所示，已知该排水管的半径OA=10，水面宽AB=16，则排水管内水的最大深度CD的长为           . 【答案】 4 【解析】 根据垂径定理可得OA=10，AC=8，根据直角△AOC的勾股定理可得OC=6，则CD=10－6=4. 【举一反三7】如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当AB取最大值时，点A的坐标为 　       　． 【答案】（﹣14，0） 【解析】解：连接PO， ∵PA⊥PB， ∴∠APB＝90°， ∵点A、点B关于原点O对称， ∴AO＝BO， ∴AB＝2PO， 若要使AB取得最大值，则PO需取得最大值， 连接OM，并延长交⊙M于点P'，当点P位于P'位置时，OP'取得最大值， 过点M作MQ⊥x轴于点Q， 则OQ＝6、MQ＝8， ∴OM＝10， 又∵MP'＝r＝4， ∴OP'＝MO+MP'＝10+4＝14， ∴AB＝2OP'＝2×14＝28； ∴A点坐标为（﹣14，0）， 故答案为：（﹣14，0）． 【题型3】垂径定理与坐标系相关的问题 【典型例题】如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（　　） A.（﹣5，﹣6） B.（﹣4，﹣5） C.（﹣6，﹣4） D.（﹣4，﹣6） 【答案】D 【解析】过A作AB⊥NM于B，连接AM， ∵AB过A，∴MB＝NB， ∵半径为5的⊙A与y轴相交于M（0，﹣3），N（0，﹣9）， ∴MN＝9﹣3＝6，AM＝5， ∴BM＝BN＝3，OB＝3+3＝6， 由勾股定理得：AB＝＝4， ∴点A的坐标为（﹣4，﹣6）， 【举一反三1】如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，﹣7）的直线l与⊙B相交于C，D两点，则弦CD长是整数值有（　　）条 A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】解：∵点A的坐标为（0，1），圆的半径为5， ∴点B的坐标为（0，﹣4）， 又∵点P的坐标为（0，﹣7）， ∴BP＝3， ①当CD垂直圆的直径AE时，CD的值最小， 连接BC， 在Rt△BCP中，CP＝＝4； 故CD＝2CP＝8， ②当CD经过圆心时，CD的值最大，此时CD＝直径AE＝10； 所以，8≤CD≤10， 所以符合的弦有4条，整数值是8（一条弦），9（两条弦），10（一条弦）， 故选：C． 【举一反三2】如图，平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与x轴交于点A，B，以第一象限内点C为圆心半径为2的圆经过A、B两点，则点C的坐标为 　 　． 【答案】（2，） 【解析】解：过点C作CD⊥AB于点D，CE⊥y轴于点E，连接CA，如图所示， ∵二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与x轴交于点A，B， ∴解x2﹣4x+3＝0得， x1＝1，x2＝3， ∴A、B两点的坐标分别为（1，0），（3，0）， ∴AB＝2，OA＝1， ∵CD⊥AB， ∴AD＝AB＝1， ∴OD＝OA+AD＝2， 在Rt△ACD中， CD＝， ∴点C的纵坐标为， ∵CE⊥y轴，CD⊥AB， ∴∠CEO＝∠CDA＝∠EOD＝90°， ∴四边形EODC是矩形， ∴CE＝OD＝2， ∴点C的横坐标为2， ∴点C的坐标为（2，） 故答案为：（2，）． 【举一反三3】如图，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点． （1）求A、B两点的坐标； （2）以AB为直径的圆M与y轴交于C、D两点，求弦CD的长． 【答案】解：（1）令y＝0，则， ∴4x2﹣4x﹣3＝0，即（2x+1）（2x﹣3）＝0， 解得，， ∴A、B两点的坐标分别为、； （2）解：∵A、B两点的坐标分别为、， ∴， 圆心M的横坐标为， ∴圆心M的坐标为， 如图，连接CM， 则，， ∴， ∴． 【题型4】垂径定理的应用 【典型例题】数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（　　） A.50cm B.35cm C.25cm D.20cm 【答案】C 【解析】解：设圆心为O，连接OB，如图所示， ∵CD垂直平分AB，AB＝40cm， ∴BD＝20cm， ∵CD＝10cm，OC＝OB， ∴OD＝OB﹣10， ∵∠ODB＝90°， ∴OD2+BD2＝OB2， ∴（OB﹣10）2+202＝OB2， 解得OB＝25， 即圆形工件的半径为25cm， 故选：C． 【举一反三1】用工件槽可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图1(单位： cm).将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A，B，E三个接触点，该球的大小就符合要求.图2是过球心O及A，B，E三点的截面示意图，这种铁球的直径为(　　) A.20 cm B.15 cm C.40 cm D. cm 【答案】A 【解析】连接OA，OE，设OE与AB交于点P，如图， ∵AC＝BD，AC⊥CD，BD⊥CD， ∴四边形ACDB是矩形. ∵CD＝16 cm，PE＝4 cm， ∴PA＝8 cm，BP＝8 cm， 在Rt△OAP中，由勾股定理得OA2＝PA2＋OP2，即OA2＝82＋(OA－4)2， 解得OA＝10 cm.这种铁球的直径为20 cm. 【举一反三2】绍兴市是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC为5 m，则水面宽AB为　　m.  【答案】8 【解析】如图，连接OA， ∵CD＝8 m，OA＝OC＝5 m， ∴OD＝8－5＝3(m)， 在Rt△AOD中，由勾股定理得， AD＝＝4(m)， ∴AB＝2AD＝8(m). 【举一反三3】如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB宽度为8米，拱高CD（弧的中点到水面的距离）为2米． （1）求主桥拱所在圆的半径； （2）若水面下降1米，求此时水面的宽度（保留根号）． 【答案】解：（1）∵点D是的中点，DC⊥AB， ∴AC＝BC＝AB＝4，DC经过圆心，设拱桥的桥拱弧AB所在圆的圆心为O，连接OA，OC， 设半径OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣2， 在Rt△ACO中，OA2＝AC2+OC2， ∴R2＝（R﹣2）2+42， 解得R＝5． 答：主桥拱所在圆的半径长为5米； （2）设OD与EF相交于点G，连接OF， ∵EF∥AB，OD⊥AB， ∴OD⊥EF， ∴∠OGF＝90°， 在Rt△OGF中，OG＝5﹣1﹣2＝2，OF＝5， ∴FG＝＝， ∴EF＝2FG＝2， 答：此时水面的宽度为2米． 【举一反三4】某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如图是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度AB（弧所对的弦）的长为8米，拱高CD（弧的中点到弦的距离）为2米． （1）求该圆弧所在圆的半径； （2）在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点B）1米处将竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度． 【答案】解：（1）∵AB垂直平分CD， ∴圆心O在DC的延长线上． 设⊙O的半径为r米，则OC＝（r﹣2）米． ∵OD⊥AB， ∴（米）． 在Rt△OAC中， 由勾股定理得：AC2+OC2＝AO2， 即42+（r﹣2）2＝r2， 解得r＝5． 即该圆弧所在圆的半径为5米； （2）过F点作FH⊥CD于H点，连接OF． ∵BE＝1米， ∴CE＝4﹣1＝3（米）． ∵∠FHC＝∠HCE＝∠CEF＝90°， ∴四边形EFHC为矩形， ∴FH＝CE＝3，EF＝HC， 在Rt△OFH中，（米）． ∵OC＝3米， ∴HC＝1米． ∴EF＝HC＝1米． 即支撑杆EF的高度为1米． 学科网（北京）股份有限公司 $